Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung, một điểm chung duy nhất hoặc không có điểm chung nào.. M ột con trâu được buộc vào một chiếc cọc cắm trên bãi cỏ. Dây thừng giữ trâu d[r]
Trang 1
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6 CHỦ ĐỀ ĐOẠN THẲNG, GÓC
Trang 2PHẦN: HÌNH HỌC
Chương I ĐOẠN THẲNG
§ 1 Điểm Đường thẳng Ba điểm thẳng hàng
1 Vị trí của điểm và đường thẳng (h.1)
- Điểm A thuộc đường thẳng a, kí hiệu A a∈
- Điểm B không thuộc đường thẳng a, kí hiệu
B∉a
2 Ba điểm thẳng hàng khi chúng có cùng thuộc một
đường thẳng Ba điểm không thẳng hàng khi chúng
không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào
3 Trong ba điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ
một điểm nằm giữa hai điểm còn lại Trong hình 2,
điểm M nằm giữa hai điểm A và B
Nâng cao
1 Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng
2 Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiểu (4, 5, ) điểm thẳng hàng
Trang 3Có bao nhiêu bộ 3 điểm thẳng hàng thì có bấy nhiêu trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác
1 Trong hình 5 có hai đường thẳng m và n và ba điểm chưa đặt tên Hãy điền các chữ A,
B , C vào đúng vị trí của nó biết:
a) Điểm A không thuộc đường thẳng m và
cũng không thuộc đường thẳng n;
b) Điểm B không thuộc đường thẳng m;
c) điểm C không thuộc đường thẳng n
2 Vẽ các đường thẳng p và các điểm A, B trên
p
a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với 2
điểm A, B ;
b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với 2 điểm A, B
3 Hãy vẽ 5 điểm C, D , E , F , G không thẳng hàng nhưng ba điểm C, D , E , thằng; ba
điểm E , F , G thẳng hàng
4 Vẽ theo các cách diễn đạt sau:
n m
Hình 5
Hình 4
P
M
Trang 4a) Điểm I nằm giữa hai điểm A và B ; điểm B nằm giữa I và K ;
b) Hai điểm O, P không n ằm cùng phía đối với Q ; hai điểm O và R nằm khác
phía đối với Q nhưng P không nằm giữa O và R
5 Cho ba điểm A, B , C; mỗi điểm A, B đều không nằm giữa hai điểm còn lại Hãy nêu
hoặc nguyệt thực (là hiện tượng mặt trời hoặc mặt trăng đang sáng bỗng nhiên bị che lấp
và tối đi) Hỏi:
a) Khi xảy ra nhật thực thì Mặt Trăng ở vị trí nào?
b) Khi xảy ra nguyệt thực thì Trái Đất ở vị trí
nào?
7 Xem hình 6 rồi cho biết: Có bao nhiêu trường hợp
một điểm nằm giữa hai điểm khác?
8 Theo hình 6, ta có thể trồng được 9 cây thành 8
hàng, mỗi hàng 3 cây Hãy vẽ sơ đồ trồng 9 câu
- Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ xy
- Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ AB
3 Vị trí của hai đường thẳng phân biệt:
- Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song Ví dụ hai đường
Trang 5- Hoặc chỉ có một điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng cắt nhau) Ví dụ hai đường thẳng m và n trong hình 9
Nâng cao:
1 Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có 2 điểm chung
2 Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường
thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của hai đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại nếu đều đi qua giao điểm này
Thí d ụ 3:
Cho trước 12 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, Vẽ các đường thẳng
đi qua các cặp điểm
a) Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
b) Nếu thay 12 điểm bằng n điểm (n∈ ; n≥2) thì vẽ được bao nhiêu đường
thẳng?
Gi ải:
a) Chọn một trong số 12 điểm đã cho rồi nối điểm đó với 11 điểm còn lại ta được 11
đường thẳng Làm như vậy với tất cả 12 điểm ta được 11.12 đường thẳng Nhưng
như thế thì mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần (vì đường thẳng AB với đường
giúp ta tính được số đường
thẳng đi qua tất cả các cặp điểm
a
b
Hình 8
n m
Hình 9 O
Trang 6- Ngược lại, với n là số đường thẳng cho trước (đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy) thì công thức ( 1)
Ba điểm A, B , C, thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng
Ba điểm B, C , D thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng
Hai đường thẳng này có hai điểm chung là B và C nên chúng phải trùng nhau, suy
ra 4 điểm A, B , C , D thẳng hàng
9 Cho trước hai điểm A và B
a) Hãy vẽ đường thẳng m đi qua A và B
b) Hãy vẽ đường thẳng n đi qua A nhưng không đi qua B
c) Hãy vẽ đường thẳng p không có điểm chung nào với đường thẳng m
10 Cho trước 4 điểm A, B , C , D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Tìm M sao cho ba điểm M , A, B thẳng hàng; ba điểm M , C , D thẳng hàng
11 Cho trước 6 điểm Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm
a) Nếu trong 6 điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường thẳng?
