Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài toán về bất đẳng thức được ứng dụng nhiều trong các dạng bài toán khác như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình đặc biệt, ...và được sử dụ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN -*** -

Lĩnh vực: Khoa học tự nhiên / Môn: Toán

Tác giả: Lê Thị Hải Yến

Chức vụ: Giáo viên

Năm học :2012 - 2013

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

-000 -

Họ và tên: Lê Thị Hải Yến

Ngày tháng năm sinh: 29 / 6 / 1975

Năm vào nghành: 1996

Chức vụ: Giáo viên

Trình độ chuyên môn: Đại học

Đơn vị công tác: Trường THCS Cao Viên

Bộ môn giảng dạy: Toán

Khen thưởng:

Lao động tiên tiến cấp huyện năm học 2011- 2012

Năm học: 2012 - 2013

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một môn khoa học tự nhiên, đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa học và trong cuộc sống hàng ngày Ở bậc học phổ thông, toán học được coi là một môn học cơ bản, là nền tảng để các em học sinh phát huy năng lực bản thân, là tiền đề để các em học tốt các bộ môn khoa học khác

Toán học nghiên cứu rất đa chiều và phong phú về dạng, trong đó phải kể đến các bài toán về bất đẳng thức Đây là những bài toán hay nhưng khó Bài toán về bất đẳng thức được ứng dụng nhiều trong các dạng bài toán khác như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình đặc biệt, và được sử dụng nhiều khi ôn tập, ôn thi, các kì thi học sinh giỏi đặc biệt là thi học sinh giỏi khối 8, khối 9 Vì vậy, học sinh rất cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng như biết vận dụng để giải bài tập

Là người cùng đồng hành với các em trong quá trình học toán nhưng với vai trò là người dẫn dắt và định hướng nên tôi chọn đề tài này với mục đích khắc phục phần nào tâm lí e ngại của học sinh khi học về bất đẳng thức, từ đó giúp các em có hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Thực tế giảng dạy ở trường cho tôi thấy, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức Lí do là vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn nhiều hạn chế, khả năng tư duy chưa hoàn chỉnh, do đó các em còn lúng túng chưa biết vận dụng kiến thức vào giải các bài tập

Trong nội dung của đề tài, tôi xin tập trung giới thiệu một số phương pháp thường được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, dùng các bất đẳng thức đã biết, dùng biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp cùng một số bài tập vận dụng khác

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI ÁP DỤNG

+ Đề tài “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức “ áp dụng

được cho học sinh khối lớp 8, lớp 9 và thích hợp nhất là đối tượng học sinh khá, giỏi

+ Đề tài được tôi thực hiện trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khối lớp 8

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp kiểm tra có đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo

- Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và đồng nghiệp

B: PHẦN NỘI DUNG :

PHẦN I: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức, tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập hay định hướng cách làm, trong đó bao gồm cả học sinh có sức tiếp thu bài khá tốt

Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy

Số lượng học sinh

Điểm dưới trung

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1, Định nghĩa bất đẳng thức

+ a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b

+ a lớn hơn b, kí hiệu a > b ,

+ a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a b,

+ a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a b ,

2, Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức :

- Dạng không chứa dấu căn:

a2 + b2 2ab (a + b)2 4ab ( a+b

2 )

2

ab Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Dạng chứa dấu căn:

Với 2 số không âm a, b ta có: a b ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Mở rộng: với a, b, c không âm thì a+b+c

3

3

abc Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =c

3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với mọi số a; b; x; y ta có : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)

Dấu đẳng thức xảy ra <=>

y

b x

2 2

b a b

a

Giải :

Xét hiệu : H =

2 2

2

2 2

b a b

a

=

4

) 2

( ) (

2 a 2 b2 a 2 ab b2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

b a ab

b a b

=> H 0 với mọi a, b =>

2 2

2

2 2

b a b

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 2: Cho 3 số x, y, z không âm sao cho x + y + z = a

CMR: (a - x)(a - y)(a - z) 8xyz

3 Phương pháp 3: Phương pháp biến đổi tương đương

- Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng

Giả sử phải chứng minh A > B (1), ta biến đổi tương đương A > B A1 > B1

A2 B2 … C > D Nếu bất đẳng thức cuối đúng thì bất đẳng thức đầu tiên (1) là đúng

Chú ý: Nếu chưa chứng tỏ được bất đẳng thức cuối đúng thì chưa thể kết luận bất đẳng thức đầu tiên là đúng

1 1

3

2 2

b a b a

3

2 2

b a b

a



2 )

 a2 - ab + b2

2

2

b a

3

2 2

b a b

0 vì a + b = 1

<=> a2 + b2 -

2

1

0 <=> 2a2 + 2b2 - 1 0

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

2 1

bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng

- Nhắc lại:

* Bất đẳng thức Côsi:

- Dạng không chứa dấu căn:

a2 + b2 2ab (a + b)2 4ab ( a+b

2 )

2

ab Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Dạng chứa dấu căn:

Với 2 số không âm a, b ta có: ab

b a

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Mở rộng: với a, b, c không âm thì a+b+c

3

3

abc Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =c

c a

c

b c

b a

Giải

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương a và b+c, ta có :

a + (b + c) 2 a(b c) 

c b a

a c

b

Dấu “ = “ xảy ra  a = b+c Tương tự ta thu được :

c b a

b a

c b

c a

c

b c

y x

=> 3 ( 2 2 ) 6

2

ac b a a

c c b b

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

b, Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a+1 và 1, ta có:

2 2

1 ) 1 (

1 1

c b a c

b a

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0 trái với giả thiết : a + b + c = 1

VD 4.4

Cho x, y > 0 Chứng minh rằng :

y x y x

4 1

1 1

1 1

y x

5 Phương pháp 5: Chứng minh phản chứng

- Phương pháp: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta giả

sử bất dẳng thức đó sai, rồi vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài

để suy ra điều vô lý

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết hoặc là những điều trái ngược nhau hoặc là trái với các điều đã được chứng minh là đúng Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

Một số hình thức chứng minh phản chứng:

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

1 )

1

4 1

Tương tự : b(1 - b)

4 1

4 1

Nhân từng vế các bất đẳng thức được

6 4

Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn nhau suy ra điều giả sử là sai

Điều này chứng tỏ ít nhất một trong ba bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai

Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :

1 1 1 6

a

c c

b b

a

 ( 1) ( 1) ( 1) 6

c

c b

b a

=> ( 1) ( 1) ( 1) 6

c

c b

b a

Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên

Chia cả hai vế cho số dương a+b ta được :

ab > a2 - ab + b2 => (a - b)2 < 0 Điều này là vô lý

Vậy điều giả sử là sai, do đó a + b 2

Nhân từng vế của các bất đẳng thức sẽ dẫn đến mâu thuẫn

6 Phương pháp 6 Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến

- Phương pháp: Chia các giá trị của biến thành nhiều khoảng thích hợp và

chứng minh ở trường hợp nào bất đẳng thức cũng được thỏa mãn Vậy bất đẳng

thức đúng với mọi giá trị của biến

7 Phương pháp 7 : Đổi biến số

- Phương pháp: Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn, gọn hơn hoặc dạng những bài toán đã biết cách giải

c a c

b c b a

và a =

2

x z y

, b =

2

y x z

, c =

2

z y x

Khi đó :

VT =

a b

c a c

b c

y x z x

x z y

2 2

2

=

2

3 2

3 1 1 1 2

3 ) (

2

1 ) (

2

1 ) (

2

1

z

y y

z z

x x

z y

x x

y

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

VD 7.2 :

Cho a, b, c > 0; a + b + c 1 Chứng minh rằng :

9

2

1 2

1 2

1

2 2

2

ab c

ca b

bc a

Hướng dẫn:

Đặt : a2

+ 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2

+ 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành: Cho x, y, z > 0; x + y + z 1

Chứng minh rằng : 1 1 1 9

z y

Ta chứng minh được : (x + y + z)( 1 1 1) 9

z y x

với x ; y ; z > 0 (VD 4.4)

Mà x + y + z 1 nên suy ra 1 1 1 9

z y

8 Phương pháp 8: Phương pháp quy nạp toán học

- Phương pháp: Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n 1 (n n0 ) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

Vậy (**) đúng với mọi k 4

+ Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3

1 3

1 3 1

k

) 1 ( 2

1 2

k k

1 3

1

k

) 1 ( 2

1 2

1 2

k

k

1 ) 1 ( 3

1

1 2

k

k

1 ) 1 ( 3

c a b a

c a b a

* NÕu a, b, c, d > 0 vµ

d

c b

a

th×

d

c d b

c a b a

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d a c

b a

a c

b a

a

MÆt kh¸c

d c b a

a c

b a

a

(2)

Tõ (1) vµ (2) =>

d c b a

d a c

b a

a d

c b a

b c a

d c

c d

c b a c

(5)

d c b a

c d b

a d

d d

c b a

d

(6) Céng vÕ víi vÕ cña (3), (4), (5),(6) ta cã

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a

a

vµ b, d > 0 Chøng minh r»ng

d

c d b

cd ab b

a

2 2

Gi¶i:

Tõ

d

c b

a

2 2

d

cd b

b

cd ab b

a

2

Ngoài 9 phương pháp vừa nêu ở trên còn một số phương pháp khác

có thể chứng minh bất đẳng thức như: phương pháp làm trội, phương pháp dùng tam thức bậc hai nhưng trong phạm vi nhỏ của đề tài, tôi không nêu ra những phương pháp đó

III : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC :

1- Ứng dụng 1: Giải bài toán tìm cực trị :

- Phương pháp: Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m

+ A 0 với mọi A Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0

+ A B A B Dấu '' = '' xảy ra khi AB 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x2 + x)(x2 + x - 4)

Vậy min A = - 4 khi x = -2 hoặc x = 1 ;

Bài 1.4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a3 + b3 + ab, biết a và b là hai

Bài 1.5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x

Bài 1.7 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

)

1 ( )

1 ( )

