Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán THCS

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào tính chất song song của đường thẳng trong mặt phẳng………...12 3.. Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các đường tron

Lời Cảm Ơn

luận tốt nghiệp tôi đã gặp rất nhiều khó khăn Nhưng nhờ vào sự giúp đỡ động viên của các thầy

cô giáo và các bạn em đã hoàn thành khóa luận này

Lời đầu tiên tôi xin gửi đến thầy giáo ThS Trần Mạnh Hùng lời cảm ơn sâu sắc nhất, cảm ơn thầy

đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo cho tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này

Và để hoàn thành khóa luận này, chúng tôi rất trân trọng cảm ơn các quý thầy cô trong khoa Khoa học tự nhiên trong suốt quá trình giảng dạy đã cung cấp kiến thức nền tảng để tôi

có thể nghiên cứu được

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô

đã dành thời gian quý báu của mình để đọc và góp ý cho khóa luận của tôi, trong quá trình làm khóa luận vẫn không tránh khỏi những khuyết điểm, thiết sót kính mong nhận được sự đóng góp chỉ bảo của các quý thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Đồng Hới, tháng 5 năm 2017

Sinh viên thực hiện

Thị Thanh Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực hiện có sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn và không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!

Sinh viên

Hoàng Thị Thanh Huyền

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu: 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1 Đường đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song……… 3

2 Tam giác……… 4

3 Đường tròn……… 5

4 Góc……… 7

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1 Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa………… 9

2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào tính chất song song của đường thẳng trong mặt phẳng……… 12

3 Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông…… 14

4 Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các đường trong tam giác và trong hình học phẳng……… 17

5 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường tròn và các yếu tố trong đường tròn……… 18

6 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào định lí 4 điểm và định lí Pitago………21

7 Tính chất của hai tia phân giác của hai góc kề bù………26

8 Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn……… …… …28

9 Định nghĩa ba đường cao trong tam giác, định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng , đường cao và cạnh đối diện trong tam giác……….30

10 Tính chất tiếp tuyến của đường tròn và đường thẳng thứ ba…… 32

11 Sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác đều, hình chữ nhật……… … 33

12 Sử dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc

với dây cung ……… ……… 35

13 Sử dụng định lý hai đường thẳng song song đường nào vuông góc với đường

thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thứ hai và chúng song song với hai đường

thẳng vuông góc khác……… 37

PHẦN III: KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

7

Khai thác bài toán nói chung và khai thác phát triển bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng sẽ là một trong những phương pháp giúp phát triển tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh

1.2 Cơ sở thực tiễn:

Học sinh trung học cơ sở chưa biết hoặc hệ thống còn chưa đầy đủ các phương pháp chứng minh hình học nói chung và chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng

Học sinh chưa biết cách khai thác một bài toán hình học, chưa đúc rút được kinh nghiệm qua mỗi bài giải

Thời gian trên lớp học còn hạn chế nên việc hệ thống lại các phương pháp chứng minh cho học sinh còn hạn chế ở mọi cấp lớp

Vì vậy trong khuôn khổ cho phép, em xin nghiên cứu đề tài về “ Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán THCS”

2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp cho học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Củng cố cho học sinh những kĩ năng chứng minh hình học

Giúp cho học sinh có sự hệ thống trong phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Giúp cho học sinh biết cách khai thác một bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Làm cho học sinh thêm sự hứng thú khi học phân môn hình học nói chung và khi học chứng minh hai đường thẳng vuông góc nói riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau: Tôi đã đề xuất một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng

Sưu tầm một số bài toán về chuyên đề chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Sưu tầm một số ví dụ cụ thể để thấy rõ việc nắm chắc các phương pháp có

thể giải quyết dễ dàng một bài toán chứng minh

4.Đối tượng nghiên cứu:

Các kiến thức cơ bản có liên quan đến chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán trung học cơ sở

Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán trung học cơ sở

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Các kiến thức trong chương này được trích ở mục số: [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] trong tài liệu tham khảo

1 Đường thẳng vuông góc và

đường thẳng song song

1.1 Hai đường thẳng vuông góc:

Định nghĩa [3, trang 84]: Hai

đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và

trong các góc tạo thành có một góc

vuông được gọi là hai đường thẳng

vuông góc và kí hiệu là xx’  yy’

Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng

vuông góc [3, trang 92]: Có một và chỉ

một đường thẳng a’ đi qua điểm O và

vuông góc với đường thẳng a cho

trước

Đường trung trực của đoạn

thẳng:

Định nghĩa [3, trang 85]: Đường

thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng

và vuông góc với đoạn thẳng được gọi

là đường trung trực của đoạn thẳng ấy

Tính chất: Khi d là đường trung

trực của đoạn thẳng AB thì ta cũng nói

AB đối xứng nhau qua đường thẳng d

1.2 Hai đường thẳng song song:

Định nghĩa: Là hai đường thẳng không có điểm chung Ký hiệu: a//b

Tính chất [3, trang 93]: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song

Hai góc so le trong bằng nhau

Hai góc trong cùng phía bù nhau

1.3 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng

2.1 Tam giác vuông:

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc 90o)

Định lí [4, trang 65]: Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng

nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến )

Định lí Pytago [3, trang 129]: Trong một tam giác vuông, bình phương của

cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

∆ABC vuông tại A, ta có: BC 2 =AB 2 +AC 2

Định lí Pytago đảo [3, trang 129]: Nếu một tam giác có bình phương của

một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông, ∆ABC: BC 2 =AB 2 +AC 2

2.2 Đường trung trực của tam giác [4, trang 78]:

Định nghĩa: Đường trung trực của cạnh của tam giác là đường trung trực của

tam giác

Định lí: Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm điểm đó

cách đều ba đỉnh của tam giác

Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là

đường trung tuyến tương ứng với cạnh này

2.3 Đường cao của tam giác [4, trang 81]:

Định nghĩa: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường

thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao

Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này gọi là

trực tâm

Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là

đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện

2.4 Tam giác cân [3, trang 125]:

Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau

Tính chất: Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau Tam giác có hai góc

bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

3 Đường tròn

3.1 Định nghĩa, các tính chất liên quan và sự xác định đường tròn:

Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một

điểm I cho trước một khoảng bằng R cho trước Điểm I gọi là tâm của đường tròn

R gọi là bán kính của đường tròn Nếu đường tròn có tâm I bán kính R thì ký hiệu

là (I; R)

Tính chất liên quan đến đường tròn [7, trang 97]:

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó

Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

Sự xác định đường tròn [7, trang 97]:

Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một bởi một điều kiện của nó Nếu

AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng R=AB/2

Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ được một đường tròn và chỉ một mà thôi

3.2 Tiếp tuyến của đường tròn [7, trang 110 – 115]:

Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có

một điểm chung với đường tròn Điểm đó được gọi là tiếp điểm

Đường tròn nội tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác của tam giác

Đường tròn bàng tiếp của tam giác là: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia

Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến

Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đến hai tiếp điểm: Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

3.3 Đường kính và dây cung của đường tròn [7, trang 102]:

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây ấy

Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm thì vuông góc với dây

3.3 Tứ giác nội tiếp đường tròn [8, trang 87]:

Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn

Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng hai

góc vuông Ngược lại, trong một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn

3.4 Định lí bốn điểm:

Định lí: Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi tổng

bình phương của hai cạnh đối diện bằng nhau

Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách

đều hai cạnh của góc đó

Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh

của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

4 Góc:

4.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan đến góc:

Định nghĩa: Trong hình học phẳng, Góc nằm giữa hai đường thẳng cắt nhau

tại một điểm Hai đường thẳng được gọi là cạnh của góc Giao điểm của chúng gọi

là đỉnh của góc

Tính chất:

