Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến với cạnh này.. Trong hình vẽ: 4 ABC cân tại A có AH là đường trung trực của BC thì.[r]
Trang 1PHẦN I: ĐẠI SỐ
BÀI 1 Trong đợt khám sức khỏe đầu năm cho học sinh, số cân nặng (tính tròn đến kg) của một số học sinh lớp 79 được ghi lại trong bảng sau:
41 39 44 42 48 41 42 38 39 41
37 41 39 35 42 38 37 41 38 44
42 38 41 46 39 38 41 37 42 35
39 41 38 39 41 41 39 44 38 42
Dấu hiệu ở đây là gì? Lập bảng tần số
a)
Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu
b)
- LỜI GIẢI
Dấu hiệu là “số cân nặng của một số học sinh lớp 79”
Bảng tần số:
Giá trị (x) 35 37 38 39 41 42 44 46 48
Cân nặng trung bình:
X = 35 · 2 + 37 · 3 + 38 · 7 + 39 · 7 + 41 · 10 + 42 · 6 + 44 · 3 + 46 · 1 + 48 · 1
a)
Mốt của dấu hiệu là 41
b)
BÀI 2 Cho đơn thức M = 1
3(−6x
2y2)2·Å 1
2x
3y
ã Thu gọn M ;
a)
Tính giá trị của biểu thức M tại x = 1; y = −1
b)
- LỜI GIẢI
Ta có M = 1
3(−6x
2y2)2·Å 1
2x
3y
ã
= 6x7y5 a)
Tại x = 1; y = −1 thì ta được M = 6 · 17· (−1)5 = −6
b)
| 1
Trang 2BÀI 3
Thu gọn, tìm hệ số, phần biến và bậc của đơn thức sau:
P (x) =
Å
−1
2axy
3
ã4
· (−3a2x2)3 (a là hằng số khác 0) a)
Trong mảnh đất hình chữ nhật có độ dài các cạnh là x (cm) và y (cm), người ta đào một cái giếng hình tròn có bán kính là r (cm) Tính diện tích S còn lại của mảnh đất theo x, y và r Diện tích S có phải là một đa thức không? (Biết hình tròn có bán kính R thì diện tích của nó
S = πR2)
b)
- LỜI GIẢI
P (x) =
Å
−1
2axy
3
ã4
· (−3a2x2)3 = 1
16a
4x4y12· (−27)a6x6 = −27
16a
10x10y12
Do đó hệ số của P (x) là −27
16a
10, phần biến là x10y12, bậc của đơn thức là 22
a)
Diện tích miếng đất hình chữ nhật là: xy
Diện tích của giếng là: S1 = πr2
Do đó diện tích còn lại của mảnh đất là S = xy − πr2
Diện tích S là một đa thức theo biến x, y và r
b)
BÀI 4 Cho hai đa thức: H(x) = 2,5x4+ 2x2− x − 4 và G(x) = −5x4− 2x2+ 2x + 4
Tính T (x) = H(x) + 1
2G(x), rồi tìm nghiệm của T (x).
