ABCD là hình thang. Cách chứng minh một tứ giác là hình thang à chứng minh 2 cạnh song song à 2 góc đồng vị bằng nhau, so le trong bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau.. Biết đường ca[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
1 Khái niệm hình thang
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
2 Hình thang vuông
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông
3 Hình thang cân
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau
Trang 23.1 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
1 Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
2 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
3.2 Cách chứng minh 1 hình thang là hình thang cân
Cách 1 : Chứng minh hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau → hình thang đó là hình thang
cân
Cách 2 : Chứng mình hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau → hình thang đó là hình
thang cân
3.3 Cách chứng minh 1 tứ giác là hình thang cân
Bước 1 : Chứng minh tứ giác đó là hình thang → Chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song
với nhau → dựa vào các cách chứng minh song song như : Hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc
so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ vuông góc đến song song
Bước 2 : Chứng minh hình thang đó là hình thang cân theo 2 cách ở mục 3.2
B BÀI TẬP
Bài toán 1 : Hình thang ABCD (AB//CD) có A – D = 20o, B = 2C Tính các góc của hình thang
Giải
Vì ABCD là hình thang (AB//CD), nên ta có :
B + C = 180o (hai góc trong cùng phía bù nhau)
Trang 32C + C = 180o ( vì B = 2C)
3C = 180o → C = 60o → B = 2.60o = 120o
A – D = 20o → A = 20 + D
A + D = 180o (hai góc trong cùng phía bù nhau)
20 + D + D = 180
2D = 160 → D = 80 →à A = 20 + 80 = 100
Vậy A = 100 ; B = 120 ; C = 60 ; D = 80
Bài toán 2 : Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD) biết A = 3D và B – C = 30
Gợi ý : Vẽ hình tượng trưng và làm như bài toán 1
Bài toán 3 : Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A Chứng minh rằng
từ giác ABCD là hình thang
Gợi ý :
AB = BC để làm gì?
AC là tia phân giác để làm gì?
Bài toán 4 : Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D Chứng minh rằng
ABCD là hình thang
Gợi ý : vẽ hình và làm tương tự bài toán 3
Cách chứng minh một tứ giác là hình thang à chứng minh 2 cạnh song song à 2 góc đồng vị bằng nhau, so le trong bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau
Bài toán 5 : Tính các góc của hình thang ABCD biết A = 60o và C = 130o
Gợi ý : Dựa vào tính chất : ABCD là hình thang → 2 đáy song song → 2 góc trong cùng phía
bù nhau
Bài toán 6 : Tính các góc của hình thang ABCD biết A = 50o và C = 120o
Trang 4Bà toán 7 : Hình thang vuông ABCD có A = D = 90o, C = 45o Biết đường cao bằng 4cm AB + CD = 10cm, Tính hai đáy
Gợi ý :
CH = 4cm
AB + DH + CH = 10
AB + AB + 4 = 10 (vì AB = DH)
2AB = 6 → AB = 3 → DH = 3 → DC = DH + CH = 3 + 4 = 7cm
Bài toán 8 : Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD), biết D = 2A
Gợi ý : AB // CD à A và D là hai góc trong cùng phía bù nhau à A + D = 180
Bài toán 9 : Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D
AC, E AB) Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên
Gợi ý :
Bước 1 : Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang (hai góc đồng vị AED = ABC tính thông qua góc chung A của 2 tam giác cân ABC và tam giác cân AED à chứng minh tam giác AED là tam giác cân à chứng minh AE = AD)
Bước 2 : BEDC là hình thang dễ dàng thấy B = C (vì tam giác ABC cân tại A) à là hình thang cân
Trang 5Bài toán 10 : Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD Chứng minh rằng
AC là tia phân giác của góc C
Gợi ý :
ABCD là hình thang cân, đáy nhỏ AB
AB = AD (gt)
BC = AD (vì ABCD là hình thang cân)
Nên tam giác ABC cân tại B à học sinh tự tư duy tiếp
Bài toán 11 : Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho
BM = CN
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân
b)Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng A = 40o
Gợi ý : tứ giác BMNC là hình thang cân BMNC là hình thang (đồng vị, so le trong, trong cùng phía bù nhau) hình thang cân (2 cách chứng minh hình thang cân)
Bài toán 12 : Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của AC lấy điểm D, trên tia đối của AB
lấy điểm E sao cho AD = AE Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân
Gợi ý :
Bài toán 13 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Trên BC lấy điểm M sao cho
CM = CA Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I
a) Tứ giác ACMI là hình gì ?
b) Chứng minh AB + AC < AH + BC
Bài toán 14 : Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I Qua I kẻ
đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB và AC tại D và E
a) Vẽ hình và tìm các hình thang trong hình vẽ
Trang 6b) Chứng minh rằng hình thang BCED có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên
Gợi ý :
Bài toán 15 : Cho tam giác ABC có BC = 4cm, các trung tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ tự
là trung điểm cuẩ BE, CD Gọi giao điểm của MN với BD, CE theo thứ tự là P, Q
a) Tính độ dài MN
b) Chứng minh rằng MP = PQ = QN
Gợi ý :
Bài toán 16 : Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 90o, C = 45o Biết đường cao bằng 4cm,
AB + CD = 10 cm, tính hai đáy
Bài toán 17 : Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC
sao cho AD = AE
a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
b) Tính các góc của hình thang BEDC, biết A = 70o
c) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?