Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ đồng thời đi qua A và B.. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt E tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm đoạn
Trang 1TRƯỜNG THPT KON TUM ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH LỚP CHỌN
TỔ TOÁN Môn: Toán
Thời gian: 90 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Đề Bài 1: (3.0 điểm)
a) Giải phương trình: 3 sinx + cosx = 1
cos x.
b) Rút gọn biểu thức : M =
2 2(sin 2 2cos ) 2 cos sin cos3 sin 3
Bài 2: (3.0 điểm)
a) Giải bất phương trình: 1 1 4x2 4
x
b) Giải phương trình : 4x3− 3x = 1 x− 2
Bài 3: (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x−y−5 = 0 và hai điểm A(−1;2), B(4;−1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ đồng thời đi qua A và B
Bài 4: (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E) có phương trình: 2 2 1
6 4
+ = và M(−1;1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình 9 x− 2 = mx +2m −1 có nghiệm
Trang 2ĐÁP ÁN − TOÁN 11
1 a
3 sinx + cosx = 1
cos x (1) Điều kiện : x 2 k
≠ +
(1) ⇔ 3 sinx cosx + cos2x = 1
⇔ 3 sinx cosx = sin2x
⇔ sinx ( 3 cosx − sinx) = 0
⇔ sin 0
sin 3 cos
x
=
⇔
3
x k
π
=
= +
0.25
0.5 0.25
0.5
b
M =
2 2(sin 2 2cos ) 2 cos sin cos3 sin 3
= 2(sin 2 2cos2 1)
2sin sin 2 2cos 2 sin
+
= 2(sin 2 cos 2 )
2sin (sin 2 cos 2 )
+ +
= 1
sinα
0.5 0.5 0.5
2 a
1 1 4x2 4
x
⇔
2 2
4
4 (1 1 4 )
x
1 1 4
x
≠
< + −
x
≠
2 2
1 0
1 4 0 1
x x x x
<
≠
≥
⇔
2
0
1
x x x
≠
≥
⇔
0
x x
≠
− ≤ ≤
0.25
0.5
0.5
0.5
Trang 34x3− 3x = 1 x− 2 (1) , Điều kiện : −1 ≤ x ≤ 1
Đặt x = cosα với α∈[0;π]
(1) trở thành 4cos3α− 2cosα = 1 cos− 2α
⇔ cos3α = sinα = cos(
2
π
−α) (Vì α∈[0;π] ⇒ sinα≥ 0)
⇔
2
2
k k
π
π
⇔ 8 2
4
k k
α π
= +
= − +
Vì α∈[0;π] ⇒α =
8
π
; α = 5 8
π
;α =3 4
π
⇒ (1) có 3 nghiệm
x1 = cos
8
π
= 2 2 2
+ ; x2 = cos5
8
π
=− 2 2
2
− ; x3 = cos3
4
π
= − 2
2
0.25
0.5
0.25
0.5
3
∆: 2x−y−5 = 0 A(−1;2), B(4;−1)
Gọi I thuộc ∆⇒ I(x; 2x−5)
Đường tròn (C) tâm I đi qua A và B ⇔ IA = IB ⇔IA2 = IB2
⇔ (x+1)2 +(2x−7)2 = (x−4)2 +(2x−4)2
⇔ x = 9 ⇒I(9;13) ⇒ IA = 221
(C) có phương trình (x−9)2 +(y−13)2 = 221
0.25 0.5 0.25 0.25 0.25
4
(E): 2 2 1
6 4
+ = ⇔ 2x2 +3y2 = 12 Gọi A(xA;yA) và B(xB;yB) sao cho M(−1;1) là trung điểm của đoạn AB
2
A B
A B
+ =
2 2
= − −
= −
A và B thuộc (E) ⇒ 2x A2 +3y2A =12(2) và 2x2B +3y2B =12(3)
Thay (1) vào (2) ta được : 2(−2−xB)2 +3(2−yB)2 = 12
⇔ 8 +8xB +2x +12 B2 −12yB +3y =12 B2
⇔ 2xB −3yB +5 = 0 (4)
tương tự bằng cách biểu diễn
A
2 2
B
= − −
= −
và thay vào (3) ta được 2xA −3yA +5 = 0 (5)
Từ (4) và (5) ⇒ Đường thẳng AB có phương trình : 2x−3y+5 = 0
0.25 0.25
0.25
0.25 0.5
Trang 42
9 x− = mx +2m −1 (1)
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường :
+ (C): y = 9 x− 2 là nửa đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 3 và cắt trục Ox tai hai
điểm A(−3;0), A'(3;0) cắt trục Oy tại B(0;3)
+ (d): y = mx +2m−1 là đường thẳng có hệ số góc m và đi qua M(−2;−1)
(1) có nghiệm khi (d) và (C) có điểm chung
Xét đường thẳng ∆1 đi qua M và A' ⇒∆1có phương trình y = −x−3
đường thẳng ∆2 đi qua M và A ⇒∆2có phương trình y = 1
5(x +3) Vậy (1) có nghiệm ⇔
1 5 1
m m
>
< −
0.25 0.25 0.25
0.25