ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7 kì 2 NGÔI SAO1819

b Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức... Xác định hệ số cao nhất, hệ số tự do và tìm bậc của mỗi đa thức... Chứng minh rằng: a BD là đường trung trực của AE... c AEB câ

Bài 1 Thu gọn các đơn thức sau: Không có đề bài

Bài 2 Cho các đa thức: Ax23xy y 22x3y1

B 2x xy2y  3 5x2y

2 2

C 7 y 3x 4xy6x4y5Tính A B C ; A – B C ; 2A – B – 3C  

Lời giải : +)  A B C

Bài 8 Cho các đa thức: f x 3x2 7 5x6x24x3 8 5x5x 3

a) Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp theo luỹ thừa giảm của biến

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức

Bài 10 Cho đa thức: f x x43x 1 x32x x 2 1 2x 4

g x  3x 2x x 3 3x x x3  5 2

Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến Xác định hệ số cao nhất, hệ

số tự do và tìm bậc của mỗi đa thức

 khi 7

2



x

Dạng 2: Nghiệm của đa thức

Bài 11 Xác định các hệ số a để các đa thức sau nhận x = 1 làm một nghiệm

a) x2ax5 b) ax3 x 1 c) 7x2 ax1

Lời giải a) Đa thức x2ax5 nhận x1làm nghiệm khi 12a.1 5 0      a 4 0 a 4

Vậy a4 thì đa thức x2ax5 nhận x1làm nghiệm

b) Đa thức ax3 x 1 nhận x1làm nghiệm khi a.1 1 1 03       a 2 0 a 2

Vậy a2 thì đa thức ax3 x 1 nhận x1làm nghiệm

c) Đa thức 7x2ax1 nhận x1làm nghiệm khi 7.12a.1 1 0       a 6 0 a 6

Vậy a 6 thì đa thức 7x2ax1 nhận x1 làm nghiệm

Bài 12 Xác định các hệ số a, b của đa thức f x x ax b trong mỗi trường hợp sau : 2 

a) f 0 4 và f x nhận x 1   làm một nghiệm của nó

b) Các nghiệm của đa thức g x   x 1 x 2    cũng là các nghiệm của f x  

Lời giải a) Ta có f 0  4 02a.0    b 4 b 4 f x x ax2 4Lại có f x nhận x 1   làm một nghiệm của nó, suy ra 12a.1 4 0       a 5 0 a 5

3 2.1 1 1 1 03

  

m m

b) Ta có : g 1 0

4 2 3 2 2

.1 1–1 0

02

B-BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1 Cho hai đa thức M 6x23xy2y2; N 3y22x2 3xy Chứng minh rằng không tồn tại giá

trị nào của x và y để hai đa thức cùng có giá trị âm

Bài 3 Cho đa thức f x( )ax bx c2  Biết f(0), (1) , (2)f f có giá trị nguyên Chứng minh:

b) f(n) là số nguyên với mọi giá trị nguyên của n

b) Ta chứng minh: n chẵn và n lẻ thì f n luôn nguyên.Thật vậy,  

* n2k f(n) 4ak 2 2 bk c

Mà 2 ,2 ,a b c  f(n)

2 2

f

Vậy f(n) là số nguyên với mọi giá trị nguyên của n

Bài 4 Cho đa thức f x( )ax bx c2  trong đó a , b , c là các số nguyên Biết rằng giá trị của f x( ) chia

hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x Chứng minh rằng a , b , c đều chia hết cho 3

Bài 5 Cho đa thức f x x x3 29x b

a) Tìm a và b để đa thức có 2 nghiệm là 1 và 3

b) Với 2 giá trị a và b tìm được của câu a, hãy tìm nghiệm còn lại của đa thức

Lời giải a) Đa thức f x( )x ax3 29x b có nghiệm là 1 khi f(1) 1 3 a.1 9.12     b 0 b a 8(1)

Đa thức f x( )x ax3 29x b có nghiệm là 3 khi f(3) 3 3 a.3 9.32    b 0 9a b 0(2) Thay (1) vào (2) suy ra 9a      (a 8) 0 a 1 b 9

b) với a 1, b9đa thức f(x) có dạng f x( )x3x29x9cho

f x x x  x   x x  x          

Vậy nghiệm còn lại là: x   3

Bài 6 Chứng tỏ đa thức f(x) thỏa mãn x225 ( 1) f x x2 ( 1) f x có ít nhất 3 nghiệm

