Giáo trình toán giải tích

Giáo trình toán giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

KHOA TOÁN - TIN HỌC

Giải Tích 3 Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên Sơn Mục lục

Chương I Tích phân phụ thuộc tham số

1 Tích phân phụ thuộc tham số 4

2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 9

3 Các tích phân Euler 14

Chương II Tích phân hàm số trên đa tạp 1 Đa tạp khả vi trong Rn 19

2 Tích phân hàm số trên đa tạp 24

Chương III Dạng vi phân 1 Dạng k-tuyến tính phản đối xứng 31

2 Dạng vi phân 33

3 Bổ đề Poincaré 37

Chương IV Tích phân dạng vi phân 1 Định hướng 41

2 Tích phân dạng vi phân 44

3 Công thức Stokes 47

Bài tập 53

I Tích phân phụ thuộc tham số

X

(f (x, t) − f (x, t 0 ))dx

≤Z

Từ đó, với d(t, t 0 ) < δ ta có

| I(t) − I(t 0 ) |< v(X) 

v(X) = .

Vậy, hàm f (x, t) không liên tục tại (0, 0).

Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một tổng quát hóa của Định lý 1 trong tr-ờng hợp

X = [a, b].

Định lý 2 Cho f (x, t) liên tục trên [a, b] ì T , với T là tập compact và a(t), b(t)

là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t), b(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ T Khi đó, tích phân

Chứng minh Do f liên tục trên tập compact nên giới nội, tức là tồn tại M > 0

sao cho | f (x, y) |≤ M với mọi (x, t) ∈ [a, b] ì T Cố định t 0 ∈ T ta có:

| I(t) − I(t 0 ) |=

a(t R0) a(t)

[f (x, t) − f (x, t 0 )]dx

< .

và cũng có khái niệm hội tụ, hội tụ đều t-ơng ứng.

2) Việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số loại 2 đ-ợc thực hiện hoàn toàn t-ơng tự nh- loại 1, từ định nghĩa các khái niệm đến các tính chất.

Do đó, trong mục này, ta chỉ khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I(t) =

∀ > 0, ∀t ∈ T, ∃a 0 = ln 

−t, ∀b > a0 =⇒

b) I(t) không hội tụ đều trên (0, ∞) vì với  ∈ (0, 1), với mọi a 0 > 0, nếu chọn

b = a 0 và t từ bất đẳng thức 0 < t < ln 

−a 0

, thì ta có

c) I(t) hội tụ đều trên T r = [r, ∞), với r > 0 Thật vậy, ta có

∀ > 0, ∃a 0 = ln 

−r, ∀b ≥ a0, ∀t ∈ Tr =⇒

... với

mỗi t ∈ T cố định , hàm f (x, t) khả tích [a, b], với b > a Tích phân

Tích phân (1) gọi là hội tụ T nếuu hội tụ điểm... R, cho với

mỗi t ∈ T cố định , hàm f (x, t) khả tích đoạn [a, b − η], η > Tích phân

b

Z

f... b(t)

là hai hàm liên tục T cho a(t), b(t) ∈ [a, b] với t ∈ T Khi đó, tích phân

Chứng minh Do f liên tục tập compact nên giới nội, tức tồn