I. Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn được biểu diễn thị bởi một “ đường liền nét” trên khoảng đó.. 2). Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực.[r]
Trang 1Chương IV: GIỚI HẠN (GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC)
A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I Tóm tắt lý thuyết:
1 Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a) Giới hạn hữu hạn
lim
n →+∞ ⇔ n →+∞lim un = a(un – a) = 0
b) Giới hạn vô cực:
lim
n →+∞ ∞ un = +
lim
n →+∞ ∞ ⇔ n →+∞lim ∞ un = –(–un ) = +
lim
n →+∞ ( Chú ý: Thay vì viết: un = a;
lim
n →+∞ ± ∞ lim
❑
u n = , ta viết tắt: un = a;
lim
2 Các giới hạn đặc biệt:
1
n=0
1
n k=0 ∞ a) lim; lim; limn
k = +
( với k nguyên dương)
¿
0 ; neu :|q|<1
+∞ ; neu :q >1
¿lim q n={
¿
b)
c) limc = c ( với c là hằng số )
3 Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Nếu limun = a và limv n = b, thì:
lim(un + v n) = a + b
lim(un – v n) = a – b
lim(un v n) = a.b
limu n
v n=
a
b b ≠ 0 ( nếu )
u n ≥0 ; ∀ n ∈ N❑
lim√u n=√a b) Nếu , và limun = a, thì
4 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
lim lim ± ∞ a) Nếu un = a và vn =
Trang 2limu n
v n=0 thì
∀ limu n
v n =+ ∞ b) Nếu lim un = a > 0, lim v n = 0 và v n > 0 n thì
∞ ∞ c) Nếu limun = + và limvn = a > 0 thì lim(u n v n) = +.
5 Cấp số nhân lùi vô hạn:
|q|<1 a) Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn
b) Công thức tính tổng của CSNLVH:
S=u1+u2+ .+un+ = u1
1− q
II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a) lim(2n 2 + 3n – 1) b) lim(– n 2 – n + 3) c) lim(3n3 – n 2 + n + 5)
Bài 2 Tìm giới hạn sau:
lim3 n+2
2 n+3 lim
3 − 2n
2 n+3 lim
5 − 7 n
3 − 6 n lim
4 n2−5
2 n2+3 n lim
n2
+n+1
2n2−n lim
5 n2+3 n+1
7 n2+6 n− 3 a) b) c) d) e) f)
lim(2 n− 1)(n+2)
2 n2− 3 n+1 lim
5 n2− 3 n+1
(25 n+2)(n −1) lim
(n2
+n)(2 n −1)
n3
+3 n− 1 lim
2 n√n+1
n2
+n+3 g) h) i) j)
lim2√n3+3 n+5
7 n2+6 n+9 lim
1+√3n3+n2−1
3 n√n2−n+2
n2−n+1 lim
√n2+3 −√4 n2+1
3
√27 n3− n+3 k) l) m) n)
lim2 n2+√n3+3 n −1
3 n2−3 n+2 o)
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
lim 2
n
+3n
2 3n+5 2n lim
3 5n − 2 3 n
5n+5 3n lim
7 5n −2 7 n
5n −5 7 n lim
7 3n+2 6n
5 3n − 5 6 n
−2¿n −5 n
¿
¿
lim¿
a) b) c) d) e)
lim4 3
n
+7n +1
2 5n+7n
− 3¿n −5 n
¿
−3¿n +1+5n
+1
¿
¿
lim¿
lim 2
2
+3n − 4 n
2n+3n+1+4n+1
−3¿n +1+5n+2
¿
¿
lim¿
lim 5
n+1
+7n +1+1
3n+1+7n +1+3 2n f) g)
h) i) j)
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
lim(√n+2 −√n+1) lim(√3 n+5 −√n −1) lim(√n2+2 n −1 −n+1) a) b) c)
lim√n2+2 n −n −1
√n2+n − n lim
√n2+n − n+3
√n2+1 −n lim
n−√n2+n
√n2+1 − n lim
n− 2−√3 n2+2 n+1
√n2+2− 2 n d) e) f) g). lim(√38 n3+3 n2−1+1 −2 n) lim(√327 n3−n2−1 −2 n) lim
3
√2 −n3+n
√n2+n − n
h) i) j)
Trang 33
√2 n+3 n3−n+1
√n2−1 −n k)
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
lim( 1
1 3+
1
2 4+ +
1
n(n+2)) lim(
1
1 3+
1
3 5+ +
1 (2 n− 1)(2n+1)) a) b)
lim(1 − 1
22)(1 −
1
32) (1−
1
n2). (ĐS:
1
2) c)
Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
S=1 −1
2+
1
4−
1
8+
1
16−
1
32+ ; a)
S=√2 −1+ 1
√2−
1
2+ ; b)
S=√2+1
√2− 1+
1
2−√2+
1
2+ ; c)
Bài
7 : Tìm các giới hạn sau:
lim(n+1)(n+3)
(n+2)(n+4) ; lim
1+2+3+ .+n
n2 lim1 −2+3 − 4+ +(2 n− 1)−2 n
2 n+1 ; a) b) ; c)
lim1+a+a
2
+ +an
1+b +b2+ +bn ,(|a|<1,|b|<1); d)
Bài 8*: Tìm các giới hạn sau:
lim(√2 4√2 √82 .2√n2) limn
√a ;(a >0) limloga n
n ;(a>0) lim
loga n
n ;(a>0) a) ; b) ; c) d)
lim(12.
3
4.
5
6 .
2 n− 1
2 n ); lim(1 − 1
22)(1 − 1
32) (1 − 1
n2); e) f)
B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Giới hạn hữu hạn:
2) Giới hạn vô cực:
3) Các giới hạn đặc biệt:
):Định lí 1:
lim
x → x0
x=x0 lim
x → x0
x → ±∞ c=c a) b) c)
lim
x → ±∞
c
x=0 x →+∞lim x k =+ ∞ d) e) với k nguyên dương
Xem SGK
Trang 4+∞ ;neu k .chan
− ∞; neu k le
¿ lim
x → −∞ x k={
¿
f)
4) Định lí về giới hạn hữu hạn:
lim
x → x0
f (x )=L lim
x → x0
g (x)=M a) Nếu và , thì:
lim
x → x0
[f (x )+g (x)]=L+M ;
lim
x → x0
[f (x )− g (x)]=L− M ;
lim
x → x0
[f (x ) g(x )]=L M ;
lim
x → x0
f (x )
g(x )=
L
M ;(M ≠ 0) ;
f (x)≥0 x → xlim
0
f (x )=L L≥ 0 b) Nếu và , thì:
lim
x → x0
√f (x)=√L
x →+∞ x → −∞ ( Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi hoặc )
):Định lí 2:
x → x+0¿f (x )= lim
x→ x0−
f (x )=L
lim
x → x0
f (x )=L ⇔lim
¿
5) Quy tắc về giới hạn vô cực:
lim
x → x0
f (x )=L lim
x → x0
g (x)=± ∞ ;
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x ):
lim
x → x0
f (x ) lim
x → x0
g (x) lim
x → x0
f (x ) g (x)
L > 0
f (x)
g (x) b) Quy tắc tìm giới hạn của thương :
lim
x → x0
f (x ) lim
x → x0
g (x) Dấu của
f(x) x → xlim0
f (x ) g(x )
II Các dạng bài tập áp dụng:
Trang 51 : Tính giới hạn :
lim
x→ 1 x2 lim
x→ 2(x2+1) lim
x →− 1(x2+2 x +1) lim
x→ 1(x +2√x +1) lim
x→ 1
x+1
2 x − 1 a) b) c) d)
e)
Bài 2 : Tính các gới hạn sau :
2
x 3x 2
lim
x 1
2
x 2
x 3x 2 lim
x 2
2
3x 3x 6 lim
x 2
2
x 2
x x 6 lim
4x 4
x 2 2
x 1 lim
x 3x 2
a).b) c).d) e)
x → ∞ Bài 3: Tìm các giới hạn sau ( khi ):
) 5 3
2
(
lim 2
x
2 2 x
2x 5x 1 lim
3x 1
2
xlim (x x 1)
xlim (x x 1)
a) b) ; c) ; d)
lim
x →− ∞(√x2− x+3+ x ) lim
x →+∞(√x2− 5 x+6 − x) lim
x →− ∞(√x2− x+1 −√x2+x+1) e) f) ; g)
lim
x →+∞(√3x3
+x2− x ) lim
x →− ∞(√3x3
+x2−√x2
+1); lim
x →− ∞
√2 x2−7 x +12
3|x|−17 ; h) ; i) j)
lim
x →+∞(x +2)√x x − 13+x ; x →− ∞lim
|x|+√x2+x
x +10 x →+∞lim
(√1+x −√x). k) l) ; m)
Bài 4: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số,tìm các giới hạn sau:
x 1lim x 1
x 5lim 5 x 2x
x 3
1 lim
x 3
1 lim
x 3
1 lim
x 3
a) ;b).; c) ; d) e)
x 2
x 2
lim
x 2
x 2
x 2 lim
x 2
x 0
x 2 x lim
2
x 2
4 x lim
2 x
2
x ( 1)
x 3x 2 lim
x x
f) ; g) ; h) i) ; j) ;
2
2
x 3
x 7x 12
lim
9 x
x lim (x 2)
x 4
2 2
x ( 3)
2x 5x 3 lim
(x 3)
2 2
x ( 3)
2x 5x 3 lim
(x 3)
k) l) ; m) ; n)
2
2
x 0
lim
x
x 1
1 x lim x
2 1 x 1 x
3 x lim
27 x
3 2
x 2
x 8 lim
x 2x
o) ; p) ; q) ; r)
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
x 1
x 3 2
lim
x 1
2 x 3 lim
x 49
x 3 lim
3 6x x
x 2 2 lim
x 7 3
a) b) c) d)
2
x 3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3
3 x 2 lim
x 2x 35
x 2 2
3x 2 2 lim
x 7x 18
e) f) g)
2
2 x 1 neu x 2
f (x)
2x 1 neu x 2
Bài 6 : a) Cho hàm số:
x ( 2)lim f (x)
x ( 2)lim f (x)
xlim f (x)2
Tìm ; và (nếu có)
2
x 2x 3 neu x 2
f (x)
4x 3 neu x 2
Trang 6x 2lim f (x)
x 2lim f (x)
lim f (x)x 2
Tìm ; ; ( nếu có )
C HÀM SỐ LIÊN TỤC
I Tóm tắt lý thuyết:
1) Hàm số liên tục:
y=f (x) x0∈ K Cho hàm số xác định trên khoảng K và
y=f (x) x0⇔ lim
x → x0
f (x)=f (x0) liên tục tại
y=f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
y=f (x) x → a
+ ¿f (x)=f (a)
lim
¿
lim
x → b − f (x)=f (b) liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và: ;
) Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một đoạn được biểu diễn thị bởi một “ đường liền nét”
trên khoảng đó
2) Các định lí:
) Định lí 1:
a Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực.
b Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
) Định lí 2:
y=f (x) y=g(x ) Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm x0 khi đó:
x y
a
Trang 7f (x)+g(x ) f (x)− g(x ) f (x) g(x ) a) Các hàm số ; và cũng liên tục tại x0.
f (x)
g (x) g(x0)≠ 0 b) Hàm số liên tục tại điểm x0 nếu
y=f (x) f (a) f (b)<0 c ∈(a ;b) f (c)=0 ) Định lí 3: Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a;b]
và thì tồn tại ít nhất một sao cho
f (a) f (b)<0 f (x)=0 Suy ra: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b)
II Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm ( đoạn ) cho trước.
2
x 1 khi x 0
f (x) 1
khi x 1 2
2
x 1 khi x 1
f (x)
x 1 khi x 1
a) tại điểm x = –1 b) tại điểm x = 1
2
x 3x 2
khi x 2
f (x) x 2
3
x 1
khi x 1
f (x) x 1
2 khi x 1
c) tại điểm x = 2 d) tại điểm x = 1
2
x 4
khi x 2
f (x) x 2
4 khi x 2
2
x 4 khi x 2
f (x)
2x 1 khi x 2
e) tại điểm x = –2 f) tại điểm x = 2
2
x khi x 0
f (x)
1 x khi x 0
2 3
4 3x khi x 2
f (x)
x khi x 2
g) tại điểm x = 0 h) tại điểm x = –1
2
x 5x 6
khi x 3
i).tại điểm x = 3
Bài 2: Chứng minh rằng:
2
f (x) 1 x a) Hàm số liên tục trên đoạn [-1;1]
f (x) x 1 ¿ b) Hàm số liên tục trên nữa khoảng
2
1
f (x)
1 x
c) Hàm số liên tục trên khoảng (-1;1)
2
f (x) 8 2x [− 2;2] d) Hàm số liên tục trên nữa khoảng
f (x) 2x 1 ¿ e) Hàm số liên tục trên nữa khoảng
2 2
(x 1) khi x 0
f (x)
x 2 khi x 0
f) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0
Trang 8Bài 3: Tìm số thực a sao cho hàm số:
2
f (x)
2ax 3 khi x 0
2 2
a x khi x 2
f (x)
(1 a)x khi x 2
2
x
x a khi x 0
f (x)
2 khi x 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình:
2
x cos x x sin x 1 0 (0; ) a) có ít nhất một nghiệm trên khoảng
3
x x 1 0 b) có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1