TỰ LUẬN Dạng 01: Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm Phương pháp..... Dạng 05: Nguyên hàm của hs phân thức hữu tỷ Phương pháp..... Dạng 06: Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn Phương pháp..
Trang 1BÀI 1 NGUYÊN HÀM
PHẦN 1 TỰ LUẬN
Dạng 01: Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm
Phương pháp
Câu 1 Hàm số F x( ) =5x3+4x2−7x+ +10 C là nguyên hàm của hàm số nào?
Câu 2 Cho hai hàm số F x( )=(x2+ax b e+ ) −x và ( 2 ) ( ) 3 6 x f x = − +x x+ e− Tìm a và b để ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x
Câu 3 Cho hai hàm số F x( ) =ln(x2+2mx+4)và ( ) 2 2 3 3 4 x f x x x − = − + Định m để F x( ) là một nguyên hàm của f x( )
Câu 4 Cho hai hàm số F x( ) =(ax2+3x b e+ ) 2xvà ( ) (4 2 10 1) 2x f x = x + x+ e Tính P a= +3bkhi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) .
Câu 5 Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 21 1 f x x = + Tính F′( )2 2 −F′( )0
Câu 6 Giả sử F x( ) =(ax2− +bx c e) x là một nguyên hàm của hàm số f x( ) =x e2 x Tích abc bằng
Câu 7. Biết rằng hàm số ( ) 3 (3 ) 2 4 3 F x =mx + m n x+ − x+ là một nguyên hàm của hàm số f x( ) =3x2+10x−4 Tính mn
Câu 8 Hàm số ( ) 1 3 1( 2 )
27
x
là nguyên hàm của hàm số nào
Trang 1/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 1
Trang 2
Dạng 02: Nguyên hàm của hs cơ bản, gần cơ bản Phương pháp
Câu 9 1 2 dx+ x ∫ bằng
Câu 10 Nguyên hàm của hàm số f x( ) 2 1 1 x = + là
Câu 11 Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) cos 2 f x = x là
Câu 12 Tìm họ nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 3 1 f x = + +x x .
Câu 13 Tìm tất cả nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 1 f x x x = −
Câu 14 Tìm 2 1 dx x ∫ .
Câu 15 Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) = +3x 1 là
Câu 16 Nguyên hàm của hàm số f x( ) = +x3 x2 là
Câu 17 Nguyên hàm của hàm số y=2x là
Câu 18 Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2018 f x = x x+ là
Trang 2/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 2
Trang 3Câu 19 Tìm nguyên hàm của hàm số y=2sin 2x?
Câu 20 ( )2 sin 2x−cos 2x dx ∫ bằng
Câu 21 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 2 f x x x x = + −
Câu 22 Nếu ∫ f x x( )d = −ex sin2 x C+ thì f x( ) bằng
Câu 23 Họ tất cả nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 1 cos x f x x x = + ÷ với (0; )\ , 2 x∈ +∞ π +k kπ ∈ ¢ là
Dạng 03: PP đổi biến số t = u(x) hàm xác định(ngắn gọn là vi phân) Phương pháp
Câu 24 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2 )9 1 f x =x x + là
Câu 25 2 cot sin x dx x ∫ bằng
Câu 26 Nguyên hàm của f x( ) =sin 2 ex sin 2xlà
Câu 27 1 2 x e dx x ∫ bằng
Câu 28 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) ln x x =
Trang 3/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 3
Trang 4
Câu 29 Họ nguyên hàm của ( ) 2 cos f x =x x là
Câu 30 3cos d 2 sin x x x + ∫ bằng
Câu 31 Họ nguyên hàm của f x( ) =sin3xlà
Câu 32 Tìm nguyên hàm 3 d 1 x x x − + ∫ ,
Dạng 04: PP nguyên hàm từng phần Phương pháp
Câu 33 Một nguyên hàm của ( ) cos2 x f x x = là
Câu 34 Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2 ln 2x f x x = ?
Câu 35 Họ các nguyên hàm của hàm số ( ) (2 1 ln) f x = x+ x là
Câu 36. Một nguyên hàm (x 2 sin 3 d) x x (x a)cos3x 1sin 3x 2017 b c − − = − + + ∫ thì tổng S a b c= . + bằng
Câu 37 Tìm họ các nguyên hàm ∫x(1 e+ 2x)dx.
