Tập trung vào bốn dạng thường gặp sau đây: 1Tích qui về cùng cơ số: Khi giài ta dựa theo dạng cơ bản đễ lấy nghiệm TD Giải các phương trình sau đây... TD Giải các phương trình sau đây ;.[r]
Trang 1MÔN TOÁN
*****===*****
! VÀ LOGARIT
Trang 2# 1: PHÁP TRèNH ! VÀ LOGARIT
trỡnh và logarit %& ' () * + * , thi THPT
Khụng 12 32 4 gian vào chuyờn 3 này vỡ 7 sinh cũn 2: '; cho cỏc ', mụn khỏc
-> bài ? ' nõng lờn cỏc bt * , cao
I Luỹ thừa.
1 ĐN: Cho aR,nN*.khi đó:
So n
n
a a a a
.
Ta có: với a 0
Chú ý:
và là không có nghĩa
0
0
Cho số thực b và số nguyên !" n 2
n = b Khi n lẻ , b R : Tồn tại duy nhất n b
Khi n chẵn b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b
b = 0 : Có một căn : n 0 0
b > 0 : có hai căn bậc n của b là: a =
0
0
n n
b b
2 Các tính chất:
Cho các số !" a, b, c ,, R Khi đó:
1 Tích các luỹ thừa cùng cơ số :
a
2 !" hai luỹ thừa cùng cơ số:
a
a a
a :
3 Luỹ thừa của một tích:
c b a c
b a
b a b
a
)
(
)
(
4 Luỹ thừa của một !"
b
a b
a
) (
5 Luỹ thừa của luỹ thừa:
) ( a a
n n
a
a 1
1
0
a
Trang 3* Nếu a > 1 thì a a
* Nếu 0 < a < 1 thì a a
6 Căn bậc n :
n
n a
1
n m n
m
a
II Lôgarít
1 Định nghĩa:
Cho hai số !" a, b với a 1 Số thoả mãn bất dẳng thức a b
lôgarít cơ số a của b và kí hiệu : loga b
loga b a b
2 Các tính chất:
Loga1 = 0 Lgaa = 1
Loga{ a } = aloga b b
3 Các quy tắc tính Lôgarít :
Với các số !" : a, b, c, d, ,, R,a1, ta có:
3.1 Lôgarít của một tích:
Log a b.c Log a bLog a c
Loga( b.c.d ) = Loga b + Logac + Loga d
3.2 Lôgarít của một !"
c Log b
Log c
b
Đặc biệt:
c Log c
Log Log
c
Log a a a a
1 1
3.3 Lôgarít của một luỹ thừa:
Loga b Logab
Hay
Logabc c Logab
Đặc biệt:
Logaac c Logaa c
Do đó:
Trang 4
c a
Log c
3.4 L«garÝt cña c¨n bËc n :
b
Log n
b Log b
a
n
1
b
Log n
m b
Log b
m a
n m
3.5 L«garÝt c¬ sè luü thõa:
b Log b
1
3.6 §æi c¬ sè lÊy L«garÝt:
1) §K: a,b,c 0,a 1,c1
b
Log b
Log
c
c
2) §K: a,b0,a 1,b1
Logab Logba
1
3) §K: a,b a0, 1
b Log b
1
4 L«garit thËp ph©n, l«garit tù nhiªn:
4.1 L«garit thËp ph©n: lµ l«garit víi c¬ sè a = 10
Log10xLgx HoÆc Log10xLogx
4.2 L«garit tù nhiªn: lµ l«garit víi c¬ sè a = e = 2,7,1828…
Log e xLnx
III Hµm sè luü thõa:
1 §Þnh nghÜa: Hµm sè: y = x
2 TX§
Hµm sè s¬ cÊp
y = x
Hµm sè hîp
y = u
NÕu Z+ : TËp sè nguyªn !":
Th× TX§: D = R
NÕu Z - : TËp sè nguyªn ©m
NÕu Z+ : TËp sè nguyªn !":
Th× TX§: Du = R
NÕu Z - : TËp sè nguyªn ©m
Trang 5Thì TXĐ: D = R\ { 0 }
Nếu Z : Tập số nguyên
Thì TXĐ: D = ( 0; + )
Thì TXĐ: Du = R\ { 0 } u 0
Nếu Z : Tập số nguyên Thì TXĐ: Du = ( 0; + )
u > 0
Đạo hàm:
Hàm số: y = x , với R có đạo hàm với mọi x > 0
Hàm số sơ cấp
y = x
Hàm số hợp
y = u
y’ = '’
x .x 1 y’ = '’
u .u'.u 1
*Tính chất:
Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm ( 1; 1 )
Khi > 0 thì hàm số luỹ thừa luôn đồng biến
Và không có tiệm cận
Khi < 0 thì hàm số luỹ thừa luôn nghịch biến
Và có tiệm cận Ngang là trục Ox
tiệm cận Đứng là trục Oy
IV Hàm số mũ:
1 ĐN: Hàm số y = ( a > 0;
x
2 TXĐ: D = R
3 Đạo hàm:
Hàm số y = có đạo hàm tại mọi x
x a
Hàm số sơ cấp
y = ax
Hàm số hợp
y = au
y’ = x '’
a a x.lna y’ = u '’
a u'.a u.lna
* Tính chất : ax> 0 x
Khi > 1 thì hàm số mũ luôn đồng biến.
