Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm Logarit

Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm Logarit Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm Logarit Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm Logarit luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

Möc löc

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m logarit 3

1.1 Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit 3

1.2 °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh 5

1.2.1 H m tu¦n ho n nh¥n t½nh 5

1.2.2 H m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh 6

1.2.3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m tu¦n ho n nh¥n t½nh 8 1.3 Mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit 9 Ch÷ìng 2 ¯ng thùc v  ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit 14 2.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit 14

2.2 Ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit 22

2.3 H» ph÷ìng tr¼nh logarit 34

2.3.1 Ph²p chuyºn v· h» ¤i sè 34

2.3.2 Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè 36

Ch÷ìng 3 B§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit 38 3.1 C¡c d¤ng to¡n ÷îc l÷ñng v  b§t ¯ng thùc logarit 38

3.1.1 B§t ¯ng thùc h m logarit 38

3.1.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc chùa logarit 44

3.2 Mët sè t½nh to¡n kh¡c li¶n quan 51

3.2.1 B i to¡n cüc trà li¶n quan ¸n h m logarit 51

3.2.2 B§t ¯ng thùc trong d¢y sè v  giîi h¤n 56

3.2.3 Ùng döng h m lçi, h m logarit trong chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc 60

Mð ¦u

B§t ¯ng thùc câ và tr½ °c bi»t quan trång trong to¡n håc v  l  mët bëphªn quan trång cõa gi£i t½ch v  ¤i sè ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc tronglîp h m logarit l  mët trong nhúng nëi dung cì b£n v  quan trång cõach÷ìng tr¼nh to¡n bªc trung håc phê thæng Chuy¶n · n¬m trong ch÷ìngtr¼nh bçi d÷ïng HSG ð c¡c lîp THPT phöc vö c¡c ký thi HSG quèc gia

v  khu vüc

°c bi»t, trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi to¡n c¡c c§p, c¡c b i to¡n li¶nquan tîi c¡c t½nh ch§t cõa h m logarit th÷íng xuy¶n ÷ñc · cªp Nhúngd¤ng to¡n n y th÷íng ÷ñc xem l  thuëc lo¤i khâ v  ái häi t÷ duy, kh£n«ng ph¡n o¡n cao, song nâ l¤i luæn câ sùc h§p d¨n, thu hót sü t¼m tái,

âc s¡ng t¤o cõa håc sinh

º ¡p ùng nhu c¦u bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v  bçi d÷ïng håc sinh giäi v·chuy¶n · h m logarit, tæi chån · t i luªn v«n "¯ng thùc v  b§t ¯ngthùc trong lîp h m logarit"

Ti¸p theo, kh£o s¡t mët sè lîp b i to¡n tø c¡c · thi HSG Quèc gia v c¡c t¿nh th nh trong c£ n÷îc nhúng n«m g¦n ¥y

C§u tróc luªn v«n gçm ba ch÷ìng v  ph¦n mð ¦u, k¸t luªn

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n h m logarit Trong ch÷ìng

n y t¡c gi£ tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h m logarit, °c tr÷ngcõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh v  mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi

v  h m lçi logarit

Ch÷ìng 2 Tr¼nh b y v· ¯ng thùc logarit trong lîp h m sè chuyºn êic¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh thæng qua mët sè b i to¡n, sû döng ph÷ìng tr¼nh

h m Cauchy º gi£i ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit Cuèi ch÷ìng

d nh º tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logaritcòng vîi c¡c v½ dö t÷ìng ùng

Ch÷ìng 3 B§t ¯ng thùc trong lîp h m logarit Ch÷ìng n y tr¼nh b yv· b§t ¯ng thùc h m logarit v  ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc chùalogarit thæng qua c¡c v½ dö cö thº Ngo i ra cán tr¼nh b y c¡c ùng döngcõa c¡c ành l½ º gi£i c¡c b i to¡n cüc trà h m logarit công nh÷ c¡c b i

to¡n t¼m giîi h¤n v  ùng döng h m lçi, h m logarit trong chùng minh mëtlîp c¡c b§t ¯ng thùc kinh iºn.