Trang 4/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 4
Trang 5Câu 38 Họ nguyên hàm của hàm số
( ) (1 sin )
f x =x + x là
Câu 39 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln( 2) f x =x x+ .
Dạng 05: Nguyên hàm của hs phân thức hữu tỷ Phương pháp
Câu 40 2 1 d 3 2 x x x x + − + ∫ bằng
Câu 41 3 1 2 x dx x − + ∫ bằng
Câu 42 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2x2 f x x + = thỏa mãn F( )− =1 3 Tìm F x( )
Câu 43. Cho biết 2 13 d ln 1 ln 2 ( 1)( 2) x x a x b x C x x − = + + − + + − ∫ Tìm ; a b
Câu 44 Tính nguyên hàm 2 dx x −x ∫ được kết quả là:
Câu 45 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) x2 21 f x x − = − với x∈ −∞( ; 2) là
Câu 46 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2x 21 f x x + = − trên khoảng (−∞;2)là
Câu 47 Cho hàm số f x ( ) x x( 1 2)
+
=
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Trang 5/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 5
Trang 6
Dạng 06: Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn Phương pháp
Câu 48. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )0 0, ( ) 2 1 x f f x x ′ = = + Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 4 ( ) g x = x f x là
Câu 49 Cho hàm số f x( ) liên tục trên R Biết 2 sin x là một nguyên hàm của hàm số f x e( ) x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x e′( ) x là
Câu 50 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0;+ ∞) Khi đó f ( )x d x x ′ ∫ bằng
Câu 51 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ Biết sin x là một nguyên hàm của hàm số f x e( ) x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x e′( ) x là
Câu 52 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ Biết ( ) 16x4 F x = là một nguyên hàm của hàm số ( ) , f x x họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x′( )lnx là
Câu 53 Cho ( ) 2 1 2 F x x = là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x x Tìm một nguyên hàm của hàm số ( )ln f x′ x
Câu 54 Cho F x( )=x e2 x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x x Tìm một nguyên hàm của hàm số ( )ln f x′ x
Trang 6/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 6
Trang 7Câu 55 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ Biết ln x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 , f x x họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x′( )lnx là
Câu 56 Cho F x( ) cos x x = là một nguyên hàm của hàm số f x( )sinx Tìm một nguyên hàm của hàm số ( )cos f x′ x
Câu 57 Cho hàm số ( ) ( )3 2 x f x = e + Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g x( ) (= −2 x f x) ( ) ′ là
Câu 58 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )2 1 25 f = − và ( ) 3 ( ) 2 4 f x′ = x f x với mọi x∈¡ Giá trị của f ( )1 bằng
Dạng 07: Tìm nguyên hàm thỏa mãn ĐK cho trước Phương pháp
Câu 59 Cho F x( ) là một họ nguyên hàm của hàm số ( ) ex 2 f x = + x thỏa mãn ( )0 5 2 F = Tính F x( )
Câu 60 Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 3 2 5 f x =x − x+ thỏa mãn F( )1 =3.
Câu 61 Biết F x( ) là một nguyên hàm của ( ) 11 f x x = + và F( )0 =2thì F( )1 bằng
Câu 62 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x = x e+ với F( )0 =2 Giá trị của F( )1 bằng
Trang 7/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 7
Trang 8Câu 63 Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) sin 3 f x = x thỏa mãn F = ÷π2 2 .
Câu 64 Cho hàm số ( ) 4 2 sin = m+ f x x π Giá trị của tham số để nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện F( )0 =1và F = ÷π4 π8 là:
Câu 65 Cho F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) x2 x1 1 f x x + + = + và F( )0 =2018 Tính F( )−2 .
Câu 66 Cho hàm số 2 1 sin y x = Nếu F x( ) là nguyên hàm của hàm số và đồ thị y F x= ( ) đi qua điểm ;0 6 Mπ ÷ thì F x( ) là
Câu 67 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2x f x =e , biết F( )0 =1.
Câu 68 Biết rằng F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) =sin 1 2( − x)và F = ÷12 1 Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dạng 08: Dạng toán khác liên quan nguyên hàm(cực trị, đơn điệu,so sánh,min-max …) Phương pháp
Câu 69 Cho F x( ) = −x4 2x2+1là một nguyên hàm của hàm số f x′( )−4x Hàm số y= f x( )có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
Trang 8/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 8
Trang 9Câu 70 Hàm số F x( ) (= ax b+ ) 4x+1 ( ,a b là các
hằng số thực) là một nguyên hàm của ( ) 12
x
f x
x
= +
Tính a b+ .