b) Nếu trong 6 điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường
thẳng?
lượt đi và về Tính tổng số trận đấu
13 Cho trước một số điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Vẽ các đường thẳng
đi qua các cặp điểm Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 36 Tính số điểm cho trước
quy Các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường?
a) Nếu trong số đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao điểm của chúng?
Trang 7b) Nếu trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giao điểm của chúng?
16 Cho ba đường thẳng m, a , b đồng quy tại O; ba đường thẳng n, a , b cũng đồng quy
a) Chứng minh rằng cả 4 đường thẳng m, n, a , b đồng quy tại O
b) Vẽ thêm hai đường thẳng c , d không đi qua O Hỏi 6 đường thẳng m, n, a , b ,
c , d có nhiều nhất là bao nhiêu giao điểm?
17 Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm Tìm n biết rằng nếu có thêm 1 điểm (không thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào trong số n điểm đã cho) thì số đường thẳng vẽ được tăng thêm là 8
Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc
chung nhau của hai tia đối nhau
Trong hình 10, hai tia Ox, Oy đối
nhau
3 Điểm M thuộc tia Ox(M ≠O)
thì hai tia OM , Ox trùng nhau
- Hai tia OA, OB đối nhau
- Hai tia AO , AB trùng nhau: hai tia BO , BA trùng nhau
Thí d ụ 5:
Hình 11
x M
Trang 8Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B; điểm M nằm giữa hai điểm A và O; điểm
N nằm giữa hai điểm B và O
a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O
b) Chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm M , N
Gi ải: (h.13)
a) Điểm M nằm giữa hai điểm A và O nên hai tia OA, OM trùng nhau (1)
Điểm N nằm giữa hai điểm B và
O nên hai tia OB, ON trùng nhau
(2)
b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và
B nên hai tia OA, OB đối nhau (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra hai tia OM , ON đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm
M và N
Nh ận xét:
1 Để chứng minh điểm O nằm giữa hai điểm M và N ta dùng phương pháp xét các tia gốc O
2 Thí dụ 5 cho ta một dấu hiệu nhận biết
một điểm nằm giữa hai điểm khác
18 Xem hình 14 rồi cho biết:
a) Những tia nào chung gốc O?
b) Hai tia nào đối nhau?
c) Hai tia nào trùng nhau?
19 Cho đường thẳng xy Lấy điểm O xy∉ ; điểm
A∈xy và điểm B trên tia Ay ( B khác A)
a) Kể tên các tia đối nhau, các tia trùng nhau;
b) Kể tên hai tia không có điểm chung;
c) Gọi M là một điểm di động trên xy Xác định vị trí của M để cho tia Ot đi qua
M không cắt hai tia Ax, By
20 Vẽ hai đường thẳng mn và xy cắt nhau tại O
a) Kể tên các tia đối nhau;
b) Trên tia Ox lấy điểm P, trên tia Om lấy điểm E ( P và E khác O) Hãy tìm vị trí của Q để điểm O nằm giữa P và Q ; tìm vị trí của F để hai tia OE, OF trùng nhau
Hình 14 O H
Trang 921 Trên đường thẳng xy lấy một điểm O Lấy điểm A trên tia Ox , điểm B trên tia Oy , điểm M nằm giữa O và A Giải thích vì sao:
a) Hai tia OA, OB đối nhau?
b) Điểm O nằm giữa hai điểm M và B ?
22 Cho 4 điểm A, B , C và O Biết hai tia OA, OB đối nhau; hai tia OA,OC trùng nhau
a) Giải thích vì sao 4 điểm A, B , C, O thẳng hàng
b) Nếu điểm A nằm giữa C và O thì điểm A có nằm giữa hai điểm B và C không?
