a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông... b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x, K là hình chiếu của S trên DM..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán - Lớp: 11
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình sau: x2 x2013 2013
Câu 2 (3,0 điểm) Cho phương trình (2sinx1)(2 s 2co x2sinx m ) 1 2 cos x2 (Với m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;
Câu 3 (5,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
b) Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư và 4 chiếc phong bì thư đã để sẵn địa chỉ Tính
xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ.
Câu 4 (4,0 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu:
cos sin
sin sin
B cosC A
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
sin A sin B sin C M
cos A cos B cos C
Câu 5 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1): x2y2 13, đường tròn (C2):
2 2
(x 6) y 25.
a) Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2).
b) Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Câu 6 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x, K là hình chiếu của S trên DM Tính
độ dài đoạn SK theo a và x Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK.
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG
Môn : TOÁN
Câu 1 x2 x2013 2013 ĐK x 2013
Đặt t x2013 ( với t t0) t2 x 2013t2 x2013 Ta có hệ PT:
2
2
2013 2013
+ Với x +t =0 ta được t = -x x2013x Giải ra ta được
1 8053 2
là nghiệm
+ Với x – t +1 = 0 ta được : x +1 = t x 1 x2013 Giải ra ta được
1 8049 2
là nghiệm Đáp số :
1 8053 2
,
1 8049 2
0,25 0,5 0,5
0,25 0,25
0,25
Câu 2 (2sinx1)(2 s 2co x2sinx m ) 1 2 cos x2
a , Với m =1 ta được phương trình :
(2sinx1)(2 s 2co x2sinx1) 1 2 cos x2 (2sinx1).cos x2 0
+
+ cos 2x 0 x 4 k 2
b, Phương trình đã cho tương đương với : (2sinx1)(2 s 2co x m 1) 0
Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0;thì phương trình :
1 2
2
m
vô nghiệm hoặc có hai nghiệm
5
;
.Từ đó ta được m <-1v
m >3 v m =0
0,5 1,5 0,5
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu 3
2 2
2 2
3( 3 ) 2( 4 ) 3
2
2
Ta được nghiệm của hệ là :
3 13
;0 ; 2
3 13
; 4 ; 2
3 13
;0 ; 2
3 13
; 4 ; 2
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 3Câu 4
, Tìm hệ số của x4trong khai triển sau:
3 5
3
1 n
nx x
biết n là số nguyên thoả mãn
hệ thức 2C n1C n2 n2 20
Từ hệ thức 2C1nC n2 n2 20 Đk n2,n Z n2 3n 40 0 n 8 n5
Ta được n= 8 thoả mãn
Ta có :
8
0
k k
k
Khai triển chứa x4m
40 14
3
k
k
Vậy hệ số của x4 là C82.26 1792
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
Câu 5
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu :
cos sin
sin sin
B cosC A
Từ
2
sin
2
A
A
 là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A
b,
sin A sin B sin C M
cos A cos B cos C
M
cos A cos B cos C
1
1
1
M
M
2
0
2
cos A B
Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 4(C1) có tâm O(0;0),bán kính R 1 13
(C2) có tâm I(6;0),bán kính R 2 5.
Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Với A có tung độ dương nên A(2;3)
0,25 1,0
Với A có tung độ dương nên A(2;3)
Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0
Gọi d1 d O d d( , ); 2 d I d( , )
Yêu cầu bài toán trở thành:R22 d22 R12 d12 d22 d12 12
2
0 (4 3 ) (2 3 )
3
b
b ab
0,25
0,25 0,25
*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0
*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0
0,25
a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên
SA vuông góc với AB và AD Vậy các tam
giác SAB và SAD vuông tại A
Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB
Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC
Vởy tam giác SBC vuông tại C
Tương tự tam giác SDC vuông tại D
b, Ta có BM =x nên CM = a- x
(vì có AKD DCMˆ ˆ 90 ,0 DAK CDMˆ ˆ )
=
2
2 2 2 2
a
x ax a Tam giác SAK vuông tại A nên
SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất K O x 0 SK nhỏ nhất
6 2
a
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
-Hết -Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
A
D
M
K S
Trang 5- Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác