Toán học châu âu thế kỉ 5 16

Theo lịch sử thì thời kì chung cổ của Châu Âu bắt đầu từ năm 476 là năm đế chế La Mã sụp đổ đến năm 1453 là năm quân Thổ Nhĩ Kỳ chiếm đánh thành chố Constantionple. Vào thế kỷ thứ XV,XVI hàng loạt các nước Tây Âu và Trng Âu đã có sự phát triển của kĩ thuật,văn hóa và tư tưởng khá mạnh mẽ được gọi là thời kì phục hưng. Số học(biểu tượng bởi một phụ nữ đứng giữa) dường như quyết định dứt khoát cuộc tranh luận “Abaciste” đối lập “Algoriste”. Người phụ nữ quả nhiên nhìn về hướng người làm tính dung chữ số “Ả Rập”( chữ số mà xiêm áo của người phụ nữ được trang hoàng); biểu tượng chiến thắng của phép tính hiện đại ở Tây Âu.

NHÓM 6

V TOÁN HỌC Ở CHÂU ÂU (TỪ THẾ KỈ THỨ V ĐẾN THẾ KỈ THỨ XVI)

 Theo lịch sử thì thời kì chung cổ của Châu Âu bắt đầu từ năm 476 là năm đế chế La

Mã sụp đổ đến năm 1453 là năm quân Thổ Nhĩ Kỳ chiếm đánh thành chố

Constantionple

 Vào thế kỷ thứ XV,XVI hàng loạt các nước Tây Âu và Trng Âu đã có sự phát triển của

kĩ thuật,văn hóa và tư tưởng khá mạnh mẽ được gọi là thời kì phục hưng

 Số học(biểu tượng bởi một phụ nữ đứng giữa) dường như quyết định dứt khoát cuộc

tranh luận “Abaciste” đối lập “Algoriste” Người phụ nữ quả nhiên nhìn về hướng

người làm tính dung chữ số “Ả Rập”( chữ số mà xiêm áo của người phụ nữ được trang

hoàng); biểu tượng chiến thắng của phép tính hiện đại ở Tây Âu

1.Tây Âu với nền toán học Ả Rập

Gerbert 940-1003

Trong khoảng thế kỉ thứ V đến XI,trình độ hiểu biết toán học ở châu Âu rất

thấp.Không thể tìm thấy những phát minh ,những công trình toán học quan

trọng,ngay cả số người học toán cũng rất hiếm.Những người có kiến thức

toán học vượt lên thường là các thầy tu

Việc mở trường học là tiền đề tổ chức cơ bản cho sự phát triển toán học ở

châu Âu.Một trong những trường học đầu tiên được tổ chức ở thành phố

Raimơ (Pháp)do Gerbert (940-1003).Về sau ông trở thành Giáo hoàng La

Mã có tên là Xinvéttơ II

Ở trừng học của Gerbert ,người ta dạy 4 môn:triết học,toán học,logic

học,thiên văn học.Về toán họ trích dạy 1 vài đoạn trong bộ ‘’Cơ bản’’ cỏa

Owclit

Ở đó người ta dạy tính toán tho nhiều truyề thống tính toán khác nhau.Có phái chủ chương là sử dụng bảng tính và cách đánh số La Mã theo cơ số 12

Vào thế kỉ XII ,châu Âu đã bắt đầu xuất hiện những trường đại học tổng hợp đầu tiên Sớm nhất là trường ở Bôlônhơ ,Xalécnô(Italia),sau đó có những trường đại học Tổng hợp ở

Paris(1200),Oxford(1214),Cambridge(1231),Praha (1347),Viên (1367)…

Tình độ hiểu biết toán học của những người tốt nghiệp đại học còn rất thấp.Cho đến thế kỉ XVI,ở trường đại học Paris người ta chỉ dạy 6 quyển đầu của bộ ‘’cơ bản’’ của Owclit

Việc dịch sách toán tù tiếng Ả Rập được tăng cường trong các thế kỉ XII,XIII và việc nghiên cứu các bản thảo tiếng Ả Rập để làm giàu học vấn toán học Châu Âu được tiếp tục trong các thế kỷ

XV –XVII Bộ ‘’Cơ bản’’ Owclit được dịch lại nhiều lần Cuối sách dịch không quên đưa vào bảng

số hình vuông thiêng liêng

Người ta thường gọi ông là lêôna Pidơ

(Leonard de Pise).Ông là nhà toán học châu Âu đầu tiên thộc thời kì

Trung Cổ

Năm 1202,sau khi về quê ,ông đã viết ‘’sách dạy sử dụng bàn tính’’ gồm 15 phần và dày

459 trang Trong 7 phần đầu ông nói về 9 kí hiệu của Ấn độ dùng trong phép đếm và cosnois đến kí hiệu số không.Các phần từ 8-11 gồm những úng dụng buôn bán(quy tắc tam suất,chia tỉ lệ ,các bài toán xác định tuổi của tiền ….)

Phần 12-13 trình bà quy tắc giả thử đơn ,kép,tổng cấp số cộng, bình phương các số tự nhiên, tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định bậc 1.Phần 14 dạy cách tính căn thức bậc 2,3 và phép tính biểu thức dưới dạng

( a ± b )

Phần 15 trình bày về đại số(giống với đại số của An Khôrétmi)những bài toán liên quan đến phân số,những bài hình học áp dụng định lí pitago

Năm 1220 Ông viết cuốn ‘’Hình học thực dụng’’trình bày biệc tính thể tích của đa giác , các vật thể ,hình cầu,trong đó có cả những bài toán về lượng giác

Và ông còn có công trình có tiếng nữa là lý thuyết số.Nó nêu tính chất các số dẫn đến các tổng dạng :

Và cả việc tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình

Cuối cùng là tài liệu về sự tham gia của ông vào những cuộc thi toán về việc giải những bài toán khó

Trong vòng hơn 200 năm các tác phẩm của Lêôna là mẫu mực của các công trình toán học đối với người châu Âu.Nhưng sau các thành tựu của ông cho đến thời kì Phục Hưng không có thành tựu nào tương tự mà cải tiến kí hiệu đại số và hoàn chỉnh môn tam giác lượng

2 2 ; 2 2

y = + x a z = − x a

Bài toán gây nhiều chú ý cho các thế hệ toán học là bài toán sau:” Hỏi có mấy cặp thỏ được sinh ra vào cuối năm nếu bắt đầu bằng một cặp và

mỗi cặp sau mỗi tháng cho một cặp mới, cặp mới này sau 2 tháng lại bắt đầu sinh sản, giả sử thỏ không chết”

Dãy số Phibônaxi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21……….với Dãy tăng này có nhiều tính chất, chẳng hạn

* và là nguyên tố cùng nhau

(Số này được gọi là tỉ số vàng)

Với n  

1 2

n n n

U = U − + U −

n

1

5 1

*lim

2

n x

n

U U

→∞

+

  −

=

 ÷

 

( )

2

* U Un+ . n− = Un + − 1 n

3.Việc cải tiến kí hiệu đại số và hình thành môn tam giác lượng

Người cùng thời với Phibonaxi, tướng Gioocđăng Nêmôra (sinh năm 1237)người Đôminic

đã biểu diễn các số tùy ý bằng chữ cái

Giáo sư đại học tổng hợp Paris ,Nicolai Ôrét(1328-1382)đã mở rộng khái niệm lũy thừa

,đưa vào các số mũ phân, các quy tắc tính chúng bằng kí hiệu

Ví dụ:

Cuối thế kỉ thứ XV, trợ lí trường Đại học Tổng hợp Paris SuKê đã đưa vào số mũ âm và số

mũ không và đã tham gia cải tiến kí hiệu đại số Trong hệ kí hiệu này vẫn chưa có kí hiệu

đặc biệt cho ẩn số và phần lớn các kí hiệu được tạo nên bằng cách viết tắt các chữ

Được kí hiệu là

Nicolai Ôrét(1328-1382)

1 1

3 3

27 ;3 ;

4 24 + 37 20x − −2 Rx424 pRx237 20 m 2m

Trong thời kì Phục Hưng, đã xảy ra sự chuyển biến nhanh chóng từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút gọn các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu

Ví dụ:

Có nghiêm là :

Được viết tắt là:

x + x =

108 10 + − 108 10 −

R u cu R 108p 10/m R u cu R 108 m10

4 Tactalia( Nicolo Tartaglia, 1500 – 1557 )

Cácđanô(Girolamo Cardano, 1501 - 1576)

Tacstaglia và Cácđanô đã tìm được cách giải phương trình Bậc 3 và bậc 4, điều mà bao nhiêu thế kỉ trước không thực hiện Được

Năm 1535, Tasctalia lựa chọn dạng đại số vô tỉ thích hợp

Để biểu diễn nghiệm của các phương trình dạng:

Giả sử rồi thay thế biểu thức ấy vào phương trình và đặt:

Ta có hệ:

Coi u và v như các nghiệm của phương trình bậc 2, Tactaglia tìm được

Sau đó tác giả có thể giải được các phương trình có dạng:

3 (p 0,q 0)

3 3

3

27

p

uv

 − =



 =





;

u =     + + v =     + −

= + > ( )

x px q p 3 0

Nhờ phép thế cuối cùng thông báo rằng các phương trình có dạng

có thể đưa về dạng trên,nhưng ông k nói phương án làm Ông không công bố kết quả của mình,vì ông không khắc phục được trừng hợp bất khả quy tức là: không biết có thỏa mãn hay không