1 Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên :
Nếu AM MB AB+ ≠ thì điểm M không nằm giữa A và B
2 Cộng liên tiếp (h.17)
Hình 16
BM
A
Hình 15
Trang 10Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N
Cho ba điểm M , O ,N thẳng hàng Điểm N không nằm giữa hai điểm M và O
Cho biết MN =3cm ;ON =1cm , hãy so sánh OM với ON
ĐiểmN không nằm giữa M và O (đề bài)
Suy ra điểm O nằm giữa hai điểm M và N
Ta có :MO ON+ =MN ;MO+ =1 3 ; MO=2 (cm)
Do đó OM >ON (vì 2> ) 1
Nh ận xét :
Trong cách giải của ví dụ này, để tìm ra điểm Onằm giữa hai điểm M và N ta đã dùng
phương pháp loại trừ Trong ba điểm M , O, N thẳng hàng có một và chỉ một điểm nằm giữa hai diểm khác Điểm N không nằm giữa hai điểm còn lại (đề bài) Điểm M không nằm giữa
hai điểm còn lại (tìm ra được nhờ phương pháp phản chứng)
Vậy điểm Ophải nằm giữa hai điểm còn lại
24 Cho 5 điểm A, B , C , D , Etrong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Vẽ các đoạn
thẳng đi qua các cặp điểm Hỏi vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng, là nhưng đoạn thẳng nào ?
Kết quả trên có thay đổi nếu cả 5 điểm A, B , C, D , E thẳng hàng ?
Hình 17
BN
MA
Hình 18
BM
A
Hình 19
NO
M
1cm3cm
Trang 1125 Cho trước n điểm (n∈ ; n≥2) Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 28 đoạn thẳng Tìm n
giao điểm không thể quá 10 ?
27 Xem hình 20 rồi cho biết
a) Hình này có mấy tia ?
b) Hình này có mấy đoạn thẳng ?
c) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau ?
d) Vì sao có thể khẳng định tia Ox không cắt đoạn thẳng BC ?
28 Cho hai tia chung gốc Ox, Oy Trên tia Ox lấy hai điểm B và C sao cho B nằm giữa
Ovà C Trên tia Oy l ấy điểm A sao cho OA>OC
30 Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm E , trên tia đối của tia BA lấy điểm
F sao cho AE <BF Hãy so sánh AF v ới BE
Trang 12§5 V ẽ đoạn thẳng cho biết độ dài
1 Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và
chỉ một điểm M sao cho OM =a (đơn vị dài)
(h.21)
2 Trên tia Ox, OM =a , ON = nb ếu 0 a b< <
thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N
(h.22)
Nâng cao:
Trên toa Ox có ba điểm M , N , P ; OM =a ; ON = ; b OP=cnếu 0 a b< < thì điểm N nằm
giữa hai điểm M và P (h.23) (xem ví dụ 9)
Thí d ụ 8 :
Trên tia Ox lấy điểm P và Q sao cho OP=3cm; PQ =2cm Tính OQ
Gi ải : (h.24a, b)
Ta xét hai trường hợp :
a) Trường hợp Q nằm trên tia đối của tia
PO (h.24a) lúc đó P nằm giữa hai điểm
Trên tia Ox lấy P sao cho OP = 3cm, điểm Plà điểm duy nhất, còn điểm Q thì không duy
nhất Tại sao như vậy ?
Hình 21
a
xM
O
Hình 22
xN
MO
NM
O
Hình 24a
xQP
O
2cm3cm
Hình 24b
xP
Q
3
Trang 13Điểm Q không duy nhất trên tia Ox vì điểm Q không cạc gốc Ocủa tia Ox một khoảng 2cm
mà cách P một khoảng PQ=2cm ; điểm P chỉ là một điểm thuộc tia Ox chứ P không phải là
gốc của tia Ox
Thí d ụ 9 :
Gọi M , N, P là ba điểm trên tia Ox ; OM =a ; ON = ; b OP=c; Giải thích vì sao nếu
a< <b cthì điểm N nằm giữa hai điểm M và P
34 Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA=4cm; OB=6cm Trên tia BA lấy điểm
Csao cho BC =3cm So sánh AB với AC
35 Cho Avà Blà hai điểm trên tia Ox sao cho OA=a cm( )vớia>0 ; AB=2cm.Tính OB
36 Vẽ đoạn thẳng AB=5cm Lấy hai điểm E và F nằm giữa Avà B sao cho AE+BF =7cm
a) Chứng tỏ rằng điểm E nằm giữa hai điểm B và F
b) Tính EF
37 Vẽ hai tia chung gốc Ox, Oy Trên tia Ox lấy hai điểm Avà B (điểm Anằm giữa Ovà
B ) Trên tia Oy l ấy hai điểm M và Nsao cho OM =OA; ON =OB
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa Ovà N;
b) So sánh AB với MN
38* Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm O và I sao cho OA OB< và AI >IB
Hỏi trong các bộ ba điểm A, O , I và B , O , Iđiểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
Hình 25
xPN
MO
cba
Trang 14§6 Trung điểm của đoạn thẳng
A
Hình 27
? a
B N
O M
A
Trang 1540 Trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA=3cm, OM =4,5cm Trên tia Ax lấy
điểm B sao cho M là trung điểm của AB Hỏi điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng
OB không? Vì sao?
41 Trên đường thẳng a lấy 6 điểm M N O P Q R theo th, , , , , ứ tự đó Biết rằng
MN =NO=OP=PQ = QR= Tìm những điểm là trung điểm của đoạn thẳng
42 Cho đoạn thẳng AB=6cm Lấy hai điểm ,C D thu ộc đoạn thẳng AB sao cho
2
AC =BD= cm Gọi M là trung điểm của AB
a) Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CD
b) Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng
43 Trên tia Ax lấy hai điểm O và B sao cho AO=2cm; AB=5cm Gọi I là trung điểm
của OB Tính AI
44 Trên đường thẳng xy lấy một điểm O và hai điểm ,M N sao cho OM =2cm; ON =3cm
Vẽ các điểm A và B trên đường thẳng xy sao cho M là trung điểm của OA; N là trung điểm của OB Tính độ dài AB
45* Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó Lấy điểm O thuộc tia đối của tia BA ( O
khác B ) Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA OB ,
2
AB= cm Gọi M 1 là trung điểm của đoạn thẳng AB ; gọi M là 2
trung điểm của đoạn thẳng M B ; g1 ọi M 3 là trung điểm của đoạn thẳng M B2 , , gọi M100 là trung điểm của đoạn thẳng M B99 Tính độ dài của đoạn thẳng M M1 100
Hình 28
B M
A
Trang 16§7 Ôn tập chương I Thí d ụ 12
Cho 4 điểm , , ,A B M N sao cho hai tia MA MN , đối nhau; hai tia NM NB , đối nhau và
và N; Ba điểm , ,A M N cùng nằm trên một đường thẳng ( )1
Hai tia NM NB , đối nhau nên điểm N nằm giữa M và N và ba điểm , ,B M N cùng nằm
47 Xem hình 30 rồi cho biết:
a) Hình đó có mấy tia?
b) Hình đó có mấy đoạn thẳng?
c) Độ dài của đoạn thẳng AB là bao nhiêu
biết O là trung điểm của AB và OB=a?
48 Gọi O là một điểm của đoạn thẳng
Hình 30
BO
A
yx
Trang 1750 Cho đoạn thẳng CD=5cm Trên đoạn thẳng này lấy hai điểm I và K sao cho CI =1cm;
3
DK = cm
a) Điểm K có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD không?
