Đề thi môn GIẢI TÍCH 2

1.0đ Sinh viên làm theo tham số ra kết quả đúng vấn cho điểm tối đa... 1.0đ Sinh viên làm theo tham số ra kết quả đúng vấn cho điểm tối đa.

Trang 1

Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 Đề số 1 K63

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x3+ y3− 3xy

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân bội

Z Z

D

(2x + y) dxdy trong đó D là tam giác với ba đỉnh A(1, 1),

B(3, 2), C(4, 1)

Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai

I

L

(x − y) dx + (x + y) dy,với L là elip x

2

4 + y

2 = 1

có hướng ngược với chiều kim đồng hồ

Câu 4 (1,5đ) Tính tích phân mặt

Z Z

S

(x − y) dydz + (z + x) dxdz + 2019 dxdy, với S là phần mặt

phẳng x + y + z = 1 nằm trong trụ x2+ y2 = 1

Câu 5 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau:

a) xy0− y = x3

b) y00− 2020y0+ 2019y = 2019x − 1

Sinh viên không được mang điện thoại vào phòng thi

———————–Hết————————

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị tự do của hàm số f (x, y) = x3+ y3+ 3xy

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân bội

Z Z

D

(2x − y) dxdy trong đó D là tam giác với ba đỉnh A(1, 1),

B(2, 2), C(4, 2)

I

L

(x + y) dx + (−x + y) dy,với L là elip x

2

9 + y

2 = 1

có hướng ngược với chiều kim đồng hồ

Z Z

S

2019 dydz + (2z + x) dxdz + z dxdy, với S là phần mặt

phẳng x − y + z = 1 nằm trong trụ x2+ y2 = 1

a) xy0+ y = x4

b) y00+ 2019y0− 2020y = 2020x + 1

———————–Hết————————

Trang 2

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = −x2− 2y2+ 2xy − 4x + 6y

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân kép

Z Z

D

(6x + 6y) dxdy, trong đó D là tam giác với ba đỉnh

O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)

Câu 3 (1,5đ) Tính

Z

C

(6x + 2y) dx + (2x + y) dy, với C là đoạn thẳng đi từ A(2, 1) đến B(1, 3)

Câu 4 (1,5đ) Tính

Z Z

S

x3 dydz + y3dzdx + z3 dxdy, với S là mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1định hướng

ra ngoài

a) y0 = x(4 + y2),

b) y00− y0− 2y = (2x + 1)ex

———————–Hết————————

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x2+ 2y2+ 2xy + 4x − 6y

Z Z

D

(6x − 6y) dxdy, trong đó D là tam giác với ba đỉnh

O(0, 0), A(1, −1), B(0, −1)

Câu 3 (1,5đ) Tính

Z

C

(6x − 2y) dx − (2x − y) dy, với C là đoạn thẳng đi từ A(2, −1) đến B(1, −3)

Câu 4 (1,5đ) Tính

Z Z

S

x3 dydz + y3dzdx + z3 dxdy, với S là mặt cầu x2+ y2+ z2 = 4định hướng

ra ngoài

a) y0 = 2x(9 + y2),

b) y00− 2y0− 3y = (−4x + 4)ex

———————–Hết————————

Trang 3

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = y3+ 3x2y + 9x2 − 6xy − 18x

Z Z

D

p 2x − x2− y2 dxdy,với D = {(x, y) ∈ R2 | x2+ y2 ≤ 2x}

I

C

x + y2 dx + (x + 2xy) dy, trong đó C là chu

tuyến hình vuông ABCD với A(1, 0); B(0, 1); C(−1, 0); D(0, −1) theo hướng ngược với chiều kim đồng hồ

Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai

Z Z

S

x dydz + z dzdx + y dxdy,trong đó S là mặt ngoài

của elipxoit x

2+ y2

z2

9 = 1.

a) (1 − y2) dx − 2xy dy = 0,

b) y00− 5y0 + 6y = 2ex

———————–Hết————————

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3+ 3xy2+ 9y2 + 6xy + 18y

Z Z

D

p 2y − x2− y2 dxdy,với D = {(x, y) ∈ R2 | x2+ y2 ≤ 2y}

I

C

(y2− y) dx + (y + 2xy) dy, trong đó C là chu

tuyến hình vuông ABCD với A(1, 0); B(0, 1); C(−1, 0); D(0, −1) theo hướng ngược với chiều kim đồng hồ

Câu 4 (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai

Z Z

S

y dydz + x dzdx + z dxdy,trong đó S là mặt ngoài

của elipxoit x

2

4 +

y2+ z2

9 = 1.

a) (1 + y2) dx + 2xy dy = 0,

b) y00− 6y0 + 8y = 3ex

———————–Hết————————

Trang 4

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x4+ 3x2− 2x2y + y2 − 2y

Z Z

D

p

1 − x2− y2 dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2+ y2 ≤ 1}

I

L

(x + e−y) dx + x2

2 + y

dy, với L là đường gấp

khúc OABO nối các điểm O(0, 0); A(1, 0); B(0, 1)

Z Z

S

−z dydz − 3x dzdx + 20y dxdy, với S là phần mặt phẳng

4x + 5y + z = 0nằm trong trụ x2+ y2 = 4

Câu 5 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân:

a) x dx = (1 + x2)ey dy,

b) y00− 4y0+ 3y = 3x − 1

Sinh viên không được mang điện thoại và tài liệu vào phòng thi

———————–Hết————————

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x4+ 3x2+ 2x2y + y2+ 2y

Z Z

D

p

4 − x2− y2 dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2+ y2 ≤ 4}

I

L

(−x − e−y) dx + x2

2 − y

dy, với L là đường

gấp khúc OBAO nối các điểm O(0, 0); B(0, 1); A(−1, 0)

Z Z

S

z dydz − 6x dzdx − 20y dxdy, với S là phần mặt phẳng

5x − 4y + z = 0 nằm trong trụ x2+ y2 = 9

Câu 5 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân:

a) (1 + y2) sin x dx = y dy,

b) y00+ 3y0 − 4y = −4x + 7

Sinh viên không được mang điện thoại và tài liệu vào phòng thi

———————–Hết————————

Trang 5

ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ 1

Câu 1 (2.0đ) Tìm điểm dừng





fx0 = 3x2 − 3y = 0

fy0 = 3y2− 3x = 0

có 2 điểm dừng M1(0, 0); M2(1, 1) 0.5đ

Vi phân cấp hai: A = 6x; B = −3; C = 6y 0.5đ

Tại điểm M1 có AC − B2 < 0suy ra hàm không đạt cực trị tại M1 0.5đ

Tại điểm M2 có A = 6 > 0; AC − B2 > 0suy ra hàm số đạt cực tiểu tại M2, fCT = −1 0.5đ

Câu 2 (2.0đ) D = {1 ≤ y ≤ 2; 2y − 1 ≤ x ≤ 5 − y} 0.5đ

I =

Z 2

1

dx

Z 5−y

2y−1

(2x + y)dy =

Z 2 1

dx (x2+ xy)

5−y 2y−1

0.5đ

I =

Z 2

1

(−6y2+ 24)dy 0.5đ

I = (−2y3+ 24y)

2 1

= 10 0.5đ Câu 3 (1,5đ) Sử dụng CT Green I =

Z Z

D

(1 + 1)dxdy 0.5đ

Sử dụng đổi biến hoặc áp dụng công thức diện tích I = 2SD = 4π 1.0đ

Câu 4 (1,5đ) Tham số mặt cong





x = u

y = v

z = 1 − u − v

với u2+ v2 ≤ 1 0.5đ

Tìm được VTP n = (1, 1, 1) và I =

Z Z

D

(u − 2v + 2019) dudv 0.5đ

I = 2019π 0.5đ Câu 5 (3,0đ)

a) y − 1

xy = x

2 , y = e

Z 1

xdx







Z e

Z −1

x dxx2

dx + C





 1.0đ

y = x x2

2 + C

0.5đ

b) ¯y = C1ex+ C2e2019x 0.5đ

y∗ = x + 1 0.5đ

y = C1ex+ C2e2019x+ x + 1 0.5đ

Trang 6

Câu 1 (2.0đ) Tìm điểm dừng





fx0 = 3x2+ 3y = 0

fy0 = 3y2+ 3x = 0

có 2 điểm dừng M1(0, 0); M2(−1, −1) 0.5đ

Vi phân cấp hai: A = 6x; B = 3; C = 6y 0.5đ

Tại điểm M1 có AC − B2 < 0suy ra hàm không đạt cực trị tại M1 0.5đ

Tại điểm M2 có A = −6 < 0; AC − B2 > 0suy ra hàm số đạt cực đại tại M2, fCD = 1 0.5đ

Câu 2 (2.0đ) D = {1 ≤ y ≤ 2; y ≤ x ≤ 3y − 2} 0.5đ

I =

Z 2

1

dx

Z 3y−2

y

(2x − y)dy =

Z 2 1

dx (x2− xy)

3y−2 y

0.5đ

I =

Z 2

1

(6y2− 6y + 4)dy 0.5đ

I = (2y3− 3y2+ 4y)

2 1

= 9 0.5đ Câu 3 (1,5đ) Sử dụng CT Green I =

Z Z

D

(−1 − 1)dxdy 0.5đ

Sử dụng đổi biến hoặc áp dụng công thức diện tích I = 2SD = −6π 1.0đ

Câu 4 (1,5đ) Tham số mặt cong





x = u

y = v

z = 1 − u + v

với u2+ v2 ≤ 1 0.5đ

Z Z

D

(−2u + 3v + 2022) dudv 0.5đ

I = 2022π 0.5đ Câu 5 (3,0đ)

a) y + 1

xy = x

3 , y = e

Z −1

x dx







Z e

Z 1

xdxx3

dx + C





 1.0đ

y = 1

x

x5

5 + C

0.5đ

b) ¯y = C1ex+ C2e−2020x 0.5đ

y∗ = −x − 1 0.5đ

y = C1ex+ C2e−2020x− x − 1 0.5đ

Trang 7

Câu 1 (2.0đ) Giải hệ z0

x = 0, z0y = 0được điểm dừng A(−1, 1) 1.0đ Hàm số đạt cực đại tại A(−1, 1) và z(−1, 1) = 5 1.0đ Câu 2 (2.0đ) I =

1

R

0

dx

1

R

x

(6x + 6y)dy 1.0đ

=

1

R

0

(6x − 9x2+ 3)dx = 3. 1.0đ Câu 3 (1.5đ) Đường AB: y = 5 − 2x, 0.5đ

I =

1

R

2

[6x + 2(5 − 2x) − 2(2x + 5 − 2x)]dx =

1

R

2

2xdx = −3 1.0đ

Câu 4 (1.5đ) I = 3 RRR

x 2 +y 2 +z 2 ≤1

(x2+ y2+ z2)dxdydz 0.5đ

= 3

2π

Z

0

dϕ

π

Z

0

dθ

1

Z

0

r4sin θdr = 12π

5 1.0đ

Câu 5 (3.0đ) a) dy

4 + y2 = xdx ⇔ arctany

2 = x

2+ C. 1.0đ

b) y = C1e−x+ C2e2x 1.0đ

y∗ = −ex(2x2+ 2x + 3), y = y + y∗. 1.0đ

———————————————————————————

Câu 1 (2.0đ) Giải hệ z0

x = 0, z0y = 0được điểm dừng A(−7, 5) 1.0đ Hàm số đạt cực tiểu tại A(−7, 5) và z(−7, 5) = −29 1.0đ Câu 2 (2.0đ) I =

