Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB AC, lần lượt tại D và E.. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm A bán kính AC với đường thẳng BD.. Chứng minh AD là
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2019 - 2020
Ngày thi: 02 tháng 6 năm 2019
Môn thi: TOÁN ( chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Câu 1: (1,0 điểm)
Giải phương trình
4 2 20 0
x + −x =
Câu 2: (1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức
( 2 2 2) ( )1
2
T
=
− −
với a>0,a≠4
Câu 3: (1,0 điểm)
Cho hình thang cân ABCD AB CD( / / )
có CD=2AD=2AB=8
Tính diện tích của hình thang cân đó
Câu 4: (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai phương trình
2 6 2 0
x + ax+ b=
và
2 4 3 0
x + bx+ a=
với a b,
là các số thực Chứng minh nếu 3a+2b≥2
thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
Câu 6: (1,0 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd
sao cho abcd k k= 2( ∈¥*)
và ab cd− =1
(các chữ số tự nhiên a b c d, , ,
có thể giống nhau)
Câu 7: (1,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có
BAC= o
và AB AC<
Đường tròn tâm I
nội tiếp tam giác
ABC
tiếp xúc với AB AC,
lần lượt tại D
và E
Kéo dài BI CI,
lần lượt cắt DE
tại F
và G, gọi M
là trung điểm BC Chứng minh tam giác MFG đều
Câu 8: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A
nội tiếp đường tròn ( )O
có tâm O a)(1,0 điểm) Trên cung nhỏ »AB
của đường tròn ( )O
lấy điểm D
(khác A B,
) Gọi K
là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm A
bán kính AC với đường thẳng BD
Chứng minh AD
là đường trung trực của CK
Trang 2b)(1,0 điểm) Lấy P
là điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác O C,
) Gọi E F,
lần lượt là hình chiếu vuông góc của P
trên AB
và AC Gọi Q
là điểm đối xứng của P
qua đường thẳng EF
Chứng minh
Q
thuộc đường tròn ( )O
Câu 9: (1,0 điểm)
x y z+ + + xyz≥ x y z xy yz zx+ + + +
với x y z, , là các số thực không âm Đẳng thức xảy ra khi nào?
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2019 - 2020
HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Bản hướng dẫn này có 04 trang)
A Hướng dẫn chung
1 Nếu thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản như trong hướng dẫn chấm thi vẫn cho điểm đúng như hướng dẫn chấm qui định
2 Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm, thống nhất trong toàn tổ và được lãnh đạo Hội đồng chấm thi phê duyệt
3 Sau khi cộng điểm toàn bài được làm tròn đến 0,25 điểm
B Đáp án và thang điểm
1
Giải phương trình
4 2 20 0
Đặt
2, 0
t x t= ≥
, phương trình đã cho trở thành t2+ −t 20 0 1= ( ) 0,25
2 4 81
b ac
Phương trình ( )1
có hai nghiệm phân biệt t=4
(nhận); t= −5
(loại) 0,25 Với t=4
tìm được x= ±2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 2
2
Rút gọn biểu thức
( 2 2 2) ( )1
2
T
=
− −
với a>0,a≠4
1,0 điểm
( 2a−2 2) (a− =1) 2( a−2) (a−1) 0,25
Trang 3( )( )( )
2 a 2 a 1 a 1
Vậy T= 2( a−1)
3
Cho hình thang cân ABCD AB CD( / / )
có CD=2AD=2AB=8
Tính diện tích của hình thang cân đó
1,0 điểm
Gọi H K,
lần lượt là chân đường cao kẻ từ A
và B
xuống CD
.
ABCD
S
là diện tích hình thang ABCD
.