b) Chứng tỏ rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng CK
51* Cho đoạn thẳng AB ; điểm O thuộc tia đối của tia AB Gọi , M N thứ là trung điểm của ,
OA OB
a) Chứng tỏ rằng OA OB<
b) Trong ba điểm , ,O M N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc
tia đối của tia AB )
Trang 18Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ
chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau
Trong hình 31, nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm A và
nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M là hai nửa mặt phẳng
đối nhau bờ a
2 Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nếu tia Oz cắt đoạn
thẳng AB tại điểm M nằm giữa A và B
(A Ox∈ ; B∈Oy ; A và B khác 0) (xem hình 32)
Nhận xét:
Nếu hai tia , yOx O đối nhau thì mọi tia Oz khác Ox Oy , đều
nằm giữa hai tia ,Ox Oy
Nâng cao:
Trên hình 33:
− Hai điểm ,A B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a
thì đoạn thẳng AB không cắt a
− Hai điểm A và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau
bờ a thì đoạn thẳng AC cắt a tại điểm nằm giữa A
và C
Thí dụ 13
Cho tia Ot nằm giữa hai tia Oa Ob, không đối nhau; tia
Om nằm giữa hai tia Oa Ot ; tia , On nằm giữa hai tia
Hình 32 O
M
A
Hình 33
BA
Ca
Hình 31
a
M A
Trang 19Lấy điểm A trên tia Oa , điểm B trên tia
Ob ( A và B khác O) Tia Ot nằm giữa
hai tia Oa Ob, nên cắt đoạn thẳng AB tại
điểm T nằm giữa A và B Tương tự, tia
Om cắt đoạn thẳng AT tại điểm M nằm
giữa A và T ; tia On cắt đoạn thẳng BT
tại điểm N nằm giữa B và T Từ đó suy
ra T nằm giữa hai điểm M và N, do đó
tia Ot nằm giữa hai tia Om On ,
Nhận xét
− Nếu hai tia Oa Ob, đối nhau thì kết luận trên vẫn đúng
− Thí dụ 13 cho ta một dấu hiệu nhận biết một tia nằm giữa hai tia khác
52 Cho bốn điểm , , ,A B C D không nằm trên đường thẳng a Biết đoạn thẳng AB không cắt
a, đoạn thẳng BC cắt a, đoạn thẳng CD không cắt a Hỏi đoạn thẳng AD có cắt đường
thẳng a không?
53 Năm bạn , , , ,A B C D E có nhà ở hai bên đường cao tốc A đến nhà B ; B đến nhà C; C
đến nhà D ; D đến nhà E đều phải đi qua đường cao tốc Hỏi những bạn nào đến nhà nhau
không đi qua đường cao tốc?
54 Cho đường thẳng m và năm điểm , , , ,A B C D E không thuộc m
a) Chứng tỏ rằng trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng m, có một mặt
phẳng chứa ít nhất 3 điểm
b) Cứ qua hai điểm vẽ một đoạn thẳng Hỏi nhiều nhất có mấy đoạn thẳng cắt m?
55 Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ t t' ta vẽ hai tia Ox và Oy (O∈t t' ) Chứng tỏ rằng
hoặc tia Ot hoặc tia Ot' nằm giữa hai tia Ox và Oy
56 Trên một nửa mặt phẳng bờ a lấy điểm A, trên nửa mặt phẳng đối lấy hai điểm B và C
(A B C, , ∉a) Gọi M và N thứ tự là giao điểm của AB và AC với đường thẳng a
a) Chứng tỏ rằng tia BN nằm giữa hai tia BA , BC; tia CM nằm giữa hai tia CA CB ,b) Giải thích tại sao hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau
Hình 34
m
b a
B N
T M
A
O
Trang 20§2 Góc Số đo góc Cộng số đo hai góc
1 Góc là hình gồm hai tia chung gốc (h.35a)
Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau (h.35b)
2 Mỗi góc có một số đo dương Số đo của góc bẹt là 180°
Sô đo của mỗi góc không vượt quá 180°
5 Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và
hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau
có bờ là cạnh chung
6 A ph ụ với B ⇔ + = ° 90A B
A bù với B ⇔ + = 180A B °
Hai góc vừa kề, vừa bù gọi là hai góc kề bù
Hai góc kề bù có tổng bằng 180° và hai cạnh ngoài là hai tia đối nhau
7 Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì .xOy+yOz =xOz
Ngược lại nếu xOy+yOz =xOzthì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz (h.36)
Trang 21Nếu xOy+ yOz ≠ xOz thì tia Oy không nằm giữa
hai tia Ox và Oz
2 Cộng liên tiếp (h.37)
Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz; tia Ot nằm giữa
hai tia Oy và Oz thì xOy+ .yOt+tOz=xOz
3 Hai góc AOB và AOC là hai góc kề
Tia OA’ là tia đối của tia OA (h.38)
- Nếu 180AOB+AOC < ° thì tia OA
nằm giữa hai tia OB, OC
- Nếu 180AOB+AOC < ° thì tia OA’
nằm giữa hai tia OB, OC
Thí d ụ 14:
Cho tia OM nằm trong góc AOB giải thích vì sao
AOM < AOB BOM; < AOB.
Gi ải: (h.39)
Vì tia OM nằm giữa hai tia OA, OB nên AOM +BOM = AOB
Do AOM >0;BOM > nên 0 AOM < AOB BOM; < AOB.