Khi < 1 thì hàm số mũ luôn nghịch biến.
* Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục Ox
Và luôn đi qua các điểm: ( 0; 1 ) ; ( 1; a ) Và nằm phía trên trục hoành Ox
Trang 6V Hàm số Lôgarit.
1 ĐN: Hàm số y = Logax ( a > 0; a 1
2 TXĐ: D = ( 0; + ) Hay x > 0
Điều kiện để hàm số có nghĩa:
Hàm số sơ cấp
y = Logax
Hàm số hợp
y = Logau ( a > 0; a 1) ( a > 0; a 1)
X > 0
( a > 0; a 1)
U > 0
Đạo hàm:
Hàm số sơ cấp
y = Logax ( a > 0; a 1)
Hàm số hợp
y = Logau ( a > 0; a 1)
y’ = ( Logax )’ = x ln. a
1
Y’ = ( Logau )’ = u a
u
ln '
Đặc biệt:
Y = ln X
Y’ = ( ln x )’ = x ln. e =
1
.
1
x
Y = ln U
Y’ = ( ln U )’ = u e =
u
ln
'
u u'
* Tính chất:
Khi a > 1 thì hàm số mũ luôn đồng biến
Khi a < 1 thì hàm số mũ luôn nghịch biến
* Đồ thị của hàm số lôgarit có tiệm cận đứng là trục Oy
Và luôn đi qua các điểm: ( 1; 0 ) ; ( a; 1 ) Và nằm phía bên phải trục tung Oy
Vấn đề :
Phương trình mũ Bất phương trình mũ.
Phương trình Lôgarit Bất Phương trình Lôgarit.
1 Phương trình cơ bản:
ax = b ( a > 0; a 1)
Nếu b 0 thì PT vô nghiệm
Nếu b 0 thì PT có nghiệm duy nhất: x = loga b
2 PT mũ đơn giản:
PP giải:
Hàm số sơ cấp
b
x
a
Hàm số hợp
b
u
a
1 Đưa về cùng cơ số:
b
x
a
R! về cùng cơ
số: a
x = ac
a
x = c
R! về cùng cơ
số: c
ax= c
x
c )
( c
b
u
a
R! về cùng cơ
số: a
u = ac
a
u = c
R! về cùng cơ số: c
au = c
u
c )
( c
Trang 7x
.x
x =
c.u = c
.u
u =
2 Lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hoá ).
b
x
a
logaax = logab
x = logab
b
u
a
logaau = logab
u = logab
3 Đặt ẩn phụ:
Đặt t = ax ĐK: t > 0
Khi đó:
PT trở thành PT bậc hai:
A.t2 + B.t + C = 0
Hoặc PT bậc ba:
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0
Hoặc PT trùng W!"
A.t4 + B.t2 + C = 0
Hoặc dạng khác: … đối vơi ẩn t
Ta giải PT đó theo ẩn t
1; t2 ( t1; t2 > 0 ) Sau đó, giải PT CB:
ax= t1 => x1 = loga t1
ax= t2 => x2 = loga t2
Đặt t = au ĐK: t > 0 Khi đó:
PT trở thành PT bậc hai:
A.t2 + B.t + C = 0 Hoặc PT bậc ba:
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0 Hoặc PT trùng W!"