1

R

0

dx

−x

R

−1

(6x − 6y)dy 1.0đ

=

1

R

0

(6x − 9x2+ 3)dx = 3. 1.0đ Câu 3 (1.5đ) Đường AB: y = 2x − 5, 0.5đ

I =

1

R

2

[6x − 2(2x − 5) − 2(2x + 5 − 2x)]dx =

1

R

2

2xdx = −3 1.0đ

Câu 4 (1.5đ) I = 3 RRR

x 2 +y 2 +z 2 ≤1

(x2+ y2+ z2)dxdydz 0.5đ

= 3

2π

Z

0

dϕ

π

Z

0

dθ

2

Z

0

r4sin θdr = 384π

5 1.0đ

Câu 5 (3.0đ) a) dy

9 + y2 = 2xdx ⇔ arctany

3 = 3x

2+ C. 1.0đ

b) y = C1e−x+ C2e3x 1.0đ

y∗ = −ex(2x2+ 1), y = y + y∗. 1.0đ

Trang 8

Câu 1 (2.0đ)

Tìm điểm dừng





fx0 = 6xy + 18x − 6y − 18 = 0

fy0 = 3y2+ 3x2 − 6x = 0

giải ra M (1, 1), N (1, −1) 1.0đ

ĐH cấp 2:





6y + 18 6x − 6 6x − 6 6y



 0.5đ

Tại M (1, 1) : A = 24, ∆ = 144 ⇒ M là điểm cực tiểu

Tại N (1, −1) : ∆ = −72 ⇒ N không phải điểm cực trị 0.5đ Câu 2 (2.0đ)

Đổi sang toạ độ cực





x = 1 + r cos ϕ

y = r sin ϕ

0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 0.5đ

I =

Z 2π

0

dϕ

Z 1

0

r√

1 − r2dr 1.0đ

Tính đúng I = 2π3 0.5đ Câu 3 (1.5đ)

Áp dụng định lý Green I =RR

Ddxdy 1.0đ Tính đúng I = S(D) = 2 0.5đ Câu 4 (1.5đ)

Áp dụng định lý O-G I =RRRM(1 + 0 + 0) dxdydz 1.0đ

Tính đúng I = V (M ) = 43π.2.2.3 = 16π 0.5đ Câu 5 (3.0đ)

a) Nhận dạng PT VPTP (biến phân li), tích phân tổng quát x − xy2 = C 1.5đ

b) y = C1e2x+ C2e3x 0.5đ

y∗ = ex 0.5đ

y = C1e2x+ C2e3x+ ex 0.5đ

Trang 9

Câu 1 (2.0đ)

Tìm điểm dừng





fx0 = 3x2+ 3y2+ 6y = 0

fy0 = 6xy + 18y + 6x + 18 = 0

giải ra M (1, −1), N (−1, −1) 1.0đ

ĐH cấp 2:





6x 6y + 6 6y + 6 6x + 18



 0.5đ

Tại M (1, −1) : A = 6, ∆ = 144 ⇒ M là điểm cực tiểu

Tại N (−1, −1) : ∆ = −72 ⇒ N không phải điểm cực trị 0.5đ Câu 2 (2.0đ)

Đổi sang toạ độ cực





x = r cos ϕ

y = 1 + r sin ϕ

0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 0.5đ

I =

Z 2π

0

dϕ

Z 1

0

r√

1 − r2dr 1.0đ

Tính đúng I = 2π3 0.5đ Câu 3 (1.5đ)

Áp dụng định lý Green I =RR

Ddxdy 1.0đ Tính đúng I = S(D) = 2 0.5đ Câu 4 (1.5đ)