a)
Tìm đa thức M (x) sao cho H(x) − M (x) = G(x)
b)
- LỜI GIẢI
T (x) = H(x) + 1
2G(x)
= 2,5x4+ 2x2− x − 4 + 1
2(−5x
4− 2x2+ 2x + 4)
= 2,5x4+ 2x2− x − 4 − 2,5x4− x2+ x + 2
= x2− 2
Ta có T (x) = 0 ⇔ x2− 2 = 0 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ±√
2
a)
H(x) − M (x) = G(x)
M (x) = H(x) − G(x)
= 2,5x4+ 2x2 − x − 4 − (−5x4− 2x2+ 2x + 4)
= 2,5x4+ 2x2 − x − 4 + 5x4 + 2x2− 2x − 4
= 7,5x4+ 4x2 − 3x − 8
b)
Trang 3BÀI 5 Cho hai đa thức sau P (x) = 5x3− 44
5x
2+ 2x − 1 và Q(x) = 5x3− 4
5x
2− 2x − 8
Tính A(x) = P (x) + Q(x) và B(x) = P (x) − Q(x)
a)
Tính giá trị của A(x) tại x = −1
233 20 b)
Tìm nghiệm của đa thức M (x) = A(x) − 10x3− 2
5x
2 + 18 ĐS: x = ±… 3
2 c)
Tìm giá trị lớn nhất của đa thức M (x) ĐS: min M (x) = 9 khi x = 0 d)
- LỜI GIẢI
A(x) = (5 + 5)x3+
Å
−44
5 −4 5
ã
x2+ (2 − 2)x − 1 − 8 = 10x3− 28
5 x
2− 9
B(x) = (5 − 5)x3+
Å
−44
5 +
4 5
ã
x2+ (2 + 2)x − 1 + 8 = −4x2+ 4x + 7
a)
Tại x = −1
2 thì A
Å
−1 2
ã
= 10
Å
−1 2
ã3
− 28 5
Å
−1 2
ã2
− 9 = −233
20 . b)
Ta có M (x) = (10 − 10)x3+
Å
−28
5 − 2 5
ã
x2− 9 + 18 = −6x2+ 9
Nghiệm của M (x) là −6x2+ 9 = 0 ⇔ x2 = 3
2 ⇔ x = ±… 3
2. c)
Ta có −x2 ≤ 0 ⇔ −6x2+ 9 = M (x) ≤ 9 ⇒ min M (x) = 9 khi x = 0
d)
BÀI 6 Cho đa thức f (x) = ax2+ bx + c Biết f (0) = 2017, f (1) = 2018, f (−1) = 2019 Tính f (2)
ĐS: f (2) = 2022
- LỜI GIẢI
Ta có f (0) = a · 02+ b · 0 + c = c = 2017 Ta cũng có ®f (1) = a + b + c = 2018
f (−1) = a − b + c = 2019.
⇔®a + b = 1
a − b = 2 ⇔
a = 3 2
b = −1 2
⇒ f (x) = 3
2x
2− 1
2x + 2017 Với x = 2 thì f (2) =
3
2(2)
2− 1
2(2) + 2017 = 2022. BÀI 7 Cho hai đa thức sau
f (x) = 2x −1
3x
2+ 5 − x4+ 3x3 và g(x) = 3x3 − 2x + x4− 2
3x
2− 10
1 Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của x;
2 Tính f (x) + g(x); tính f (x) − g(x);
3 Trong các số 1; −1 số nào là nghiệm của đa thức f (x) + g(x)
- LỜI GIẢI
| 3
Trang 41 Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của x ta được
f (x) = −x4+ 3x3− 1
3x
2+ 2x + 5
g(x) = x4+ 3x3− 2
3x
2− 2x − 10
2 f (x) + g(x) = 6x3− x2− 5
f (x) − g(x) = −2x4+ 1
3x
2+ 4x + 15
3 Thay lần lượt x = 1, x = −1 vào biểu thức f (x) + g(x) ta được
f (1) + g(1) = 0 và f (−1) + g(−1) = −12 6= 0
Do đó x = 1 là nghiệm của biểu thức f (x) + g(x)
BÀI 8 Bạn An có 400 000 đồng tiền tiết kiệm Bạn An tính sẽ dùng số 5
8 số tiền để ủng hộ các bạn học sinh nghèo, bạn giữ lại cho mình 70 000 đồng để ăn quà Số tiền bạn An dùng để mua một số tập, một cuốn tập có giá là 8000 đồng một cuốn Hỏi bạn An đã mua được bao nhiêu cuốn tập?
- LỜI GIẢI
Số tiền bạn An dùng để ủng hộ các bạn học sinh nghèo là 400 000 · 5
8 = 250 000 (đồng).
Sau khi ủng hộ thì số tiền bạn An còn là 400 000 − 250 000 = 150 000 (đồng)
Vì bạn An giữ lại 70 000 đồng để ăn quà nên số tiền bạn An dùng để mua cuốn tập là
150 000 − 70 000 = 80 000 (đồng)
Vậy với số tiền còn lại bạn An mua được 80 000
8000 = 10 (cuốn tập).
Trang 5
A TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC
1 LÝ THUYẾT
Định lí 1 Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời
là đường trung tuyến với cạnh này
Trong hình vẽ: 4ABC cân tại A có AH là đường trung trực của BC thì
AH đồng thời là trung tuyến
A
Định lí 2 Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua
một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó
Trong hình vẽ: điểm O là giao điểm các đường trung trực của
4ABC Ta có: OA = OB = OC
A
O
Hệ quả 1 Nếu một tam giác có một đường vừa là đường trung trực, vừa là đường trung tuyến (hoặc đường phân giác) thì tam giác đó là tam giác cân
2 BÀI TẬP
BÀI 1 Cho 4ABC cân tại A, đường trung tuyến AM Đường trung trực của AC cắt đường thẳng
AM tại D Chứng minh rằng DA = DB
- LỜI GIẢI
Ta có D nằm trên đường trung trực của AC nên DA = DC (1)
Mà ta 4ABC cân ở A, trung tuyến AM chính là đường cao, do đó là đường
trung trực của BC Do đó DB = DC (2)
Từ (1), (2) suy ra DA = DB
A
K D
BÀI 2 Cho 4ABC có bA = 60◦ Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở E và F Tính ’EAF
- LỜI GIẢI
| 5
Trang 6Trước hết, do E nằm trên đường trung trực của AB nên 4EAB
cân ở E ⇒ ’BAE = ’ABE
Tương tự, ta có 4F AC cân ở F ⇒ ’F AC = ’F CA
Ta có ’BCA = ’F CA = ’F AB + ’BAC
⇒ ’F AB = ’BCA − ’BAC
Khi đó ’EAF = ’BAE + ’F AB = ’ABC + ’BCA − ’BAC
⇒ ’EAF = 180◦− 2 ’BAC = 180◦ − 120◦ = 60◦
A
K
F
I
BÀI 3 Cho 4ABC đều Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy ba điểm M , N , P sao cho AM =
BN = CP Chứng minh tam giác M N P đều
- LỜI GIẢI
Ta có 4ABC đều nên AB = BC = AC
Do AM = BN = CP ⇒ M B = N C = P A
Xét 4AM P và 4BN M có
’
M AP = ÷N BM
AM = BN
AP = BM
⇒ 4AM P = 4BN M , suy ra M P = M N (1)
Tương tự ta có 4AM P = 4CP N , suy ra M P = P N (2)
Từ (1), (2) ta được M N = N P = P M , do đó 4M N P đều
A
P M
BÀI 4 Cho tam giác ABC, hai đường cao BD và CE Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh M thuộc trung trực của DE
- LỜI GIẢI
Ta có EM là đường trung tuyến trong 4EBC vuông ở E, do đó
EM = 1
Tương tự ta có ED là đường trung tuyến trong 4DBC vuông ở D,
do đó DM = 1
Từ (1), (2) suy ra M E = M D, do đó M nằm trên đường trung trực
của ED
A
D E
BÀI 5 Xác định dạng của 4ABC, biết giao điểm O của ba đường trung trực, trọng tâm G và điểm A thẳng hàng
- LỜI GIẢI
Từ giả thiết, ta suy ra giao điểm của ba đường trung trực thuộc AG nên
AG là đường trung trực của BC, suy ra 4ABC cân tại A
B
C
A
M G O I
Trang 7điểm của ba đường phân giác Chứng minh rằng BC là đường trung trực của OI.
- LỜI GIẢI
Ta có BC ⊥ OI, bA = 180◦−(“B + bC) = 180◦−(36◦+36◦) =
108◦ Gọi M là trung điểm của BC
Ta có ÷BAM = 54◦
Mặt khác ta có OA = OB ⇒ 4OAB cân tại O ⇒
’
OBA = ’OAB = 54◦ ⇒ ÷OBM = ’OBA − ÷M BA =
54◦ − 36◦ = 18◦ Xét hai tam giá M BO và M BI vuông
tại M ta có: BM chung; ÷OBM = ’M BI = 18◦, do đó
4M BO = 4M BI (cạnh góc vuông - góc nhọn), suy ra
M O = M I mà BM ⊥ IO nên BC là đường trung trực
của OI
A
M
O I
| 7