Từ năm 1539, khi Cácđanô nghe tới phát minh của Tactaglia, ông đã bỏ rất nhiều sức lực nhằm chiếm lĩnh điều bí mật mà Tactaglia đã rất thận trọng và hoài nghi

Năm 1545, Cácđanô công bố công trình “Nghệ thuật vĩ đại hay là các quy tắc đại số (Ars magna sive de regulis algebraicis)” Từ

đó có nhiều người công nhận Cácđanô là nhà đại sso xuất sắc nhất Châu Âu thời bấy giờ

Ông đã giả phương trình:

Như vậy Cácđanô đã nêu một công thức tương đương với công thức của chúng ta ngày nay về nghiệm phương trình :

Là:

= +

x 3u 3 v

= + ( > )

x3 px q p 0

2

   

  ÷ ÷

   ÷

 

≥  ÷

 

3 6 20

x + x =

3

x =   +   + −   +   −

Bômbenli( Rafael Bombelli, 1526 - 1573)

Ông là một kĩ sư tài ba nước Ý và có lẽ trước khi ông cho ra đời quyển “Đại

số”(1572) chưa có tác giả nào đề cập tới số ảo nhiều như ông.

Nghiệm của pt: là:

Trong tác phẩm “Đại số”, Bôm – ben –li đã nêu các quy tắc tính toán trên

các số ảo và phức, chẳng hạn (±i) (±i)=-1; (±i).( i)=1; và đã nhận xét rằng

mọi biểu thức chứa những” phần tử ngụy biện” của Cácđanô đều biến đổi

được về dạng (a+bi).Với phương trình: ,Boombenli đã chứng tỏ

rằng trường hợp bất khả quy,nghiệm thực có thể coi là tổng của hai số phức

dạng (a+bi) và (a-bi)

x = x + x = 32 + − 121 − 3 2 − − 121

x = x +

Ông là một nhà toán học vĩ đại nước Pháp thời kỳ Phục Hưng Ông viết “Nhập môn giải tích”,một tác phẩm rất lớn và hết sức

súc tích về đại số mới

Trong suốt cuộc đời mình, Viest chỉ làm toán một cách tài tử thuộc các lĩnh vực đại số, lượng giác, lý thuyết phương trình và hình học

Quan điểm của Viet như sau:việc giải quyết các phương trình bậc 3, bậc 4 dựa vào hiệu lực của phương pháp đại số

Viet đã chuyển trường hợp bất khả quy đối với phương trình bậc 3 về bài toán chia 3 góc.Ông đã chứng tỏ rằng mọi phương trình bất khả quy có thể biến đổi thành dạng: x3-3x = a So sánh phương trình này với hệ thức lượng:

Ông xét phép biến đổi các phương trình thành tích các nhị thức;

Viest tìm thấy khai triển các hàm số lượng giác của các cung bội, bằng cách áp dụng liên tiếp các công thức đối với sin và cosin của tổng 2 góc:

5.Viét(Francois Viét, 1540-1603)

2 cos ϕ − 3cos ϕ = 2cos3 ϕ

1

k

=

= ∏ − < <

( 1) cos cos cos sin

1.2

( 1)( 2) sin cos sin cos sin

1.2.3

m m

−

−

Ơng nêu nhiều cơng thức mà ta đã quen biết,chẳng hạn:

Lần đầu tiên trong lịch sử, Viet đã nêu ra bài tốn tình tích vơ hạn, tuy Viet chưa chứng minh được sự hội tụ của tích vơ hạn mà chỉ kết luận dựa vào trực giác

Cho một tam giác đều n cạnh với diện tích là Sn, nếu dựng đường trịn ngoại tiếp bán kính R và đường trịn nội tiếp bán kính r thì sau khi gấp đơi số cạnh của tam giác ta được:

Ta cĩ hình vuơng, n=4, Sn=2R2 Gấp đơi dần số cạnh ta được:

Viet cho”chuyển qua giới hạn” và nĩi rằng với n=∞ thì sẽ cĩ hình trịn,diện tích là S∞=лR2 Nhân các đẳng thức trên vế với vế, Ơng tìm thấy;

cos 2 cos cos( 1) cos( 2)

sin 2 cos sin( 1) sin( 2)

sin 2sin cos( 1) cos( 2)

2

cos

n n

S r

π

= =

cos ; cos ;

hoặ c

π

π

=

Francois Viet, 1540-1603 Rafael Bombelli, 1526 - 1573

Nicolo Tartaglia, 1500 – 1557

THANK YOU !!