Chọn x  ta có: 4 4.f 4 2   4 4 4   f 4.f  2 0 4f  0 f  2 0 nên pt có nghiệm x  2

x D x

Ta có: x  3 0 với mọi x 2 x  3 0 x  9 2 x   3 9 0 x hay A 9 dấu “=” xảy

ra khi x   3 0 x 3

b) 22 22

32

y y





 



Vậy GTLN của B là 2 là 9 khi x 5

Vậy GTLN của D là 5 6 11  là khi x 5

y y

y y

dấu “=” xảy ra khi x  3

Mặt khác:   180EBA BAC   (2 góc kề bù) 60EBA 

Xét EBA ta có:   60EBA EAB   (cmt)  EBA đều

b) Xét ABC cân tại A (gt) có AD là đường phân giác ứng với  BAC (gt)  AD đồng thời là đường cao

AD BC

  Mà EB AD// (gt) EB BC (từ vuông góc đến song song)

Xét EBC có EBC 90 ,BEC  60     CE BC BE  (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông ở A , phân giác BD Kẻ DE C E C (  ) Trên tia đối của tia AB lấy

điểm F sao cho AF CE Chứng minh rằng:

a) BD là đường trung trực của AE

Do BA BE B thuộc trung trực của AE (1) .

Do DA DE D thuộc trung trực của AE (2) .Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất đường thẳng (3)

Từ (1), (2), (3) BD là đường trung trực của AE

b) Xét DEC vuông tại E (gt)  cạnh huyền DC lớn nhất

Mà BD là phân giác của  ABC hay  CBF BD là đường cao ứng với cạnh CF (1’)

Lại có CA AB (do BAC 900 ) hay CA BF CA là đường cao ứng với cạnh BF (2’) .Mặt khác CA BD  D (3’)

Bài 3 Cho tam giác ABC cân ở A ( A 120 ) Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác đều

ABD và ACE Gọi O là điểm giao của BE và CD Chứng minh rằng:

a) BE CD

b) OB OC

c) D và E cách đều đường thẳng BC

Lời giải

Ta có:  ABC ACB (ABC cân ở A )

Mà   60ABD ACE       ABC ABD ACB ACE   hay  DBC ECBXét DBC và ECBcó:

b) Vì DBC  ECB nên  BCD CBE

Xét BOC có  BCD CBE nên BOC cân tại OOB OC

c) VẽDH BC EK BC ,  lần lượt tại H, K  DH, EK là khoảng cách từ D và E đến BC

c) AEB cân tại E

EK là đường cao đồng thời là trung tuyến nên KA = KB

d) gọi AC giao BD tại S Xét tam giác ASB có:

Bài 5 Cho tam giác ABC có AB < AC; hai đường cao AD; BE cắt nhau tại H và có AD=BE

a) So sánh  BAD  CAD Chứng minh đường thẳng CH là trung trực của AB

b) Chứng minh DE // BA

c) Chứng minh: CH đi qua trung điểm O của đoạn thẳng EH

Lời giải

 là đường trung trực của AB

b) Có ABC cân tại C   180 

Mà 2 góc ở vị trí đồng vịDE AB // (dấu hiệu nhận biết)

c) Do DE AB // mà CH AB ( do CH đường cao của ABC ) nên CH DE Vậy CH là đường cao của tam giác CDE

CDE

 cân tại C nên CH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên CD đi qua O là trung điểm của DE

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác CD Gọi H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng

CD Trên CD lấy điểm E sao cho H là trung điểm của DE Gọi F là giao điểm của BH và CA Chứng minh rằng:

a) CEB ADC   ;  EBH ACD

b) BE vuông góc với BC

c) DF song song với BE

Lời giải

H E

D A

Mà  BCE ACD (Vì CD là tia phân giác của ACB )

 

CEB ADC (c/m câu a)