A.t4 + B.t2 + C = 0 Hoặc dạng khác:… đối vơi ẩn t
1; t2 ( t1; t2 > 0 ) Sau đó, giải PT CB:
au= t1 => u1 = loga t1
au= t2 => u2 = loga t2
II Phương trình Lôgarít:
1 Phương trình Lôgarít cơ bản: ( a > 0 , a 1 )
Logax = b x = ab
2 PT Lôgarít đơn giản:
Hàm số sơ cấp Hàm số hợp
1 Đưa về cùng cơ số lôgarít 1 Đưa về cùng cơ số lôgarít
Trang 8c Log x
ĐK: x > 0
1
1
c
x
c Log c Log x Log
a a
c Log u
ĐK: u > 0
1
1
c u
c Log c Log u Log
a a
2 Mũ hoá
Logau y
aLog a u ay
u ay
3 Đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ:
Đặt t = Logax ĐK: t > 0
Khi đó:
PT trở thành PT bậc hai:
A.t2 + B.t + C = 0
Hoặc PT bậc ba:
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0
Hoặc PT trùng W!"
A.t4 + B.t2 + C = 0
Hoặc dạng khác: … đối vơi ẩn t
Ta giải PT đó theo ẩn t
1; t2 ( t1; t2 > 0 ) Sau đó, giải PT CB:
Logax = t1 => x1 = t1
a
Logax = t2 => x2 = t2
a
Đặt t = Logau ĐK: t > 0 Khi đó:
PT trở thành PT bậc hai:
A.t2 + B.t + C = 0 Hoặc PT bậc ba:
A.t3 + B.t2 + C.t + D = 0 Hoặc PT trùng W!"
A.t4 + B.t2 + C = 0 Hoặc dạng khác: … đối vơi ẩn t
Ta giải PT đó theo ẩn t
1; t2 ( t1; t2 > 0 ) Sau đó, giải PT CB:
Logau = t1 => u1 = t1
a
Logau = t2 => u2 = t2
a
III Bất phương trình mũ.
1 Bất phương trình mũ cơ bản.
HS Sơ Cấp: x b Hoặc , ,
a
HS Hợp: u b Hoặc , , Với ( a > 0 , )
Nếu b 0 thì tập nghiệm của BPT: x blà: S = R
a
là: S = Tức là BPT vô nghiệm
b
x
Nếu b 0 thì BPT có nghiệm:
Với cơ số: a > 1 Với cơ số: 0 < a < 1
b
u
a u loga b
Tập nghiệm: Su (loga b ; )
b
u
a u loga b
Tập nghiệm: Su ( ; loga b )
b
u
a u logab u b
a u loga b
Trang 9Tập nghiệm: Su ( ; loga b ) Tập nghiệm: Su (logab ; )
b
u
a u logab
log b ;
b
u
a u logab
Tập nghiệm: Su ; loga b
b
u
a u logab
Tập nghiệm: Su ; logab
b
u
a u logab
log b ;
2 Bất phơng trình thường gặp:
Đặt t = au ĐK: t > 0
Khi đó:
BPT trở thành BPT bậc hai:
A.t2 + B.t + C < 0 (Hoặc A.t2 + B.t + C > 0 … )
Hoặc PT bậc ba:
A.t3 + B.t2 + C.t + D < 0 (Hoặc A.t3 + B.t2 + C.t + D > 0 ……)
Hoặc PT trùng W!"
A.t4 + B.t2 + C > 0 ( Hoặc A.t4 + B.t2 + C < 0 …… )
Hoặc dạng khác:… đối vơi ẩn t
1; t2 ( t1; t2 > 0 ) Sau đó, giải PT CB:
Với a > 1
u t1 => u1 < loga t1
a u t1 => u1 loga t1
=> u1 > loga t2
t1
u
u t2 => u2 < loga t2
=> u2 > loga t2
t2
u
Với a < 1
u t1 => u1 > loga t1
a u t1 => u1 loga t1
=> u1 < loga t1
t1
u
u t2 => u2 > loga t2
=> u2 < loga t2
t2
u
Từ đó rút ra kết luận về nghiệm của BPT
IV Bất phương trình lôgarít.