Góc ở tâm (góc có đỉnh ở tâm đường tròn) [8, trang 60]: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn

Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm [8, trang 77]:

Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo của cung bị chắn

Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn [8, trang 80]: Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy

Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn [8, trang 81]: Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc

4.2 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn [8, trang 72]:

Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên một đường tròn và hai

cạnh của nó cắt đường tròn

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của

cung bị chắn

Hệ quả:

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một

đường tròn thì bằng nhau

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Trong một đường tròn, mọi góc nội tiếp không quá 90 O có số đo bằng nửa

số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

4.3 Cách dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB [8, trang 60]:

Dựng đường trung trực d của AB

Dựng tia Ax tạo với AB một góc µ, sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax

O là giao của Ax’ và d

4.4 Quỹ tích cung chứa góc [8, trang 83]:

Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc µ không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc µ dựng trên đoạn thẳng AB Đặc biệt là cung chứa góc 90olà đường tròn đường kính AB

CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

1 Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa:

Phương pháp: Để chứng minh hai đường vuông góc thực chất ta chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó bằng 90o

Có rất nhiều cách chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90o

như : Dựa vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 180o, ta đi chứng minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90o

Chứng minh góc đó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì góc đó có số đo bằng 90o

Chứng minh tổng các góc tạo thành góc cần chứng minh bằng 90o

* Nhận xét: Phương pháp này thường được áp dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc Tuy nhiên trong những trường hợp tính số đo góc tạo bởi hai đường thẳng gặp khó khăn

Bài tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ( ˆA = ˆD = 90o) có CD = 2AB Gọi

H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC Chứng minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳngqua BM

Do D 90o

Có  ADEM là tứ giác nội tiếp nên ADEAMD (vì cùng chắn AD) (1.2)

DMB AMDAMBAEDBEA

Hay DM  BM tại M (điều phải chứng minh) 

Khai thác bài toán : Nếu ta tìm cách tạo đường một đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng cần chứng minh và chứng minh đường thẳng này vuông góc với đường thẳng còn lại thì ta có cách làm thư hai của bài toán này

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E là giao điểm của hai cạnh đối AD và BC Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau Bài làm:

Gọi Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác của hai góc F và E

Gọi: Fx  (O) =  K N ,  ; Ey  (O) =  H P ,  ;

E (vì Ey là phân giác ˆE)

AP  DH PB HC   (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) (1.3)

Tương tự: ˆ ˆ

F  F nên AN  BK  ND KC  (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) (1.4) Cộng từng vế với vế (1.3) và (1.4) ta được :

NP  HK = 90o (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Hay EI  FI  Ey  Fx (điều phải chứng minh)

Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E là giao điểm của hai cạnh đối AD và BC Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau

Bài làm:

Gọi Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác của hai góc F và E

Gọi I= Fx  Ey; Vì ABCD là tứ giác nội tiếp (O) suy ra ˆC Aˆ

Vì Fx và Ey lần lượt là hai tia phân giác góc F và góc F nên Fˆ Fˆ

2 3 2 3) = 180o – 90o = 90o

2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào tính chất song song của đường thẳng trong mặt phẳng

Ta dựa vào tính chất: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia

* Nhận xét: Đây là phương pháp hữu hiệu để chứng minh hai đường thẳng vuông góc khi trong bài toán còn có các yếu tố song song

Bài tập 1: Cho hình thang vuông ABCD ( ˆA = ˆD = 90o) có CD = 2AB Gọi

H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC Chứng

minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳngqua BM

Từ (2.4), (2.6) suy ra BM  DM (điều phải chứng minh)

* Nhận xét: sử dụng phương pháp thứ 2 để chứng minh hai đường thẳng

vuông góc Như vậy trong một bài toán ta có thể linh hoạt vẽ thêm các đường phụ

để thuận lợi áp dụng các cách chứng minh dễ dàng Ngoài ra ta còn có thể áp

dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để giải quyết bài toán này

Bài tập 2: Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình

chiếu của H trên AC Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE Chứng minh AO

vuông góc với BE

Bài làm:

