Đề và HDC HSG Toán THPT_03

ĐỀ CHÍNH THỨC.

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BTTH

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời

gian giao đề)

-Bài 1 (3 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số:

2

cos sin 

y

2

1



x

Bài 2 (2 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị x

> 0

 x x

Ln1 

Bài 3 (2 điểm)

3









1/ Tính đạo hàm y'

2/ Tìm m để:

a) y' > 0 với mọi x  R b) y' < 0 với mọi x 0 ; 1

Bài 4 (1 điểm)

Cho 3 số a , b , c dương và a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 323









c a

c

b c

b

a

Bài 5 (2 điểm)

Cho đường tròn (C) và đường thẳng (d) có phương trình là:

(C): x2 + y2 = 1

(d): Ax + By + 1 = 0

a) Chứng minh rằng nếu đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C)

thì ta có: A2 + B2 = 1

b) Giả sử (d) tiếp xúc với (C) và M, N là hai điểm thuộc (C) sao cho

xM =  1, yN = 1

Hãy tính A , B để tổng các khoảng cách từ M và N đến (d) là nhỏ nhất

ĐỀ CHÍNH

THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN

TOÁN KỲ THI HSG BTTH NĂM HỌC 2003 - 2004

(Khóa thi ngày 24 tháng 12 năm 2003)

-Bài 1: (3 điểm)  

2

1 2

1













y sin sin x sin sin

Đặt sin = t ( 1  t  1)

2

1

2









t t- t t

điểm

Lập bảng biến thiên ta có:

t -1  ½ 1 f’(t)  0

+

¾

2

3







y

4

3









y

Bài 2: (2 điểm)

Giải: Xét hàm số :  f x Ln1 x x

Ta có   1

1

1







x x

1 1

1 1















x

x x

x

(vì x > 0) Hàm  f x nghịch biến  x > 0

0,5 điểm

   0

x  



1    1  0 0

 

 x x Ln

x x Ln













 1

0 1

0,5 điểm

Bài 3: (2 điểm)

1/ y'x2 2mx 1  mf x 0,5 điểm 2/ a) y' 0  x  R khi và chỉ khi:































2 2 0 0

2 m m m

a

Trang 2 - HDC đề chính thức kỳ thi HSG Toán BTTH (Khóa ngày 24/12/2003)

b) y’ < 0 với mọi x  (0, 1) khi và chỉ khi:

1,0 điểm

  



f'1) 0 2 3m 0

1



Bài 4: (1 điểm)

Ta có:

2 2

2 2

2

1 1

c b

b

b a

a

a VT











Ta sẽ chứng tỏ:

3 3 1

2 2

a

a

a



Thật vậy (1)  

27

4

1 2 2 2





điểm

Bất đẳng thức này đúng vì:

27

4 3

1 1

2 2

1 1

1 2 2

1 1

3 2 2

2 2

2 2 2

2 2













    









a a a a

Thay a bởi b và c ta cũng có các bất đẳng thức dạng (1)

Do vậy

2

3 3 2

3 3 2

3 3 2

3







Bài 5: (2 điểm)

a) Xét (C): x2 y2  1  tâm O (0, 0), bán kính R = 1

Do đó (d): Ax + By + 1 = 0 tiếp xúc (C)

 O cách (d) một khoảng bằng R = 1

2







B A B

A

B A

.

1,0 điểm

XM =  1, YN =1 N (0; 1) (d) tiếp xúc (C) nên A2 + B2 = 1 , do đó có thể đặt

A = cosx , B = sinx với x  [0, 2]

Tổng khoảng cách từ M, N đến (d) là:

 

B A B

A

B A

B A B

A

B A

S



































2 1 1

1 1 0 1

0 1

2 2 2

2

.

Trang 3 - HDC đề chính thức kỳ thi HSG Toán BTTH (Khóa ngày 24/12/2003)

S

Xét hàm  S x 2  cos c sinx

 x x x

S' cos sin

0 4









 



 sin x

























































2 2 4

7

2 2 4

3

4 7 4 3

S x

S x

x

x

x  0 3/4 7/4 2

+

S’(x) + 0  0

+ S(x) 2  2

1

1 2  2 Min S = 2  2 đạt được khi x74















2 2 2 2

B

A

0,25 điểm

_

Chú ý:

1/ Học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối

đa theo điểm quy định của bài (hoặc phần đó)

2/ Điểm toàn bài đươûc cho lẻ đến 0,25 điểm - không làm tròn