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håcTh¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Gi¡o s÷, Ti¸n s¾ khoa håc Nguy¹nV«n Mªu T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c èi vîi Th¦y, ng÷íi ¢tªn t¼nh h÷îng d¨n, v  truy·n ¤t ki¸n thùc, kinh nghi»m nghi¶n cùu chot¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n T¡c gi£ côngxin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ trong khoa To¡n-Tintr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y, gióp ï v t¤o i·u ki»n cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i Tr÷íng

çng thíi, tæi công xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh v  b¤n b± çngnghi»p ¢ luæn gióp ï v  ëng vi¶n tæi trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªnv«n

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 03 n«m 2020

T¡c gi£

Nguy¹n Ngåc Quy¸n

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n

quan ¸n h m logarit

Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa h mlogarit; °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh v  mët sè ành l½ li¶nquan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng

÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2]

i) H m sè logarit câ tªp x¡c ành D = (0; +∞) v  tªp gi¡ trà I = R.

ii) H m sè f (x) = logax li¶n töc v  câ ¤o h m vîi måi x > 0, hìn núa

Trong tr÷íng hñp n y f0(x) < 0, ∀x ∈ D Vªy, khi 0 < a < 1 th¼ f (x) =logax l  h m sè nghàch bi¸n tr¶n D.

T½nh ch§t 1.4 Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x > 0 Vîi α b§t ký, ta câ

logaxα = αlogax, logax = 1

α logax

α

= α logaαx = logaαxα

T½nh ch§t 1.5 Vîi måi 0 < a 6= 1, b 6= 1 v  x > 0, ta câ

logab logbc = logac, logab = 1

T½nh ch§t 1.8 Vîi måi a > 0, a 6= 1 v  x1, x2 ∈ (0; +∞), ta câ

i) Khi a > 1 th¼ logax1 < logax2 ⇔ x1 < x2

ii) Khi 0 < a < 1 th¼ logax1 < logax2 ⇔ x1 > x2

1.2 °c tr÷ng cõa h m tu¦n ho n nh¥n t½nh

Trong ch÷ìng tr¼nh gi£i t½ch ta th÷íng l m quen vîi lîp h m l÷ñng gi¡c

l  nhúng h m tu¦n ho n (cëng t½nh) quen thuëc R§t nhi·u ph÷ìng tr¼nh

h m v  c¡c d¤ng to¡n li¶n quan ái häi c¦n t¼m hiºu th¶m c¡c t½nh ch§t

v  °c tr÷ng cõa lîp h m tu¦n ho n v  ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh g­n vîi

ln |b| =

m

n suy ra |a|n = |b|m Ta chùng minh

T := a2n = b2m l  chu ký cõa F (x) v  G(x) Thªt vªy, ta câ

F (T x) = f (a2nx) + g(b2mx) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ;

G(T x) = f (a2nx)g(b2mx) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M

Hìn núa, ∀x ∈ M, T±1x ∈ M Do â, F (x), G(x) l  c¡c h m tu¦n ho nnh¥n t½nh tr¶n M

T½nh ch§t 1.10 N¸u f (x) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký a, a > 0

tr¶n R th¼ g(t) = f (ln t), (t > 0) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký ea

tr¶n R+

Ng÷ñc l¤i, n¸u f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký a (a > 1) tr¶n

R+ th¼ g(t) = f (et) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký ln a tr¶n R

Chùng minh Gi£ sû f (x) l  h m tu¦n ho n cëng t½nh chu ký a, a > 0

tr¶n R X²t g(t) = f (ln t), (t > 0)

Ta câ

g(eat) = f (ln(eat)) = f (ln ea+ ln t)

= f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), ∀t ∈ R+

Vªy g(t) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký ea tr¶n R+

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký a

f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký √2 tr¶n R+

= 1

2[sin(2π(1 + log2x)) − sin(2π log2(

√2x))]