Câu 71 Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 4 3 3 2 f x = x − +x thỏa mãn ( )1 3 2 F − = − Khi đó số nghiệm nguyên của phương trình F x( ) =2x+1 là
Câu 72 Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) ex2( 3 4 ) f x = x − x Hàm số F x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 73 Cho hàm số f x( )=x x2( −1)e3xcó một nguyên hàm là hàm số ( )F x Số điểm cực trị của hàm số ( )F x là
Câu 74 Cho hàm số f x( ) xác định trên ¡ thỏa mãn ( ) 2 1 f x′ = x+ và f ( )1 =5 Phương trình f x( ) =5 có hai nghiệm x , 1 x Tính tổng 2 S=log2 x1 +log2 x2
Trang 9/46 - Chuyên đề B&T Pro 2020Thầy Hưng Toán BMT 034.982.60.70 Trung tâm T – L – H – 14/3, Trần Hưng
Đạo, BMT| 9
Trang 11PHẦN 2 TRẮC NGHIỆM
Dạng 01: Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm
Câu 1 Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Câu 9. Cho hàm số ( )f x xác định trên Kvà ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K Khẳng định
nào dưới đây đúng?
Trang 12Câu 14. Hàm số y=2x−cosx+1 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A y x= −2 sinx x+ . B y= −2 sinx. C y= +2 sinx. D y x= +2 sinx x+ .
f x
Trang 13Dạng 02: Nguyên hàm của hs cơ bản, gần cơ bản
Câu 20. Nguyên hàm của hàm số f x( ) =32x+ 1 là
x+ +C
Câu 21 Khẳng định nào sau đây sai?
A ∫cos dx x=sinx C+ . B ∫sin dx x= −cosx C+ . C ∫e dx x= +ex C. D ln dx x 1 C
x
= +
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=sinxlà
A - cos x C+ B cos x C+ C tan x C+ D - cot x C+
Câu 23. Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định sai?
Câu 24. Nếu hàm số y =sinxlà một nguyên hàm của hàm số y = f x( ) thì
A f x( ) = −cosx. B f x( ) =sinx. C f x( ) =cosx. D f x( ) = −sinx.
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số
1( )
Câu 30. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
A sin 2x và cos x2 B tan x2và 2
f x
x
=
Trang 14Câu 36. Họ các nguyên hàm của hàm số f x( ) = −sinx+e−xlà
A sinx+e−x+C B cosx−e−x+C C −cosx−e−x+C D −sinx−e−x+C
Câu 37. Tính ∫cos5 cos3 dx x x.
Dạng 03: PP đổi biến số t = u(x) hàm xác định(ngắn gọn là vi phân)
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =ee−x x−ee−x x
x +C
Câu 42. Họ nguyên hàm của của hàm số f x( ) =20202x+1 là
Trang 15A 20202x+1+C B
2 120202
+
+
x C
+
+
x C
1cos 2
d12
d4
I = ∫u u.
Câu 46. Hàm số F x( ) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y=3 x+1?
A ( ) 3( )43
18
13
Trang 16f x
x
=+ Khi đó
4
1( ) (2 cos 2 sin 2 )
4
1( ) (2 cos 2 sin 2 )4
Trang 17x x
F x = − +C
e3
x x
x
C x
Trang 18Câu 70. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2
x x
2
2 2
Trang 19Câu 80. Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ Biết 2
sin x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x e , họ tất cả các x
nguyên hàm của hàm số ( ).f x e′ x là
A 2cosx−cos 2x C+ . B sin 2x−sin2x C+ . C 2sinx−sin2x C+ . D sin 2x+sin2x C+ .
Câu 81. Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ Biết cos2x là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x′( )cosx là
A xsinx+cosx C+ . B sinx x− cosx C+ . C xsinx x+ cosx C+ . D sinx x+ cosx C+ .
Câu 85. Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ Biết 2
cos x là một nguyên hàm của hàm số f x e , họ tất cả các ( ). 2x
nguyên hàm của hàm số f x e′( ). 2x là
A −sin 2x+2cos2x C+ .B sin 2x−2 cos2x C+ . C −sin 2x−2sin2x C+ . D −sin 2x−2cos2 x C+ .