Do đó   9CEB BCE 0  Vậy BECvuông tại B hayBE BC Vậy BE vuông góc với BC

c) DF song song với BE

Xét BCFcó CH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên BCFcân tại C nên CH đồng thời

là đường trung tuyến  BH = FH

Mà 2 góc này ở vị trí sole trong nên DF song song với BE

Bài 7 Cho tam giác cân ABC,  1 20A   phân giác AD Kẻ DE AB, DFAC Trên các đoạn EB và FC

lấy 2 điểm I và K sao cho EI = FK

a) Chứng minh ∆DEF đều

b) Chứng minh ∆DIK là tam giác cân

Từ (1) và (2)  DEF là tam giác đều

b) Xét DEI và DFK có

 DEI DFK 90

F E

D

C B

A

 có: CAM ACM 60   o ACM là tam giác đều

d) ABC cân tại A có AD là tia phân giác của BAC  D là trung điểm của BC ABC

A

Xét tam giác BIP ta có:

   APC IPC IBP BIP   (góc ngoài tam giác) 1 900

Từ (1) và (2) suy ra  APC AOC

Bài 9 Cho  ABC cân tại A (  90A   ) Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại I

a) Chứng minh rằng: ABD ACE

b) Chứng minh I là trung điểm của BC

c) Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC , d cắt đường thẳng AH tại F CMR: CB là tia

phân giác của FCH

d) Giả sử  60BAC   và AB 4cm Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng CF

Lời giải

a) Xét ABD vuông tại D và ACE vuông tại E có:

AB = AC ( vì ABC cân tại A )

b) ABC có BD và CE là các đường cao, BD cắt CE tại H nên H là trực tâm

 AI là đường cao Mà ABC cân tại A nên AI cũng là đường trung tuyến

 I là trung điểm của BC

c) Ta có ABD ACE ABD ACE

  

DBC ABC ABD ECB ACB ACE

Xét tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM BD CE, , và G là trọng tâm

Gọi F sao cho N là trung điểm của BF

F G

B

A

Chứng minh tương tự ta có:

32

AM CE  AC (5)

32

Từ (*) và (* *) suy ra tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác thì lớn hơn 3

4 chu vi tam giác

và nhỏ hơn chu vi tam giác

c) Chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A B C 1 1 1

Xét hai tam giác vuông OEA và 1 OFB có: 1 OE OF (Tính chất đường phân giác), EA FB1 1(cmt)  OEA1  OFB1 OA OB1  1 (1) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

OFB1 ODC1OB OC1 1 (2) (hai cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) OA OB OC1  1  1 O nằm trên ba đường trung trực của tam giác A B C hay O 1 1 1

là giao điểm các đường trung trực của tam giác A B C 1 1 1

Bài 3 Cho ABC AB AC  Gọi D là điểm nằm giữa A và B,E là điểm nằm giữa A và C và

BD CE Gọi M N I, , lần lượt là trung điểm của BC DE BE, ,

d) Chứng minh MNI cân

e) Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB ở P , cắt đường thẳng AC ở Q Chứng minh tam giác

APQ cân

f) Kẻ phân giác AF của tam giác ABC Chứng minh MN AF //

Lời giải a) Ta chứng minh bài toán sau:

‘‘Cho ABC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, Chứng minh

1 ; //

2

MN  BC MN BC’’

E N

M

A

N là trung điểm của DE

là trung điểm của

IN BD IN BD

Trong BEC có

M là trung điểm của BC

Ilà trung điểm của BE

 

1 EC; // EC 22

Từ (4), (5) và (6)  P Q 2  APQ cân tại A

c) Gọi K là giao điểm của IN AC,

  2 (IN // AB, so le trong)

NKE BAC  EAF

 

1

EAF Q

  mà 2 góc này ở vị trí đồng vị MQ AF // hay MN // AF

Bài 4 Cho ABC AB AC(  ) Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân

giác của góc A , đường thẳng này cắt tia AB , AC ở M và N

a) Chứng minh AMN cân

b) Chứng minh BM CN

Lời giải

a) Vì FA MN MFA NFA  90    MFA NFA, là các tam giác vuông

Xét MFA vuông và NFA vuông có

b) Kẻ BE AC E MN // ,  BEM ANM EBD NCD    ; 

Xét BME có  BME BEM  BME cân tại B

A

B

C

Tam giác ABC cân tại A nên   40 ABC ACB   MCA 20 ;MBA 30 xét tam giác MCB MCE, có CM chung,  MCB MCA    20 MCB MCE c g c 