ĐỀ THI SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGMÔN: TOÁN 9 Thời gian:120 phút không kể thời gian phát đề.
Trang 1ĐỀ THI SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN 9 Thời gian:120 phút ( không kể thời gian phát đề).
Năm học: 2010-2011.
Bài 1: ( 3 điểm)
a) Chứng minh rằng: 42n+2- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên b) Tính 98.28 –(184 -1) (184 +1).
Bài 2: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, biết :
2
4 3 1
x C x
Bài 3: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức A, biết
A = 6 4 2 3 1 3 3
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE Gọi H, K là hình chiếu của
B, C trên đường thẳng DE, Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q Chứng minh rằng:
SBEC + S BDC = S BHKC.
Bài 5:( 1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, độ dài cạnh BC = a , AC = b, AB = c Chứng minh rằng:
a/ sina A sinb B sinc C
b/ S ABC = 12bc.sina
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (3 đ)
a) + với n = 0 ta có: 42.0+2 -1 =15 chia hết cho 15
+ Giả sử(*) đúng với n = k (k thuộc N) nghĩa là :
42k+2 – 1chia hết cho 15
Ta phải chứng minh(*) đúng với n = k+1, nghĩa là
42k+2 – 1chia hết cho 15 Ta có:42(k+1) +2 -1 = 42(42k+2-1) + 15
Mà 42(42k+2-1) + 15 chia hết cho 15 Vậy 42(k+1) +2 -1 chia hết cho 15
Vậy: 42n+2- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên
b) Ta có 98.28 –(184 -1) (184 +1) = 188 –(188 -1) = 1
Bài 2:(2điểm)Ta có:
2
2
x+2 = -1+ 1
1
C
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là -1 khi x + 2 = 0↔ x = -2
Bài 3 : (2điểm)
A= 6 4 2 3 1 3 3 6 3 1 1 3 3 3 3 1 1 3 3 2
Bài 4 (1,5 điểm)
Gọi I là trung điểm của ED
Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC
Ta có: I I’ là đường trung bình của
hình thang EE’D’D nên: EE’+ DD’=2 I I’
Vậy:SBEC + SBDC = 1
2 EE’.BC +
1
= 1
2 BC(EE’+ DD’) = BC I I’(1)
Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q
Ta có: BC I I’ = SBPQC Mặt khác ∆PIH = ∆QIK(c-g-c)
Suy ra: SPIH = SQIK Do đó: SBPQC = SBHKC.Từ (1),(2),(3)
suy ra: SBEC + SBDC = SBHKC
Bài 5:(1,5 điểm)
a/ Dựng đường cao AH, ta có:
sinB = AH/AB; sinC = AH/AC
→ sinB/sinC=AH/AB:AH/AC = b/c
→ b/sinB = c/sinC (1)
Chứng minh tương tự ta có: a/sinA = b/sinB(2)
Từ (1),(2) suy ra: a/sinA = b/sinB = c/sinC
b/ Kẻ CH vuông góc AB, ta có:
CH = AC.sinA
Mà SABC = 1
1
Hay SABC = 1
2b.c.sinA
c
H
A
a
b c
H A
P
I'
I
D' E'
K
H
D E A
Q