Ta có
ADH = BCK
do
AHD BKC= = o ADH BCK=
và AD BC=
Mặt khác ABKH
là hình chữ nhật nên AB HK=
suy ra 2
2
CD HK
Do đó
2 2 2 3
Vậy
2
ABCD
AH AB CD
4
Giải hệ phương trình
( ) ( )
2
1,0 điểm
Lấy ( ) ( )1 + 2
ta được ( )2
0
Thay x= −y
vào ( )1
ta được
2 42 0
x + −x =
Giải phương trình trên ta được x= −7;x=6 0,5 Với x= −7
ta có y=7
; Với x=6
ta có y= −6
Trang 4
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (−7;7)
và (6; 6− )
5
Cho hai phương trình
2 6 2 0
x + ax+ b=
và
2 4 3 0
x + bx+ a=
với a b,
là các số thực Chứng minh nếu 3a+2b≥2
thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
1,0 điểm
1′ 9a 2 ,b 2′ 4b 3a
1′ ′2 3 1a 2b 1 3a 2b 2
Do 3a+2b≥2
nên 1 2
0
′ ′
Suy ra có ít nhất một trong hai giá trị 1 2
,
′ ′
∆ ∆
không âm hay ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
0,25
6
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd
sao cho abcd k k= 2( ∈¥*)
và ab cd− =1
(các chữ số tự nhiên a b c d, , ,
có thể giống nhau)
1,0 điểm
abcd k k= ∈¥ ⇒k = ab cd+ = +cd +cd 0,25
2 100 101 101 2 100 101 10 10
Do k<100
(vì
2
k
chỉ có 4 chữ số)⇒ − <k 10 101
và do 101
là số nguyên
Suy ra
2
91 8281
abcd= =
7
Cho tam giác nhọn ABC có
BAC= o
và AB AC<
Đường tròn tâm I
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB AC,
lần lượt tại D
và E
Kéo dài ,
BI CI
lần lượt cắt DE
tại F
và G, gọi M
là trung điểm BC Chứng minh tam giác MFG đều
1,0 điểm
Trang 5Ta có tứ giác CIEF nội tiếp vì
CEF=AED= o
( VADE
đều) và
· 1(· · ) 60
2
CIF = ABC ACB+ = o
Suy ra
IFC IEC= = o
nên FM MB MC= = ( )1
0,25
Mặt khác tứ giác BDGI nội tiếp vì
·ADE=60o
(VADE
đều) và
BIG CIF= = o
Suy ra
IGB IDB= = o
nên GM MB MC= = ( )2
0,25
Lại có
GMF= o−CMF BMG− = o−ABC ACB− = o
( )3 0,25
Từ ( ) ( )1 , 2
và ( )3
suy ra MF MG=
và
GMF = o
nên VMFG đều 0,25
8
Cho tam giác ABC
vuông tại A
nội tiếp đường tròn ( )O
a)Trên cung nhỏ »AB
của đường tròn ( )O
lấy điểm D
(khác A B,
) Gọi K
là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm A
bán kính AC với đường thẳng
BD
Chứng minh AD
là đường trung trực của CK
1,0 điểm
Trang 6· 1· 45 1( )
2
BKC= BAC= o
0,25
· 90 · 90 2( )
BDC= o⇒KDC= o
Từ ( ) ( )1 , 2
suy ra VKDC vuông cân tại D
Ta lại có AC AK=
do đó AD
là trung trực của CK 0,25 b) Lấy P
là điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác O C,
) Gọi E F,
lần lượt là hình chiếu vuông góc của P
trên AB
và AC Gọi Q
là điểm đối xứng của
P
qua đường thẳng EF
Chứng minh Q
thuộc đường tròn ( )O
1,0 điểm
Gọi I
là giao điểm của AP EF,
Ta có IP IQ IA= =
nên VAQP
vuông tại ( )1
Ta có FP FQ=
và VPFCvuông cân tại F
nên F
là tâm đường tròn ngoại
Do đó
· 1· 1.90 45 2( )
PQC= PFC= o= o
Từ ( ) ( )1 , 2
suy ra
AQC AQP PQC= + = o
0,25
Suy ra
· · 135 45 180
AQC ABC+ = o+ o= o
Vậy tứ giác ABCQ
nội tiếp, nên Q
thuộc đường tròn ( )O
0,25
9
Chứng minh ( )3 ( ) ( ) ( )
x y z+ + + xyz≥ x y z xy yz zx+ + + +
với x y z, ,
là các số thực không âm Đẳng thức xảy ra khi nào?
1,0 điểm
( )* ⇔ x3+ + +y3 z3 3xyz x y x z y x y z z x z y− 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 ≥0
0,25
Trang 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 **
x x y x z y y x y z z z x z y
Không mất tính tổng quát, giả sử x y z≥ ≥ ≥0
Khi đó ( )** ⇔z z x z y( − ) ( − + −) (x y x x z) ( − −) (y y z− )≥0
( hiển nhiên đúng)
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z= =
hoặc hai trong 3 số bằng nhau, số còn lại là 0
0,25