Ta có: HK là đường trung bình của BEC nên HK // EB (2.7)

Trong EHC ta cũng có OK là đường trung bình nên OK // HC (2.8)

Ta có:AH  HC (2.9)

Từ (2.8) và (2.9) ta có: OK  AH ( 2.10)

Lại có HE AC (vì E là hình chiếu của H trên AC) (2.11)

Từ (2.10), (2.11) suy ra O là trực tâm của AHK Vậy AO  HK (2.12)

Từ (2.7) và (2.12) suy ra AO  BE (Đpcm)

* Nhận xét: Ta vừa sử dụng phương pháp thứ 2 để giải quyết bài toán trên

Mấu chốt của bài toán là AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của

ABC Vì vậy nếu ta thay đổi hình dạng của tam giác nhưng vẫn đảm bảo AH

vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến thì ta được bài toán mới với cách giải

tương tự như trên

3 Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định lí nhận biết một tam giác

vuông:

Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta tìm cách gán hai

đường thẳng đó trở thành hai đường thẳng chứa hoặc song song với hai cạnh góc

vuông của một tam giác vuông

Để chứng minh ta dựa vào định lí nhận biết sau:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của

hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí Pitago đảo)

Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam

giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến)

Bài tập1: Cho hình thang vuông ABCD ( ˆA = ˆD = 900 ) có CD = 2AB Gọi

H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC Chứng

minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳngqua BM

Bài làm:

Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

Kẻ BE  DC tại E Ta có ABDE là hình chữ nhật Do đó: AB = DE = EC

Trong DHC có : ED=EC và MH=MC Nên EM là đường trung bình

Suy ra: EM HC.Ta lại có: AME là tam giác vuông tại M Gọi O là

trung điểm của AE mà O cũng là trung điểm của BD

Nên MO là đường trung tuyến trong tam giác BDM (3.1) Trong vuông AEM có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Từ (3.1) và (3.2) suy ra BDM là tam giác vuông tại M hay BM DM tại

M (điều phải chứng minh)

* Nhận xét: Với cách trên ta vừa sử dụng tính chất đường trung tuyến trong

tam giác để giải quyết bài toán chứng minh.Cách áp dụng này khá dễ dàng và có

thể áp dụng đưa bài toán cho học sinh lớp 7 giải được

Bài tập 2: Cho tam giác vuông AHC có ˆH = 90o Đường cao HE Gọi O, K

lần lượt là trung điểm của EH và EC

Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của B trên AC I và

N lần lượt là trung điểm của AD và HC Chứng minh BN vuông góc với IN

Bài làm: Gọi M là trung điểm của BH

Ta có: AM  BN (đã chứng minh ở bài tập 3 của phương pháp 1) (3.3)

Ta còn chứng minh AM // IN Suy ra : MN là đường trung bình của HBC

nên MN // BC và MN =1

2BC Mặt khác: ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của AD nên AI // BC

Và AI = 1

2BC

Do đó AI // MN và AI = MN suy ra MNIA là bình hành Vậy AM // IN (3.4)

Từ (3.3) và (3.4) suy ra BN vuông góc với IN

4 Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các

đường trong tam giác và trong hình học phẳng

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E là giao điểm

của hai cạnh đối AD và BC Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB

Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau

1  2  1  2 (góc ngoài đỉnh D của DFE)

Do  ABCD là tứ giác nội tiếp (O) suy ra ta có D ˆ B ˆ

1  1 = 180oNên C ˆ C ˆ E ˆ E ˆ F ˆ F ˆ

1  2  1  2   1 2 = 180o (4.1)

Mà E ˆ E ˆ

1  2 (vì Ey là phân giác E)