2[sin(2π log2x) − sin(2π log2(

√2x))] = −f (x)

T½nh ch§t 1.11 Måi h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh tr¶n M ·u l  h mtu¦n ho n nh¥n t½nh tr¶n M

Chùng minh Theo gi£ thi¸t tçn t¤ib > 1 sao cho ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v 

f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M

Suy ra, ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v 

f (b2x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M

Nh÷ vªy, f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M

T½nh ch§t 1.12 f (x) l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b (b > 1)tr¶n M khi v  ch¿ khi f (x) câ d¤ng:

f (x) = 1

2(g(bx) − g(x)),

trong â, g(x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M

Chùng minh (i) Gi£ sû f l  h m ph£n tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b tr¶n

M Khi â g(x) = −f (x) l  h m tu¦n ho n nh¥n t½nh chu ký b2 tr¶n M

1.2.3 C¡c b i to¡n li¶n quan ¸n h m tu¦n ho n nh¥n t½nh

B i to¡n 1.1 Cho a > 1 X¡c ành t§t c£ c¡c h m f (x) thäa m¢n i·uki»n

d tòy þ khi x = 0

h21

2log|a||x| khi x < 0

vîi h1(t), h2(t) l  c¡c h m tu¦n ho n cëng t½nh tòy þ chu ký 1 tr¶n R

1.3 Mët sè ành l½ li¶n quan ¸n lîp h m lçi v  h m lçi logarit

ành lþ 1.1 (Rolle) Cho h m sè f : [a; b] → R thäa m¢n f li¶n töc tr¶n[a; b], câ ¤o h m tr¶n kho£ng (a; b) v  f (a) = f (b) th¼ tçn t¤i c ∈ (a; b)

sao cho f0(c) = 0

ành lþ 1.2 (Lagrange) Cho h m sè f : [a; b] → R thäa m¢n f li¶n töc

tr¶n o¤n [a; b], kh£ vi tr¶n kho£ng (a; b), khi â tçn t¤i c ∈ (a; b) sao cho

ành ngh¾a 1.4 H m sè thüc f : [a, b] → R gåi l  h m lçi tr¶n kho£ng[a, b] n¸u vîi måi x, y ∈ [a, b] v  måi λ ∈ [0, 1], ta câ

N¸u trong (1.1) ta câ b§t ¯ng thùc nghi¶m ng°t (ch°t) th¼ khi â tanâi f l  h m lçi thüc sü Cho h m f ta nâi nâ l  h m lãm n¸u −f l  h mlçi

ành lþ 1.4 (B§t ¯ng thùc Jensen) Cho f : (a, b) → R l  h m lçi

tr¶n (a, b) Cho n ∈ N v  λ1, λ2, , λn ∈ (0, 1) l  c¡c sè thüc thäa m¢n

λ1 + λ2 + · · · + λn = 1 Khi â vîi måi x1, x2, , xn ∈ (a, b) ta câ

1b

iv) Tr÷íng hñp nhi·u bi¸n: Kþ hi»u a = {ak}n

C¡c ¤i l÷ñng A(a), G(a), H(a) t÷ìng ùng ÷ñc gåi l  trung b¼nh cëng,trung b¼nh nh¥n v  trung b¼nh i·u háa cõa c¡c sè a1, a2, , an

ành ngh¾a 1.6 Vîi hai sè khæng ¥m a, b v  r 6= 0 ta kþ hi»u

Mr(a, b) = a

r+ br2

, r 6= 0

¤i l÷ñng Mr(a) ÷ñc gåi l  trung b¼nh lôy thøa cõa c¡c sè a1, a2, , an

ành lþ 1.6 Vîi d¢y sè d÷ìng a = {ak}n

k=1, r1 < r2 th¼ Mr1(a) <

Mr2(a) D§u ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a1 = a2 = = an

ành ngh¾a 1.7 Vîi c¡c sè d÷ìng a, b ta ành ngh¾a trung b¼nh logaritcõa c¡c sè a, b l  biºu thùc

dxx

(d − c) + 3

8f

c + 2d3

!3

(ln b − ln a)