Thí d ụ 15:
Cho hai góc kề AOB và AOC, mỗi góc đều là góc tù
Giải thích vì sao 360 AOB+BOC = °
Gi ải: (h.40)
180AOB+BOC > °
Do đó tia OA’ nằm giữa hai tia OB, OC
Suy ra BOC =BOA'+A OC'
Ta có: ' 180AOB+BOA = °(kề bù)
t z
Hình 38
M B
A O
Trang 22 A OC' +COA=180°(kề bù)
Xét tổng AOB+BOC+COA= AOB+(BOA '+A OC' )+COA
=(AOB+ +BOA')+( A OC' +COA)
=180° +180° =360°
Nhận xét:
Ba tia OA, OB, OC trong thí dụ trên tạo thành ba góc
không có điểm trong chung là AOB, BOC, COA, tổng
của 3 góc này bằng 360°
Tổng quát: Cho n tia gốc O là Ox Ox1, 2, ,Ox t n ạo thành
n góc phân biệt x Ox x Ox1 2, 2 3, ,x Ox x Ox n−1 n, n 1 sao cho
1 2 2 3 n 1 n n 1 360
57 Vẽ 5 tia chung gốc Oa, Ob, Oc, Od, Ot trong đó hai tia Oa, Ob đối nhau
a) Trong hình có bao nhiêu góc ? Là những góc nào ?
b) Kể tên các cặp góc kề bù
58 Cho trước 4 tia chung gốc O Vẽ thêm 3 tia gốc O Hỏi đã tăng thêm bao nhiêu góc đỉnh O
?
59 Vẽ 3 đường thẳng đồng quy tại O
a) Chúng tạo thành bao nhiêu góc ? trong số đó có bao nhiêu góc bẹt
b) Thay 3 bởi n thì có bao nhiêu góc được tạo thành ?
60 Vẽ n tia chung gốc, chúng tạo thành 28 góc Tìm n
một điểm C sao cho góc BOC kề bù với góc BOA
a) Trong ba điểm A, O, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
b) Vẽ các tia BA, BC Hỏi điểm O nằm trong góc nào ?
Trang 2362 Cho góc AOB và tia OM bất kỳ Xác định vị trí của tia OM để:
a) AOB+AOM = AOB
b) AOB+AOM > AOB
c) .AOM +MOB=AOB
OB, OC Hãy so sánh hai góc AOC và BON
64 Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ tia Om Vẽ tiếp tia On nằm giữa hai tia Om, Ox Giải thích vì sao trong 3 góc xOn, nOm, mOy ít nhất có một góc lớn hơn hoặc bằng 60°
đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các tia CO, CA, CB Giả sử OCB=110 ;° OCA= ° Tính số đo 30góc ACB
66 Trên đường thẳng xy lấy một điểm O Vẽ các tia Oa, Ob thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau
bờ là đường thẳng xy, cho biết 1
2
aOy= bOy Tính số đo của góc aOy để cho aOx=3bOx.
AOB=110 ;° BOC =120 ° Trong ba tia đã cho, tia nào nằm giữa hai tia còn lại
68 Cho hai góc kề AOB và BOC có tổng bằng m° Tính số đo của góc AOC
§3 Vẽ góc cho biết số đo
1 Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ
một tia Oy sao cho xOy= (độ) m
2 Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, có
xOy= °m xOz= ° ; nếu n m<n thì tia Oy nằm giữa
hai tia Ox, Oz (h.42)
Nâng cao:
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có
y z
Hình 42
t
y z
Trang 24 ; ;
xOy = °m xOz= °n xOt = ° ; nếu p m< <n p thì
tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot (h.43)
Thí d ụ 16:
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, vẽ ba tia
Oy, Oz, Ot sao cho xOy= ° a
xOy<xOz a° < ° + ° nên tia Oy na ằm giữa
hai tia Ox, Oz do đó: yOz= xOz−xOy= ° + ° − ° a 20 a
20
Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có xOy<xOt a( ° + ° < ° + ° nên tia Oz 20 a 50 )
nằm giữa hai tia Ox, Ot do đó: zOt =xOt−xOz= ° + ° − ° + ° = ° (a 50 ) (a 20 ) 30
Vậy yOz<zOt(20° < ° 30 )
Nh ận xét:
- Vì mỗi góc có một số đo dương, không vượt quá 180° nên phải có điều kiện
0< <a 130
- Số đo của các góc yOz; zOt không phụ thuộc vào giá trị của a mà chỉ phụ thuộc vào giá
trị của các góc xOz, xOt hơn góc xOy bao nhiêu độ
xOm= ° xOn= ° Tìm giá trị của a để tia Om nằm giữa hai tia Oy, On a
70 Trên mặt phẳng, cho tia Ox Vẽ hai tia Oy, Ot sao cho xOy=100 ;° xOt =150° Tính số đo góc .yOt
a°
t
y z
Hình 44
Trang 2571 Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho
xOy= ° yOz= ° Tính xOz
72 Cho góc AOB và hai tia OM, ON nằm trong góc đó sao cho .AOM +BON < AOB
a) Trong ba tia OA, OM, ON tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?
