phân loại và phương pháp giải toán 12 luyện thi quốc gia 2015 có đáp án chi tiết rõ ràng

phân loại và phương pháp giải bài tập hình học không gian lớp 12 giúp học sinh nhớ nhanh và lâu toàn bộ kiến thức hình học không gian luyện thi kỳ thi quốc gia một cách tốt nhất tài liệu có đáp án chi tiết và rõ ràng biên soạn tỉ mỉ cẩn thận của tác giả là giáo viên luyện thi đại học lâu năm

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 1 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

KHỐI ĐA DIỆN

1111

Chương

ÔN TẬP

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc

vuông

b/ Diện tích tam giác đều

Diện tích tam giác đều: . 3

Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

d/ Diện tích hình thang

Diện tích hình thang:

SHình Thang 1

2

= (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tích hai đường chéo

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại

trung điểm của mỗi đường

Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau

đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác

2 2

ABC

a S

a h

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 3 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

1/ Chứng minh đường thẳng d // mp α( ) với (d ⊄( )α )

Chứng minh: d // d' và d'⊂( )α

Chứng minh: d ⊂( )β và ( )β // ( )α

Chứng minh d và ( )α cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng

2/ Chứng minh mp( )α // mp( )β

Chứng minh mp α( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp β( )

Chứng minh mp α( ) và mp β( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

Hai mp α( ),( )β có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …

Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 5 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

1/ Góc giữa hai đường thẳng

Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

( )



4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

( , )

5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia

6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng

7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó

Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp α( )

chứa d' và song song với d

Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( )α , β

lần lượt chứa dvà d'

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

φa

b

'a

'b

φ

αd

' d

A

B

CHO

A

DS

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2/ Hai hình chóp đều thường gặp

a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS ABC Khi đó:

 ĐáyABC là tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO =SBO =SCO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

AB

 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS ABCD

 ĐáyABCDlà hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO =SBO =SCO =SDO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông

góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên

SA⊥ ABC thì chiều cao làSA

2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác

chứa trong mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên(SAB)

vuông góc với mặt đáy(ABCD)thì chiều cao của hình chóp là chiều cao của∆SAB

3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt

bên cùng vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có hai mặt bên

(SAB)và(SAD)cùng vuông góc với mặt đáy(ABCD)thì chiều cao là SA

4/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và

tâm của đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCDthì có đường cao

HÌNH CHÓP ĐỀU

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 7 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

làSO

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh

 Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng

tính thể tích của chúng Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm

 Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho

khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 9 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

.sin 30sin 30

23

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT VÀI THÍ DỤ

Thí dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại  0

Dạng 1 Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công thức

 Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích

Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…) Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…

 Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết

Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác

Trong∆ABC vuông tạiC có KIlà đường trung bình

Thí dụ 2 Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB =a BC, =2a Haimp SAB( )và

Thí dụ 3 Hình chópS ABC cóBC =2a, đáyABClà tam giác vuông tạiC SAB, là tam giác vuông cân

tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy GọiI là trung điểm cạnhAB

a/ Chứng minh rằng, đường thẳngSI ⊥mp ABC( )

b/ Biếtmp SAC( )hợp vớimp ABC( )một góc600 Tính thể tích khối chópS ABC

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 11 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

Trong∆SKI vuông tạiI , ta có:   1 0 ( )

GọiOlà tâm của mặt đáy thìSO ⊥mp ABCD( )

nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM là trung

Bài giải tham khảo

GọiH M I, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

DoIH là đường trung bình trong đều ∆AMB, đồng

thời BMlà trung tuyến nên cũng là đường cao

Thí dụ 6 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABC là tam giác vuông tạiB BC, =a,mp A BC( ' )

tạo với đáy một góc 300 và ∆A BC' có diện tích bằnga2 3 Tính thể tích khối lăng trụ

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 13 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