Tø ¥y suy ra b§t ¯ng thùc thù nh§t trong (1.5) Trong b§t ¯ng thùcthù nh§t, thay a, b t÷ìng ùng bði a3, b3 ta câ b§t ¯ng thùc thù hai.M»nh · 1.1 Ta câ h» thùc

= (x − y)(x + y)2(ln x − ln y)

2

Líi gi£i

Theo ¯ng thùc (1.6) v  b§t ¯ng thùc (1.4), ta câ

L(a2, b2) = L(a, b)A(a, b) < A2(a, b)

Tø â suy ra b§t ¯ng thùc c¦n ph£i chùng minh

Ch÷ìng 2 ¯ng thùc v  ph÷ìng

tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y v· ¯ng thùc logarit tronglîp h m sè chuyºn êi c¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh; ph÷ìng tr¼nh h m Cauchyd¤ng logarit v  ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit còngmët sè v½ dö C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø t i li»u[1, 3, 5]

2.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit

B i to¡n 2.1 (Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy) X¡c ành c¡c h m f :R →R,

li¶n töc tr¶n R v  thäa m¢n i·u ki»n

f (x) = ax, vîi a ∈ R tòy þ.

Nhªn x²t 2.1 Trong b i to¡n tr¶n, n¸u ta thay gi£ thi¸t h m sè f li¶ntöc tr¶n R bði h m sè f li¶n töc t¤i x0 ∈ R th¼ k¸t qu£ tr¶n v¨n óng.

Thªt vªy, n¸u h m sè f li¶n töc t¤i iºm x0 th¼



Thû l¤i, ta th§y h m f (x) = eax+b, a, b ∈ R tòy þ thäa m¢n c¡c i·u ki»n

cõa b i to¡n °t ra K¸t luªn

f (x) ≡ 0 f (x) = eax+b, a, b ∈ R tòy þ

B i to¡n 2.3 T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n

f (√xy) = f (x) + f (y)



 = f (e

u) + f (ev)2

⇒g



u + v2



= g(u) + g(v)

Theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy th¼ g(u) = au + b, trong â a, b l  c¡ch¬ng sè Vªy

f (eu) = au + b

°t x = eu ⇒ u = ln x v  ta câ

f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tòy þ

Thû l¤i, ta th§y h m f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tòy þ thäa m¢n c¡c i·u

ki»n cõa b i to¡n °t ra

B i to¡n 2.4 T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n

f (√xy) =

q

Líi gi£i

Tø i·u ki»n cõa b i to¡n suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ N¸u tçn t¤i x0 > 0

sao cho f (x0) = 0 th¼ tø (2.8) suy ra

Theo k¸t qu£ cõa B i to¡n 2.2, ta câ

g(u) ≡ 0 ho°c g(u) = eau+b a, b ∈ R tòy þ

Thû l¤i, ta th§y h mf (x) ≡ 0 ho°c f (x) = ea ln x+b = cxa c > 0 thäa m¢nc¡c i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra Vªy

f (x) ≡ 0 ho°c f (x) = ea ln x+b = cxa c > 0

B i to¡n 2.5 T¼m c¡c h m sè f li¶n töc tr¶n R+ v  thäa m¢n i·u ki»n

f (√xy) = 2f (x)f (y)

Tø i·u ki»n tr¶n suy ra f (x) 6= 0 ∀x > 0, k¸t hñp vîi måi x, y > 0, ta câ

f (x) V¼ f li¶n töc vîi måi x > 0 m  f (x) 6= 0 ∀x > 0 suy ra

g(x) l  h m li¶n töc khi a > 0 M°t kh¡c, ta câ

g (√xy) = g(x) + g(y)