1 Bất phương trình lôgarít cơ bản.
HS Sơ Cấp: loga x b Hoặc loga x b, loga x b , loga x b
HS Hợp: logau b Hoặc logau b, loga u b , loga u b
Trang 10Với ( a > 0 , a 1 )
Với cơ số: a > 1 Với cơ số: 0 < a < 1
b loga u b
a
u
Tập nghiệm: ( b; )
S
b loga u b
a
u
Tập nghiệm: Su ( ; ab)
b
a
u
Tập nghiệm: b
S ;
b
a
u
Tập nghiệm: ( b; )
S
b
a
u
b ;
u a S
b
a
u
Tập nghiệm: b
S ;
u ab
b loga u
Tập nghiệm: b
b
a
u
b ;
u a S
2 Bất phơng trình thường gặp:
Đặt t loga u
Khi đó:
BPT trở thành BPT bậc hai:
A.t2 + B.t + C < 0 (Hoặc A.t2 + B.t + C > 0 … )
Hoặc PT bậc ba:
A.t3 + B.t2 + C.t + D < 0 (Hoặc A.t3 + B.t2 + C.t + D > 0 ……)
Hoặc PT trùng W!"
A.t4 + B.t2 + C > 0 ( Hoặc A.t4 + B.t2 + C < 0 …… )
Hoặc dạng khác:… đối vơi ẩn t
1; t2 ( t1; t2 > 0 ) Sau đó, giải PT CB:
Với a > 1
loga u t1 u at 1 logau t1 u at 1
loga u t1 u at 1 logau t1 u at 1
loga u t2 u at 2 logau t2 u at 2
loga u t2 u at 2 logau t2 u at 2
Trang 11Với a > 1
loga u t1 u at 1 logau t1 u at 1
t logau 1 u at 1 logau t1 u at 1
loga u t2 u at 2 logau t2 u at 2
loga u t2 u at 2 logau t2 u at 2
Từ đó rút ra kết luận về nghiệm của BPT
",- /01%
n n
n
n n
n
n m n
m
n m n
m
n m n
m
xy y
x
y
x y
x
x x
x
x
x
x x
x
) (
) (
)
(
.
.
0 1 log
1 log
log
1 log
log log
log log
log
) ( log log
log
a a
a a
a a
a a
a a
a
a
x x
x x
y
x y
x
xy y
x
TRèNH ! & LOGARIT
Dựng :; ụn => trong ?/@A93 trỡnh CD5 E@F93 GH? sinh -IJ , ụn thi L 93/5M> THPT
N/@A93 trỡnh O,
P93 ?A CQ9
x f
x g x f
Log x
f a
x g x f a
a
) (
) ( ) (
) (
) ( ) (
1)Tớch qui
Khi giài ta %R$ theo %& ' T "(5 U
TD cỏc trỡnh sau @5
Trang 12a) 2 x+1 4 x-1 x
x 16 8
1
1
2
4 4 6
2
2 1 2 2 3 3 4
x
x x
x x x x
3
2 9
4 2 1
9
4 9
4 2
2 4 2
4 2
2
4 3
4 3 3 3
27
4 9
3 )
3
3 3
3 3 3
2 2
3 2 2 1
Log Log
x
Log Log
Log x
Log x
Log x
b
x
x x x
x x
x
2) -Y qui 3 cùng 8M
Thông 4 ta $ 3 8M nguyên % bé ( và thu 7 thành trình '? hai
TD các trình sau @5 ;
3
2
0 6
:
) 0 (
2
6
4
2
)
2
t
t
t
t
ptr
t
t
Đăt
a
x
x
x
Do t > 0 nên ta \ ? U t
= 2
Suy ra 2 x = 2 KQ x =
1
x x
x
b) 27 12 2 8 Chia hai ` cho 8 x ta trình
2 2
3 2
3
2 8
12 8
27
3
x x
x x
aN ( t > 0 )
x
2 3
Ptr : t 3 + t - 2 = 0
Ta U duy ( t = 1
1 2
3
x
KQ x = 0
3) Tích *$ 8M khác nhau
Dùng pháp logarit hóa ( c(5 log hai ` theo 8M thích )
TD các trình
a) 3x 2x2 1
c(5 log hai ` d$ trình
theo 8M 2
Ta trình
0 2
2 x x
Log
Log
0
2 x
xLog
aN t = a x ( t > 0 ) Suy ra a nx = t n
`2 a.b = 1 aN t = a x thì b x = 1/ t 11
Trang 13
3 0
0 ) 3
(
2
2
Log
x
x
x Log
x
5
5 1
1
0 5 log 1 )
5 (log
5 log 1 5 log
5 2
5 2
) 5 2 ( )
5 2 (
10 5 2 )
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
Log
Log x
x
x x
x x
Log Log
Log Log
Log Log
b
x x
x x
x x
4) -Y không $ 3 cùng 8M
Tính : tìm U x 0 d$ trình
* f U b là duy (
TD các trình:
a) 2 x + 3 x = 5
. trình ?
