Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic. Thí sinh làm bài cá[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT PHÚC YÊN HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn gồm 04 trang
I Một số chú ý khi chấm bài
Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic
Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
Bài hình nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm điểm
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số
II Đáp án và biểu điểm
Tính giá trị của biểu thức B 2018 2 A
Ta có:
1 ( 4 2 6 4 8 6 2018 2016) 2
1 ( 2018 2) 2
2018 2 2018 2 2018 2 1008
2
0,5
0,5
1,0
Bài 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức
P
, với a b , là các số
dương phân biệt Rút gọn và tính giá trị của P trong trường hợp a1b 1 2 ab 1
P
Từ giả thiết ta có: 2
– – 2 0
ab a b ab ab a b ab a b 0,5 +) Khi a b thì 0 P 1
+) Khi 0 a b thì P 1
0,25 0,25
Trang 2Bài 3 (2,0 điểm) Chứng minh rằng A = 11… 1 + 44… 4 + 1 là số chính phương
2n chữ số 1 n+1 chữ số 4
Ta có B = 102 1 4 10 1 1 1
1,0
Do 10n2 3 nên
2
3
n
Bài 4 (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x y , thỏa mãn 3 x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1
A
x xy
Ta có A 1 1 1 2
2 ( ) 3
2 ( )
A
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
4
x y Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8 0,5
Bài 5 (2,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x2 + 4y2 = 6x + 13
Từ 3x2 + 4y2 = 6x + 13
3(x – 1)2 = 4(4 – y2)
Ta có 4 – y2 0 và (4 – y2) 3 nên y2 = 1 hoặc y2 = 4 1,0
- Với y2 = 1 (x – 1)2 = 4 x = 3; x = - 1 ta có các nghiệm nguyên (x; y) là: (3; 1);
(3; - 1); (-1; 1); (-1; -1)
- Với y2 = 4 (x – 1)2 = 0 x = 1 ta có các nghiệm nguyên (x; y) là: (1; 2); (1; -2) 1,0
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (x; y) là: (3; 1); (3; - 1); (-1; 1); (-1; -1); (1; 2);
Bài 6 (2,0 điểm) ) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh:
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có:
a < b + c a2 < a (b + c) = ab + ac
b < a + c b2 < b (a + c) = ab + bc
c < a + b c2 < c (a + b) = ac + bc
1,0
Cộng từng vế ta có: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) 1,0
Bài 7 (2,5 điểm) Giải phương trình 2 2
x x x x
2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0
x x x x x x x x
Đặt x22x 2 t 0
Trang 3Ta có phương trình:
2 2 0
t t
t = 2 (do t >0)
1,0
Với t = 2 có:
2 2 2 2
x x
Bài 8 (3,0 điểm) Cho tam giác OAB vuông tại O với OA OB , đường cao OH Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OH Từ A và B kẻ các tiếp tuyến AM, BN đến ( ) O với M, N là các tiếp điểm Gọi P là giao điểm của AO và MH, Q là giao điểm của BO và NH
a) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
b) Gọi E là giao điểm của AN và BM Chứng minh rằng ba điểm P E Q , , thẳng hàng
c) Giả sử MN cắt AB tại I Chứng minh rằng tan2OBA IA
IB
a) (1.0 điểm)
Gọi K là trung điểm AB thì K là tâm đường tròn đường kính AB
Theo tính chất tiếp tuyến ta có MON MOH HON 2AOH HOB 1800, suy ra
M,O,N thẳng hàng
0,5
OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên KO MN 0,25 Như vậy KO là bán kính của đường tròn đường kính AB và KO MN Do đó MN là tiếp
tuyến của đường tròn đường kính AB (đpcm) 0,25 b) (1.0 điểm)
Ta có AH AM AE EH NB||
Gọi F là giao của HE và MN Áp dụng định lý Talet ta có:
Do đó E là trung điểm HF Từ tính chất các đường trung bình suy ra P,E,Q thẳng hàng 0,25 c) (1.0 điểm)
Ta có IA AM HA
I
F
E
K
Q
P
N
M
H O
Trang 4tanOBA tanAOH AH
OH
BH
Do đó tan2OBA AH OH AH
Từ (1) và (2) suy ra 2
IB
Bài 9 (2,0 điểm)
Cho một bảng gồm 2017 hàng, 2017 cột Các hàng
được đánh số từ 1 đến 2017, từ trên xuống dưới; các cột đánh
số từ 1 đến 2017, từ trái qua phải Viết các số tự nhiên liên
tiếp 0, 1, 2, vào các ô của bảng theo đường chéo zíc-zắc
(như hình vẽ bên) Hỏi số 2018 được viết ở hàng nào, cột
nào? Vì sao?
0 1 5 6 14 15
2 4 7 13 16
3 8 12 17
9 11 18
10 19
20
21
Theo qui luật: Đánh số thứ tự các đường chéo như số thứ tự các
hàng
- Đường chéo thứ nhất viết 1 số (số 0)
- Đường chéo thứ hai viết 2 số (từ 1 đến 2)
- Đường chéo thứ n viết n số Vậy với n đường chéo đầu tiên ta đã
viết 1 2 ( 1)
2
n n
số (bắt đầu từ số 0)
(1,0 điểm)
21
Lại có 2016 63.64 2018 64.65 2080
, do đó với 63 đường chéo ta đã viết được 2016 số từ
số 0 đến số 2015 Vậy các số tiếp theo 2016, 2017, 2018 sẽ viết ở đường chéo thứ 64
Kể từ đường chéo thứ 2, tính từ trái qua phải, từ dưới lên trên, ta thấy đường chéo mang số lẻ thì
tăng dần, đường chéo mang số chẵn thì giảm dần Vậy số 2016 ở đầu hàng 64 (ô (64;1)), vậy số
2018 được viết ở hàng 62, cột 3
(1,0đ)
=== HẾT ===