Áp dụng định lý O-G I =RRRM(0 + 0 + 1) dxdydz 1.0đ

Tính đúng I = V (M ) = 43π.2.3.3 = 24π 0.5đ Câu 5.(2.0đ)

a) Nhận dạng PT VPTP (biến phân li), tích phân tổng quát x + xy2 = C 1.5đ

b) y = C1e2x+ C2e4x 0.5đ

y∗ = ex 0.5đ

y = C1e2x+ C2e3x+ ex 0.5đ

Trang 10

Câu 1.(2.0đ)





fx0 = 4x3+ 6x − 4xy = 0

fy0 = −2x2+ 2y − 2 = 0

giải ra M (0, 1) 1.0đ

VP cấp 2: A = 12x2+ 6 − 4y; B = −4x; C = 2 0.5đ

Tại M (0, 1) ; A = 2 > 0, AC − B2 > 0suy ra hàm số đạt cực tiểu tại M , f (M ) = −1 0.5đ

Câu 2.(2.0đ) Đổi sang toạ độ cực





x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 0.5đ

I =

Z 2π

0

dϕ

Z 1

0

r√

1 − r2dr 1.0đ

Tính đúng I = 2π3 0.5đ Câu 3.(1,5đ) Áp dụng định lí Green ta được I =RR

D

(x + e−y) dxdy 0.5đ

Tính đúng I = 16 + 1e 1.0đ

Sinh viên làm theo tham số ra kết quả đúng vấn cho điểm tối đa.

Câu 4.(1.5đ) Tham số mặt cong





x = u

y = v

z = −4u − 5v

với u2+ v2 ≤ 1 0.5đ

Z Z

D

(u + 40v) dudv 0.5đ

I = 0 0.5đ Câu 5.(3.0đ) a) Dạng biến phân li, tích phân tổng quát 1

2ln(1 + x

2) = ey + C 0.5đ

b) ¯y = C1ex+ C2e3x 0.5đ y∗ = x + 1 0.5đ y = ¯y + y∗ 0.5đ

Trang 11

Câu 1.(2.0đ)





fx0 = 4x3+ 6x + 4xy = 0

fy0 = 2x2+ 2y + 2 = 0

giải ra M (0, −1) 1.0đ

VP cấp 2: A = 12x2+ 6 + 4y; B = 4x; C = 2 0.5đ

Tại M (0, 1) ; A = 2 > 0, AC − B2 > 0suy ra hàm số đạt cực tiểu tại M , f (M ) = −1 0.5đ

Câu 2.(2.0đ) Đổi sang toạ độ cực





x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 2 0.5đ

I =

Z 2π

0

dϕ

Z 2

0

r√

4 − r2dr 1.0đ

Tính đúng I = 16π3 0.5đ Câu 3.(1,5đ) Áp dụng định lí Green ta được I =RR

D

(x − e−y) dxdy 0.5đ

Tính đúng I = −16 +−1e 1.0đ

Sinh viên làm theo tham số ra kết quả đúng vấn cho điểm tối đa.

Câu 4.(1.5đ) Tham số mặt cong





x = u

y = v

z = −5u + 4v

với u2+ v2 ≤ 1 0.5đ

Tìm được VTP n = (5, −4, 1) và I =

Z Z

D

−u dudv 0.5đ

I = 0 0.5đ Câu 5.(3.0đ) a) Dạng biến phân li, tích phân tổng quát 1

2ln(1 + y

2) = − cos x + C 1.5đ

b) ¯y = C1ex+ C2e−4x 0.5đ y∗ = x − 1 0.5đ y = ¯y + y∗ 0.5đ

với u2+ v2 ≤ 0.5đ

Tìm VTP n = (1, 1, 1) I =

Z Z

D

(−2u + 3v + 20 22) dudv 0.5đ

I = 20 22? ? 0.5đ... 9x2+ 3)dx = 3. 1.0đ Câu (1.5đ) Đường AB: y = − 2x, 0.5đ

I =

1

R

2

[6x + 2( 5 − 2x) − 2( 2x + − 2x)]dx =... 9x2+ 3)dx = 3. 1.0đ Câu (1.5đ) Đường AB: y = 2x − 5, 0.5đ

I =

1

R

2

[6x − 2( 2x − 5) − 2( 2x + − 2x)]dx

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	188,2 KB