U x = 1
2 x + 3 x = 5 2 x + 3 x
- 5 = 0 Xét hàm 8M f(x) = 2 x + 3 x
– 5 ( xác ; + 7 x )
Ta có f / (x) = 2 x ln2 + 3 x
ln3 > 0 ( x ) Suy ra j ; hàm 8M f(x)
k l hoành & duy
( , m
n?5 trình có
U duy ( x = 1
b) 2 x + 3 x = 5 x . trình ? U x = 1 Chia hai ` d$ trình cho 3 x
x x
x x
x g x
f
ptr
3
5 ) (
&
1 3
2 ) (
3
5 1 3
2 :
hai hàm 8M 32 có ? xác ; là R
0 3
5 ln 3
5 ) (
&
0 3
2 ln 3
2 )
x x
x g x
f
Suy ra hàm 8M f(x) ; '` và hàm 8M g(x) j '`
Do b j ; d$ hai hàm 8M k nhau & 7
m duy (
KL trình có duy ( , U x = 1
II) TRÌNH LOGARIT
x f Log
x g x f
x g
x f x
g Log x
f Log
a a
Cho
a
a a
) ( )
(
) ( ) (
0 ) (
0 ) ( )
( )
(
1
&
0
Ta ? trung vào ba %& sau @5 :
1) R93 qui TI cùng ?A GL
Thu 7 3 %& '
TD các trình
Trang 14a)
6
11
8 4
2xLog xLog x
Log
a/ x > 0 a$ 3 8M 2 , ta
trình
2 1 6
11 6
11
6
11 )
3
1 2
1 1 (
6
11 3
1 2
1
2 2
2
2 2
2
x
x Log
x Log
x Log
x Log x
Log x
Log
) ( 9 3
0 27 6
27 ) 6 (
3 ) 6 ( log :
0 :
3 ) 6 ( log 2 log )
2 3
9 3
loai x
x
x x
x x
x x ptr
x đk
x
2) V W9 >/X: Khi trong ptr ?/Y1 9/5ZJ logarit cùng O\ ?A GL trong C5]J /Y? ?/Y1 tích /2V? /@A93
TD: ptr:
1 log 5
1 log
1
2
a
_%
1 5
10 10 0
x x x
aN t = logx
5
1 1
Thu t2 t5 6 0
1000 10
3 log
100 10
2 log 3 2
3 2
x x
x x
t t
3 ) log 2 )(
log 1 ( 2 x 4 x
b
x 0 aN t log2 x
Ptr : ) 3
2
1 2 )(
1 ( t t Thu t2 t3 2 0
4
2 2
log
1 log 2
1
2
2
x
x x
x t
t
3) R93 ?A GL khác nhau:
Tìm U x 0
* f ptr có , U duy ( x 0
TD: ptr:
log2 x log3(x 1 ) 3
a/ : x 1
Ptr có U x = 4
Ptr : log2 x log3(x 1 ) 3 0
Xét hs f(x) log2 x log3(x 1 ) 3
D ( 1 ; )
1
1 2 ln
1 ) (
x x
x f
Suy ra hs f(x) j '`
Do b ptr có duy ( , U x = 4
... t2a
III Bất phương trình mũ.
1 Bất phương trình mũ bản.
HS Sơ Cấp: x b...
u
Từ rút kết luận nghiệm BPT
IV Bất phương trình lơgarít.
1 Bất phương trình lơgarít bản.
HS Sơ Cấp: loga... Sau đó, giải PT CB:
au= t1 => u1 = loga t1
au= t2 => u2 = loga t2
II Phương trình Lơgarít: