Tài liệu dạy thêm khối 11

CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁCI.. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a.. Công thức hạ bậc ... Công thức biến đổi tổng thành tích 8... CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG G

CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC

I CÔNG THỨC

1 Công thức lượng giác cơ bản

2 2

2

1

1

a









2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a Cung đối:  à

b Cung bù:  à 

c Cung phụ: à

2

c c

d Cung hơn kém  : à 

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot

3 Công thức cộng

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

1 tan tan

a b

a b









Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia 1 trừ tích tan.

4 Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cos os2 os2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan 2 2 tan2

1 tan

a

a



5 Công thức hạ bậc



6 Công thức nhân ba

3

2

3tan tan sin 3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan 3

1 3tan

a





7 Công thức biến đổi tổng thành tích

8 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

     

     

     

9 Công thức tính theo tan

2

2





11 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung 0 00  300

6



 

 

 

0

45 4



 

 

 

0

60 3



 

 

 

0

90 2



 

 

 

120

3



 

 

 

135

4



 

 

 

150

6



 

 

  180 0 

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

1 3

1 3

Chú ý:

 sin

2

n

  với  0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 900 0 0 0 0 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4.

 Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: a00

180







11 Đường tròn lượng giác

7π 4

5π 4

3π 4

π 4

2π

3π 2

π 2

0 π

-1 -1

1

1 O

sin

cos

II CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình sin x a

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1

2



 



  





0

360 sin sin







  





sin 2









Tổng quát:        

2

2









* Các trường hợp đặc biệt

 

2

2 sin 0

















2 Phương trình cos x a

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1

 c x cos  os  x  k2k 

 c x cos  os0  x0k3600k 

 c x aos   xarcc a kos  2k 

Tổng quát: c f xos   c g xos    f x g x k2 k 

* Các trường hợp đặc biệt

os 0

2













3 Phương trình tan x a

tan t an x = + k

tan t an x = + k180

tan x = arctan + k









Tổng quát: tan f x tang x  f x g x k k 

4 Phương trình cot x a

cot cot x = + k

cot cot x = + k180

cot x = arc cot + k









Tổng quát: c f xot  c g xot    f x g x k k 

5 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: là phương trình có dạng at+b = 0 trong đó a,b là

các hằng số a  và t là một trong các hàm số lượng giác.0

Ví dụ: 2sin 1 0; os2 1 0; 3tan 1 0; 3 cot 1 0

2

Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

6 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là phương trình có dạng at2bt c  , trong đó 0

a, b, c là các hằng số a  và t là một trong các hàm số lượng giác.0

Ví dụ:

2sin2xsinx 3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x

cos 22 x3cos 2s x1 0 là phương trình bậc hai đối với cos2x

2 tan2x tanx 3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

3cot 32 x 2 3 cot 3x  là phương trình bậc hai đối với 3 0 cot 3x

Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t giải tìm t,

đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện   1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos)

7 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: là phương trình có dạng

.sin sin cos os , , 0

Phương pháp:

 Kiểm tra cosx 0có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này

 cosx 0chia cả hai vế cho cos x đưa về phương trình bậc hai theo 2 tan x

a d tan2x b tanx c d  0

8 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : là phương trình có dạng asinx b cosx c trong đó , ,

a b c   và a2b2  0

Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

 Nếu 2c 2 1

a b  : Phương trình vô nghiệm

 Nếu 2c 2 1

a b  thì đặt cos 2a 2 sin 2b 2

(hoặc sin 2a 2 cos 2b 2

Đưa phương trình về dạng: sinx  2c 2



 (hoặc cosx  2c 2



 ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý: Phương trình asinx b cosx c trong đó , ,a b c   và 2 2

0

a b  có nghiệm khi c2 a2b2

III BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau:

a sin 3 1

2

x  b os2 3

2

c x  c  0 1

tan 30

3

x  

d cot 5 1



  e sin 2 sin

4

x x 

  f cot 2 cot 5

   

g cos 2 x200 sin 60 0 x h tan cot 2

    i tan 52 1

3

x 

2 Giải các phương trình sau:

a 2sin 3 3 0

6

  b 2

cos 2x c os2x=0 c tanx1 cos x0

d 2sin2xsinx 3 0 e 4sin2x4cosx1 0 f tanx2cotx 3 0

g 2cot4x 6cot2x  h 4 0 sin4x c os4xcosx 2 i 1 cos4 sin 4x x 2 sin 22 x

j 3sin2x 2sin cosx x c os2x k 0 cos2 x sin2x 3 sin 2x l 1 2 2 1

sin 2 sin 4 2cos 2

2

3 Giải các phương trình sau:

a 3sinx4 cosx5 b 2sin 2x 2cos 2x 2 c 3 cosx sinx 2

sin 2 sin

2

x x e cos 2x9 cosx 5 0 f cos 7x sin 5x 3 (cos 5x sin 7x)