1 (

c

c b

b a

a

Lƣợc giải:

Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( 12 12 12

c b a

) + 6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có :

(a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2)

=> a2 + b2 + c2

3 1

) 1 1 1 (

c b a

3( 1 1 1 )

2 2 2

c b a

(1)

Mặt khác ta chứng minh được (

c b a

1 1 1

)(a + b + c) 9

=>

c b a

1 1 1

9 do a + b + c = 1

) 1 1 1 (

c b

Từ (1) và (2) => )

1 1 1 (

2 2 2

c b a

3 1

+ Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn (thoả mãn TXĐ)

=> phương trình có nghiệm là số đó hoặc những số đó

+ Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn => phương trình vô nghiệm

- Các ví dụ :

Với cách giải tương tự Bài 1, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được:

VP 4 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3

VT 4 Dấu '' = '' xảy ra khi 6 x = x 2  x = 2

=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm

6

( 2 ) 4 ( 2 ) 2

x x

Ta thấy VT 1 + 3 = 4 (dấu “=” xảy ra  x = 2)

3x2 x 2 ; y2 4y 13 3 => VT 5

Dấu '' = '' xảy ra khi :

0 2

0 2

0 3 4 2

2 2 2

2 3

y y x x

y y x

y x

z y x

4 4 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z =

3

1

- Phương pháp: Sử dụng hợp lí các tính chất của bất đẳng thức và bài toán nghiệm nguyên để tìm nghiệm của phương trình

- Các ví dụ :

Bài 4.1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

z y x

1 1 1

2 =

z y x

1 1 1

1 1

Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình

Hoán vị các số trên, ta được nghiệm của phương trình là :

3 Giải tương tự Bài 1

Bài 4.3 Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải

Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z Ta có: x + y + z = xyz (1)

Không mất tính tổng quát , ta giả sử 1 x y z

=> xyz = x + y + z 3z

Chia hai vế của bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta có : xy 3

Suy ra xy 1; 2 ; 3

+ Với xy = 1 thì x = 1 ; y = 1 Thay vào (1) ta có z = -2 (loại)

+ Với xy = 2 thì x = 1 ; y = 2 Thay vào (1) ta có z = 3

+ Với xy = 3 thì x = 1 ; y = 3 Thay vào (1) ta có z = 2 (loại vì trái với giả sử y z)

Vậy ba số cần tìm là 1; 2; 3

- Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác: với a, b, c là độ dài

ba cạnh của một tam giác thì

p

) 1 1 1 (

c b a

Giải:

Ta có : p - a = 0

2

a c b

c b p a p b p a p

4 ) ( ) (

4 1

1

Tương tự :

a c p b p

4 1 1

b c p a p

4 1 1

1 1 1 ( 4 ) 1 1

1 (

2

c b a c

p c p a

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Bài 5.2: Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác

CMR trong một tam giác nhọn, tổng độ dài các đường trung tuyến luôn lớn hơn

4 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp

Giải:

Gọi ma , mb , mc là độ dài ba đường trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma + mb +mc > 4R

Vì ABC là một tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O nằm

trong tam giác ABC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm O nằm ở một

trong ba tam giác GAB, GAC, GBC Giả sử tâm O nằm trong GAB thì

Do đó ma + mb + mc > 3R + R = 4R

IV:BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Bài 1: Cho hai số x và y mà x + y = 1 CMR : x4 + y4 1

8

Bài 2: Cho hai số dương x,y và x3 + y3 = x - y CMR: x2 + y2 < 1

Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1 1

Bài 7: CMR: Nếu a 1; b 1 thì a b 1 a b

Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức Cô si tổng quát với n số không âm bằng

phương pháp quy nạp toán học :

1 2

(a a a n )n a a .a n

ca+b-c 3

Bài 10: Giải các phương trình sau bằng phương pháp bất đẳng thức:

a) 5x-2 + 7-5x = x2 - 10x + 35

b)

2

2 2

V : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU :

Sau khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm trên vào giảng dạy tôi thấy học sinh đã có những tiến bộ tích cực Các em đã xác định được loại toán và cách giải, nhiều em học sinh đã vận dụng được tương đối tốt các phương pháp

để giải bài tập về bất đẳng thức Kết thúc đề tài, qua kiểm tra đối chứng tôi thấy chất lượng học tập được nâng lên rõ rệt Cụ thể:

* Đề bài kiểm tra khảo sát sau khi thực hiện đề tài:

Bài 1: Cho x 0; y 0, chứng minh rằng

c c

b a

b c

a b a

= 3 ( ) ( ) ( )

c

a a

c b

c c

b a

b b

Vậy D 9 nên min D = 9  -3 x 2

Bài 4 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5(x + y) = xy (1)

y <

1

5 => y > 5 Suy ra 5 < y 10 => y 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 1 0

Thay lần lượt các giá trị của y vào phương trình (1) ta được

Hoán vị các số trên, ta được nghiệm của phương trình là :

(x ; y) = (6 ; 30), (30 ; 6), (10 ; 10)

* Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài:

Số lượng học sinh

Điểm dưới trung