Dạng 07: Tìm nguyên hàm thỏa mãn ĐK cho trước
Trang 20154
Trang 21Câu 97. Biết F x( ) là một nguyên hàm của của hàm số f x( ) =sinx và đồ thị hàm số y F x= ( ) đi qua điểm( )0;1
Trang 22và thỏamãn: 2f2( )x =F x( )−1 f x′( )
.Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
Tính T = + +a b c.
A T =8. B T =5. C T =6. D T =7.
Dạng 02: Nguyên hàm của hs cơ bản, gần cơ bản
Câu 5 Một nguyên hàm của hàm số f x( ) =8sin4 x+2 cos5 sin 3x x có dạng
F x =ax b+ x c+ x d+ x e+ x Tính S a b c d e= + + + + .
153
S =
138
S=
158
12 1 8
x x
1 8
x x
Trang 23m= −
34
m=
43
m= −
34
x I
1sin 4 sin 2
Dạng 03: PP đổi biến số t = u(x) hàm xác định(ngắn gọn là vi phân)
Câu 18 Biết rằng trên khoảng
3
;2
Trang 25Câu 27 Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3( 2 )2019
x x
e e
−
2ln1
x x
e
x x
x
C x
2 x C+
1ln
Câu 35 Để tìm nguyên hàm của f x( ) =sin4xcos5xthì nên:
A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=cosx.
Trang 26B Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt 4 4
F x
x
= −+
x x
++
∫
Nguyên hàm củahàm số f ( )2x
+
34
r
r
x C r
+
=
++
r
r
x C r
+
=
++
∑
Dạng 04: PP đổi biến số x = u(t) hàm xác định
Câu 42 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2 2
1 x
C x
Trang 27
Câu 43 Với phương pháp đổi biến số x=2cos 2t với t 0;2
x x
−+
x I
−
2
9 e2
F a
10;
Trang 28Câu 54 Cho hai hàm số F x( ), G x( ) tách công thức MT xác định và có đạo hàm lần lượt là F x( ), G x( )
tách công thức MT trên (1;+∞) Biết rằng F x G x( ) ( ) =2 lnx2 (x−1) và ( ) ( ) 2 2
F a
∈ ÷
10;
Câu 60 Cho nguyên hàm ∫udv=2 sinx x+ −(2 x2)cosx C+ với v=cosx Nguyên hàm ∫vdu là
A 2 cosx x+2sinx C+ . B 2 sinx x−2cosx C+ .
C 2 sinx x+2cosx C+ . D −2 sinx x−2cosx C+ .
Trang 29Câu 61 Cho F x( ) (= x−1)e x là một nguyên hàm của hàm số f x e( ) 2 x
A sin 2x−2cos2 x C+ . B sin 2x+2 cos2x C+ .
C −sin 2x+2cos2 x C+ . D −sin 2x−2cos2 x C+ .
A 2tan 22 x−2 tan 2x+2. B 2tan 2 + 2 tan 22 x x C+ .
C 2tan 22 x−2 tan 2x C+ . D −2tan 2 + 2 tan 22 x x C+ .
Câu 65 Biết rằng ∫e2xcos 3 dx x e= 2x(acos3x b+ sin 3x)+c
là một nguyên hàm của hàm số ( ) (f x = −x 2)sin 3x,
với , ,a b c Z∈ Giá trị của ab c+ bằng.
x x
++
++
Trang 30P= −
29
P= −
79
P=
149
f x
x x
=+ trên khoảng (0;+∞) là
A
1ln
A 2ln sinx+2cosx +C. B − −2 ln sinx+2cosx +C.
C − −x 2ln sinx +C. D − −x 2ln sinx+2cosx +C.
Câu 73 Cho biết 2
5d2
x
+ −+ −
Trang 3122019
Dạng 07: Nguyên hàm kết hợp đổi biến và từng phần hàm xđ
Câu 80 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) = ln ln( x)
Câu 81 Nguyên hàm của hàm số: I =∫cos 2 ln sinx ( x+cos dxx) là
A ( ) 1(1 sin 2 ln 1 sin 2) ( ) 1sin 2
Câu 82 Một nguyên hàm của hàm số: f x( ) =xsin 1+x2 là
A F x( ) = − +1 x2 cos 1+x2 −sin 1+x2 . B F x( ) = − +1 x2cos 1+x2 +sin 1+x2 .
C F x( ) = 1+x2cos 1+x2 +sin 1+x2 . D F x( ) = 1+x2cos 1+x2 −sin 1+x2 .
Câu 83 Cho hàm số ( ) 2
4
=+