Vªy n¸u a 6= 0 th¼ f (x) khæng li¶n töc t¤i x = x0 = e−ba > 0

Do â º f (x) li¶n töc khi x > 0 th¼ a = 0 ⇒ f (x) = 1

b.Vªy f (x) = C, trong â C 6= 0l  h¬ng sè Thû l¤i, ta th§y h m f (x) = C

thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra

èi vîi h m logarit f (t) = logat, (0 < a 6= 1, t > 0), ta câ c¡c °ctr÷ng sau:

f (xy) = f (x) + f (y) v  f



xy



= f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R∗+

Do câ c¡c °c tr÷ng n y, h m sè tr¶n l  nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh h mt÷ìng ùng

B i to¡n 2.6 (Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy d¤ng logarit) X¡c ành c¡c

h m sè f (x) li¶n töc tr¶n R\ {0} thäa m¢n i·u ki»n

Líi gi£i

a) Tr÷îc h¸t ta t¼m h m sè f (x) tr¶n kho£ng (0, +∞), muèn vªy, x²t

x, y ∈ R+ °t x = eu, y = ev v  f (et) = g(t) Khi â (2.9) câ d¤ng

Theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy th¼ (2.10) ⇔ g(t) = bt v  do â

f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+, a ∈ R tòy þ

b) Ti¸p theo ta t¼m h m sè f (x) tr¶n kho£ng (−∞, 0), muèn vªy, x²t

x, y ∈ R− th¼ xy ∈ R+ Trong (2.9) l§y y = x v  sû döng k¸t qu£ ph¦n a)

Thû l¤i ta th§y h m f (x) = b ln |x| vîi b ∈ R tòy þ, thäa m¢n c¡c i·u

ki»n cõa b i to¡n °t ra Vªy

Thû l¤i ta th§y h m f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+, b ∈ R tòy þ, thäa m¢n c¡c

i·u ki»n cõa b i to¡n °t ra Vªy

sû f khæng tròng vîi 0, ngh¾a l  tçn t¤i x0 ∈ R sao cho f (x0) 6= 0 Tø(2.12) ta câ

Vªy f (x) = ceβx, ∀x ∈R (c, β l  h¬ng sè) Thû l¤i th§y thäa m¢n.

T§t c£ c¡c h m sè thäa m¢n y¶u c¦u cõa · b i l 

Tø (2.21), theo ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ta ÷ñc g(x) ≡ ax V¼ th¸

f (x)

f (0) = e

g(x) = eax ⇒ f (x) = f (0)eax ⇒ f (x) = αax, ∀x ∈ R

Thû l¤i th§y h m sè f (x) = αax, ∀x ∈ R thäa m¢n (2.17) Vªy, t§t c£

c¡c h m sè thäa m¢n y¶u c¦u cõa · b i l  f (x) = αax, ∀x ∈ R, vîi α l h¬ng sè tòy þ, a l  h¬ng sè d÷ìng

2.2 Ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t d¤ng logarit

Ph÷ìng tr¼nh logarit cì b£n câ d¤ng: logax = m Vîi méi gi¡ trà tòy þcõa m, ph÷ìng tr¼nh logax = m luæn câ mët nghi»m duy nh§t l  x = am.Nâi c¡ch kh¡c, ∀m ∈ (−∞; +∞), logax = m ⇔ x = am

Trong ph¦n n y, tæi tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p logarit gi£i ph÷ìngtr¼nh ¤i sè

• Ph÷ìng ph¡p ÷a v· còng cì sè v  mô hâa

Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.22) câ d¤ng

Vîi i·u ki»n (2.26) th¼

(

0 < x < 1(x + 3)(1−) = 4x

Ph÷ìng ph¡p 3: Dòng hai ©n phö cho hai biºu thùc lægarit trong ph÷ìngtr¼nh v  bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh th nh ph÷ìng tr¼nh t½ch.