b) Giả sử AOM = °40 ;BON = °50 ;MON = ° Tính góc 30 .AOB
AON >BON Trong ba tia OA, OM, ON tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?
xOy= ° xOz= ° Vẽ tia Ot sao cho hai tia Ot, Ox thuộc cùng một nửa mặt phẳng với bờ
chứa tia Oz Cho biết zOt 60 = ° So sánh ba góc xOy yOt và ; zOt
§4 Tia phân giác của một góc
1 Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh
của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau (h.45)
2 Nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì
2
xOy xOz =zOy=
Nâng cao:
1 Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy và
2
xOy xOz = thì tia Oz là tia phân giác của góc xOy
2 Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó Mỗi góc có
một đường phân giác duy nhất
Gi ải: (h.46)
m t
n b
hình 45
O
x z y
Trang 26Tia Om là tia phân giác của góc aOt nên tia Om nằm
2
aOt mOt= Tia On là tia phân giác của góc bOt nên tia On nằm
giữa hai tia Ob, Ot và
2
bOt tOn=
Vì có tia Ot nằm giữa hai tia Oa, Ob (đề bài) nên tia Ot nằm giữa hai tia Om, On (xem thí dụ 13)
aOt bOt aOt bOt aOb
2
aOb mOn=
Tính MON
hơn góc AOT là 20° Tính góc AOD
77 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ ba tia Oy, Oz, Ot sao cho 50xOy= ° ; xOz 75= °;
100
xOt = ° Xác định xem tia nào là tia phân giác của một góc
78 Cho hai góc kề DOE và DOF, mỗi góc bằng 150° Hỏi tia OD có phải là tia phân giác của góc EOF không ?
AOB, BOC và COA Vì sao có thể khẳng định tia đối của mỗi tia nói trên là tia phân giác của góc tạo bở hai tia còn lại ?
80 Cho hai góc kề bù là xOz và yOz trong đó xOz 50= ° Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa tia Oz ta vẽ tia Ot Giả sử yOt = ° Xác định giá trị của a để Oz là tia phân giác của góc xOt a
150
AOC = ° Vẽ các tia OM, ON thứ tự là các tia phân giác của các góc AOB và AOC
a) Tính góc MON
Trang 27b) Tia OB có phải là tia phân giác của góc MON không ?
đường thẳng OA ta vẽ Oy sao cho .AOy> AOB
2 Hai điểm C, D của một đường tròn chia đường tròn
thành hai cung Đoạn thẳng nối hai mút của cung là
dây cung Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính
Trên hình 47, đoạn thẳng CD gọi là dây cung; đoạn thẳng
AB gọi là đường kính
Nâng cao:
Giao điểm của hai đường tròn:
Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung, một điểm chung duy nhất hoặc không có điểm chung nào (sẽ học kỹ ở lớp 9)
O
D C
Hình 47
1,5 3
2
B A
C
Trang 28Thí d ụ 18:
Cho đoạn thẳng AB = 3cm Hãy nói cách
vẽ một điểm C vừa cách A là 2cm, vừa
Vì hai đường tròn (A; 2cm) và (B; 1,5cm) cắt nhau tại hai điểm nên ta có hai điểm C và C’
thỏa mãn đầu bài
Hỏi con trâu đó ăn được cỏ trong phạm vi nào ?
85 Trên đường tròn (O) lấy 5 điểm A, B, C, D, E Nối mỗi cặp điểm ta được một dây cung a) Hỏi vẽ được bao nhiêu dây cung ?
b) Hỏi trên đường tròn trên có bao nhiêu cung
B Vẽ đường tròn (O; 2cm) cắt tia Ox, Oy thứ tự tại C và D Vẽ đường tròn (D; BD) cắt BO tại
M và cắt đường tròn (O; 2cm) tại N