Bài giải tham khảo

Trong tam giác vuôngABC : AB =AC tan 600 =a 3

Trong tam giác vuôngABC ': AC′ =AB.cot 300 =a 3 3 =3a

Trong tam giác vuông ACC : ' CC'= AC'2−AC2 = (3 )a2−a2 =2 2a

Thí dụ 8 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB AB, =a SA, ⊥(ABC), góc giữa

Trong∆ABC vuông tạiB: AC2 = AB2 + BC2 = 9 a2 + 16 a2 = 25 a2

Nhận thấy: SA2 + SC2 = 21 a2 + 4 a2 = 25 a2 = AC2 ⇒ ∆ SAC vuông tạiS

Do đó, diện tích tam giácSAC là: 1 1 2 ( )

Thí dụ 10 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2009)

Cho hình chópS ABCD có đáy là hình thang vuông tạiAvàD AB, =AD =2 ,a CD =a, góc giữa haimp SBC( )vàmp ABCD( )bằng600 GọiI là trung điểm củaAD Biết rằngmp SBI( )và

Thí dụ 9 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011)

Hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiB BA, =3 ,a BC =4a,(SBC) (⊥ ABC)

0

30

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 15 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

Bài giải tham khảo

Vìmp SBI( )vàmp SCI( )cùng vuông góc vớimp ABCD( ), nên giao tuyến SI ⊥(ABCD)

KẻIH ⊥BC ⇒SH ⊥BC (định lí 3 đường vuông góc)

Ta có:  0

60SHI = là góc giữa haimp SBC( )vàmp ABCD( )

Trong∆SIH vuông tạiI , ta có: SI =IH tan 600 =IH 3

GọiM N, tương ứng là trung điểm củaAB BC,

VìIN là đường trung bình của hình thangABCD, nên ta có:

Bài giải tham khảo

GọiH là trung điểm củaADthìSH ⊥AD

Do (SAD) (⊥ ABCD)nênSH ⊥(ABCD)

Và ∆SADđều 3

2

aSH

Thí dụ 11 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD GọiM N P, , lần lượt là trung điểm củaSB BC CD, , Tính thể tích khối tứ diệnCMNP

Bài giải tham khảo

GọiOlà tâm của của đáyABCD

Trong∆SAC , ta cóNOlà đường trung bình nên:

Thí dụ 12 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB =a AD, =a 2,SA=avà SA

vuông góc với mặt phẳng đáy GọiM N, lần lượt là trung điểm củaAD SC, vàI là giao điểm của

BMvàAC Tính thể tích khối tứ diệnANIB

Thí dụ 13 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và mp ABC( )bằng 0

60 , tam giácABC vuông tạiC và góc  0

60BAC = Hình chiếu vuông góc của điểmB' lên

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn - 17 - Mây xanh không li ly chí c d ng lên

Bài giải tham khảo

• GọiM N, là trung điểm củaAB AC, Khi đó,Glà trọng tâm của∆ABC

• Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC( )làGnênB G' ⊥(ABC)

B BG = nên nó là nữa tam giác đều cạnh làBB'=a

( )

3

là nữa tam giác đều với đường cao làBC

aBC

+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng

 Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:

+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn

+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích

 Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:

Cho hình chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC Khi đó: ' ' '

Ta có:

' ' ' ' ' ' ' '

1

31

.3

Trong đó: α =B SC' '=BSC

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm A≡A B', ≡B C', ≡C'

Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,…

Bin hc vô b ... 22 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2004)

Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoiABCDcóSOvng góc với đáy vớiOlà giao điểm

AC vàBD Giả sửSO =2 2,AC =4,AB = 5vàM trung điểm... class="page_container" data-page="8">

h Chi? ??u cao khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chi? ??u cao cạnh

 Tính thể tích cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện... Trong∆ABC vng tạiC có KIlà đường trung bình

Thí dụ Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB =a BC, =2a Haimp SAB( )và

Thí dụ Hình chópS ABC cóBC =2a, đáyABClà