đề và HDC HSG 12QB

Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bớc giải trớc thì cho điểm 0 đối với những bớc g

Sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12

năm học : 2009 - 2010

Môn : toán (vòng 1)

đáp án, hớng dẫn chấm

(Đỏp ỏn, hướng dẫn này cú 2 trang)

yêu cầu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận

lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bớc giải trớc thì cho điểm 0 đối với những bớc giải sau có

liên quan.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là

0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

1

Xột hàm số : f x( ) 2008= x +2010x −4016x −2

Ta cú: f x'( ) 2008 ln2008 2010 ln2010 4016= x + x −

''( ) 2008 ln 2008 2010 ln 2010 0 x x

⇒

⇒

f '(x)=0 coự nhieàu nhaỏt laứ moọt nghieọm

f(x)=0 coự nhieàu nhaỏt laứ hai nghieọm

Mà ta thấy f(1) = f(0) = 0

Nờn pt đó cho cú hai nghiệm x = 0 và x = 1

(3,0)

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

2

Ta cú : 1

1

4

x + −x ≥ ≥x −x

x + x

⇒ ≥ vỡ 0 <x n < 1)

{ }x n

⇒ là dóy tăng và bị chặn nờn hội tụ

Đặt a= limx n Ta cú: (1 ) 1

4

a − ≥a (vỡ 1(1 ) 1,

4

x+ −x ≥ ∀ ∈n N )

0

Vậy: limx 1

2

n =

(2,0)

0,5 0,25 0,25 0,25

0,5 0,25

3

Đặt: a 1 1,b 1 1,c 1 1

a b c

+ +

(3,0)

0,5 0,5

1

N M D

A

B

C E

F

Ta có: a4 + + + 4 4 4 4 4 4 ≥ 4 4 a4 12 4 = 4 4a⇔a4 + 3.4 4 ≥ 4 4a (1)

Tương tự ta có : 4 4 4

b + ≥ b(2),

c4 + 3.4 4 ≥ 4 4c(3)

Cộng (1), (2), (3) ta có :

a + + +b c ≥ a b c+ + ≥ ⇒a + + ≥b c =

3

⇔ = = = ⇔ = = =

0,5 0,5 0,5 0,5

4

Trong mặt phẳng (ABC), ta chọn hệ toạ độ trực chuẩn sao cho A(0,0),

D(xD ; 1), E(xE ; 1), F(xF ; 1) (gốc toạ độ tại A và đặt trục hoành sao cho

đường thẳng qua D, E, F vuông góc với nó) thì , xD, xE, xF khác 0 và xE, xF

khác xD (vì E, F khác D)

Vì hệ số góc của đường thẳng AE là 1

E

x nên hệ số góc của BE là – xE

và BE có phương trình là y = −x x x E( − E) 1+

Tương tự BC có phương trình y = −x x x D( − D) 1+ .

Giải hệ hai phương trình trên ta được tọa độ điểm B là (xD + xE ;1 - xDxE)

Hoàn toàn tương tự ta được toạ độ của điểm C là (xD + xF ;1 - xDxF)

Từ đó, ta có

D

x +x

Vì vậy hệ số góc của AN là 2

x +x và của MN là 2

x +x

Vậy AN ⊥MN

(2,0)

0,25

0,5

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

2