Moät soá saùch tham khaûo thöôøng giaûi caùc baøi toaùn daïng naøy baèng caùch söû duïng ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai.. Ñònh lyù naøy hieän nay ñaõ khoâng coøn ñöôïc [r]
Trang 1GV: Nguyễn Văn Khánh - 1 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ
§1 SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
KHÁI NIỆM:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K; Khi đó:
f(x) đồng biến trên K, ∀x1,x2 ∈K : x1 <x2 ⇔ f(x1)<f(x2)
f(x) nghịch biến trên K,∀x1,x2 ∈K : x1 <x2 ⇔ f(x1)>f(x2)
ĐỊNH LÍ: Mối liên hệ giữa tính chất đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm:
f'’(x) 0,∀x∈K thì f(x) đồng biến trên K
f'’(x) 00,∀x∈K thì f(x) nghịch biến trên K
(Dấu “ =” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm)
PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA CÁC HÀM SỐ:
1.Tìm TXĐ Tính f ’(x)
2 Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f ’(x) không xác định
3 Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số (theo ĐL trên)
CHÚ Ý: Khi xét dấu f’(x) ta thường gặp áp dung dấu của nhị thức bậc nhất
(ax+b , a 0) hoặc dấu của tam thức bậc hai (ax 2 +bx+c,a 0)
ˆ Dấu của nhị thức bậc nhất
ax+b ( a 0)
ˆ Dấu của tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c(a 0)
= b2-4ac , ’ = b’2-ac
1/ < 0 (hoặc ’ < 0 ) f(x) luôn cùng dấu với a , x R
2/ = 0 f(x) luôn cùng dấu với a
2
b x a
3/ > 0 f(x) có 2 N0 x1,x2 ( Gs x1< x2)
“ Trong trái,ngoài cùng”
VÍ DU 1Ï: Xét sự đồng biến , nghịch biến của các hàm số : y=
x3 -3x2 +8x-2
Giải: TXĐ : D = , y’=x2 -6x2 +8 , y’=0 2
4
x x
Bảng biến thiên
x – 2 4 +
y’ + 0 – 0 +
y 1 4
3
1 0
3 +∞
x - b
a
+
ax+b trái dấu 0 cùng dấu
a a
x - x1 x2 +
f(x) cùng dấu 0 trái dấu 0 cùng dấu
a a a
Trang 2GV: Nguyễn Văn Khánh - 2 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ
+
_
_ 0 1
0 0
1 0
1 _
y
y'
+∞
∞ x
-∞
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 2) và (4; + ) , nghịch biến trên khoảng (2;4)
VÍ DU 2Ï: Xét chiều biến thiên của hàm số 2
1
y x
Giải: Ta có TXĐ 1;1,
2
' 1
x y
x
với mọi x 1;1 Do đó với mọi x 1;1, 'y trái dấu
với x Ta có bảng biến thiên của hàm số
Kết luận : hàm số đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1
VÍ DU 3Ï: Tìm m để hàm số 1 3 2
3
y x x m x m nghịch biến trên
Giải TXĐ : D = Ta có 2
y x x m 'y là tam thức bậc hai ( hệ số của 2
x là 1 0) có ' 2m5
Do đó hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi ' 0 2m 5 0 5
2
m
Chú ý: Đối với hàm bậc 3, y’ là tam thức bậc hai.Khi đó:
Hàm số y ĐB trên ' 0,y x R
0
0
a
ˆ Hàm số y NB trên ' 0,y x R
0
0
a
LUYỆN TẬP DẠNG CƠ BẢN
Lời khuyên: Khi chúng ta muốn luyện tập giải các dạng luyện thi thì cần có kỉ năng giải
thành thạo các dạng cơ bản, thường gặp ở mức độ từ dễ đến khó
Bài 1: Xét sự đồng biến , nghịch biến của các hàm số :
y x x x ĐS: Hàm số nghịch biến trên
5 2
y x x ĐS: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;1, đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1;
2 16 31 3
y x x x ĐS: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 4 và 2; , đồng biến trên 4; 2
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số :
Trang 3GV: Nguyễn Văn Khánh - 3 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ
a) 2
1
x y
x
ĐS: Hàm số nghịch biến trên ; 1 và 1;
2 1
x y
x ĐS: Hàm số đồng biến trên ;1
2
và 1;
2
1
y x ĐS:hàm số đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1
d)
2
y
x
ĐS: NB trên các khoảng ; 0 và 4; , ĐB trên các khoảng 0; 2 và
2; 4
e) y 1x 1x ĐS: Hàm số đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1
Bài 3:
a) Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên : f x ³ 6 ² 17x x x4
b) Chứng minh rằng hàm số 3
2 1
x y
x
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
c) (4/ 10 –SGK 11CB) Chứng minh rằng hàm số y= 2x-x2đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (1 ; 2)
Bài 4:
a) Tìm m để hàm số : 3 2 2
yx m x m x đồng biến trên .ĐS: m 3 hoặc m 2
b) Tìm m để hàm số : 2 3
2
mx y
nghịch biến trên từng khoảng xác định ĐS: 3m 3
c) Tìm m để hàm số : 3 2
y m x m x xnghịch biến trên .ĐS: 2 m1 LUYỆN TẬP DẠNG LUYÊN THI
Bài 1: Xét sự đồng biến , nghịch biến của hàm số : 2
y x x
ĐS: Hàm đã cho đồng biến trên 1; 2
5
, nghịch biến trên 2 ;1
5
HD: Để xét dấu y’ áp dụng BPT:
2
( ) 0
( ) g( )
g x
f x g x
f x x
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số 2
8
y x x nghịch biến trên
HD: Để chứng minh y’ 0 , x ,ta áp dung BPT
2
( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
( ) 0 ( ) ( )
g x
f x
g x
Bài 3: Xét sự đồng biến , nghịch biến của các hàm số :
a) y = x –sinx , x [0;2 ] ĐS: h/s đồng biến trên đoạn [0;2]
b) y = x +2cosx , ;5
6 6
x
ĐS: h/s nghịch biến trên ;5
6 6
Bài 4: Tìm m để hàm số 1 3 2
3
y x m x m x đồng biến trên0;3
HD: Hàm số đồng biến trên 0;3 khi và chỉ khi y 0, x 0;3
2
ĐS: 12
7
m
Trang 4GV: Nguyễn Văn Khánh - 4 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ
Bài 5: [ĐH.K.A -2013] Tìm m để hàm số 3 2
y x x mx nghịch biến trên khoảng 0; ĐS:m 1
Chú ý: Dạng toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên 1
khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học Một số sách tham khảo thường giải các bài toán
dạng này bằng cách sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lý này hiện nay đã không
còn được học trong chương trình THPT nữa Do đó cách giải như vậy là không hợp lệ trong kì thi
TSĐH.
Bài 6: Tìmađể hàm số 3 2
3
yx x ax a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ĐS: 9
4
a
a
x x x x x x a (với x1,x2 là N0 của y’)
Bài 7: Cho 0 < <
2
Chứng minh rằng: sin + cos > 1
HD: XÐt hµm sè : f(x) = xsinx + cosx - 1 víi x 0,
2
Bài 8: Giải phương trình: 2
4x 1 4x 1 1
HD: Xét hàm số y 4x 1 4x21 TXĐ: 1;
2
2
x
Bài 9: Giải bất phương trình sau: x9 2x4 5
HD: Xét hàm số y f x( ) x9 2x4 TXĐ: D 2; ĐS: T 0;
Bài 10: [ĐH-K.B-2007] Chứng minh với mọi giá trị dương m , phương trình sau có hai nghiệm thực phân
biệt:
2
HD: (1) 3 2 2
x
Xét hàm số 3 2
6 32
f x x x , x 2 Bảng biến thiến suy ra đpcm
Bài 11: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm 3 3
sin xcos xm.(1)
HD: (1) t33t 2m, với sin cos 2 sin
4
Xét hàm số 3
3
f t t t, t 2; 2
ĐS: 1 m1
Bài 12: [ĐH-K.D-2004] Chứng minh phương trình sau cĩ đúng 1 nghiệm x5x22x (1) 1 0
HD: Giả sử x là nghiệm của (1), ta cĩ 0
5
x x x 05 0 x 0 0 x 0 12 1 x 05 1 x 0 1
Do đĩ, để chứng minh (1) cĩ nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh (1) cĩ nghiệm duy nhất thuộc 1; Xét h/s 5 2
2 1
f x x x x , x 1 Bảng biến thiên đpcm