Ph÷ìng ph¡p 4: Dòng ©n phö chuyºn ph÷ìng tr¼nh logarit th nh mëth» ph÷ìng tr¼nh vîi 2 ©n phö

Ph÷ìng ph¡p 5: Dòng ©n phö chuyºn ph÷ìng tr¼nh logarit th nh mëth» ph÷ìng tr¼nh vîi 1 ©n phö v  mët ©n x

Sau ¥y l  mët sè v½ dö minh håa

V½ dö 2.6 (· thi H Kinh t¸ Quèc d¥n H  Nëi n«m 2001) Gi£i ph÷ìngtr¼nh:

log3x+7(9 + 12x + 4x2) + log2x+3(6x2 + 23x + 21) = 4 (2.30)Líi gi£i

°t t = log3x+7(2x + 3) Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.30) trð th nh:

log2x−1(2x2 + x − 1) + logx+1(2x − 1)2 = 4 (2.31)Líi gi£i

i·u ki»n º (2.31) câ nghi»m l 

log2(4x+ 15.2x+ 27) + 2 log2 1

4.2x− 3 = 0. (2.34)Líi gi£i

i·u ki»n º (2.34) câ ngh¾a l  4.2x− 3 > 0 ⇔ 2x > 3

+) v2u = 1 ⇔ xv = 1 ⇔ 2log2 x(2 −√

2)log2 x = 1 ⇔ log2x = 0 ⇔ x = 1.Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t l  x = 1

⇔2 log2(x2 − x) + log2x log2(x2 − x) − 2 = 0 (2.40)

°t u = log2(x2 − x); v = log2x Khi â

• Vîi x > x0 ⇔ f (x) > f (x0) = k do â ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.

• Vîi x < x0 ⇔ f (x) < f (x0) = k do â ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.Vªy x = x0 l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh

T½nh ch§t 2.14 N¸u h m f (x) t«ng trong kho£ng (a, b) v  h m g(x)

l  h m h¬ng ho°c l  mët h m gi£m trong kho£ng (a, b) th¼ ph÷ìng tr¼nh

tçn t¤i x0 ∈ (a, b) : f (x0) = g(x0) th¼ â l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìngtr¼nh f (x) = g(x))

B÷îc 1: Chuyºn ph÷ìng tr¼nh v· d¤ng: f (x) = g(x)

B÷îc 2: X²t h m sè y = f (x) v  y = g(x) Dòng lªp luªn kh¯ng ành

h m sè y = f (x) l  h m t«ng cán h m sè y = g(x) l  h m h¬ng ho°cgi£m X¡c ành x0 sao cho f (x0) = g(x0)

B÷îc 3: Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = x0

T½nh ch§t 2.15 N¸u h m f (x) t«ng (ho°c gi£m) trong kho£ng (a, b) th¼

f (u) = f (v) ⇔ u = v vîi måi u, v thuëc (a, b)

B÷îc 1: Chuyºn ph÷ìng tr¼nh v· d¤ng: f (u) = f (v)

B÷îc 2: X²t h m sè y = f (x) Dòng lªp luªn kh¯ng ành h m sè l  ìn

i»u (gi£ sû çng bi¸n)

B÷îc 3: Khi â ph÷ìng tr¼nh ÷ñc chuyºn v· d¤ng: u = v

Sau ¥y l  mët sè v½ dö minh håa

t

+

√32

t

+

√32

V½ dö 2.13 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

4(x − 2)[log2(x − 3) + log3(x − 2)] = 15(x + 1) (2.43)Líi gi£i i·u ki»n º (2.43) câ ngh¾a l  x > 3 Ta câ

V½ dö 2.14 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

xlog2 9 = x2.3log2 x− xlog2 3 (2.44)Líi gi£i

i·u ki»n º (2.44) câ ngh¾a l  x > 0 Ta câ

(2.44) ⇔ 9log2 x = x2.3log2 x− 3log2 x (2.45)

t

+



14

5 hay log3(x + 1) > log5(x + 3).

Suy ra v¸ tr¡i > v¸ ph£i, ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m

5 hay log3(x + 1) < log5(x + 3)

Suy ra v¸ tr¡i < v¸ ph£i, ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.49) l  x = 2

• Ph÷ìng ph¡p sû döng ành lþ Lagrange, ành lþ Roll

- Sû döng ành lþ Lagrange gi£i ph÷ìng tr¼nh logarit