Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.[r]
Trang 1PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1
NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4
x 4 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020
Câu 2 : (1.5 điểm) Cho a – b = 5 và a.b = 2 Tính :
a ) A = a3 – b3
b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)
Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để:
a ) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố
b ) B= n5-n+2 là số chính phương (n N n ; 2)
Câu 4: (1 điểm)
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
3
c b
c a
b a
c b a
b)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :
x = 2
1 1
a
a a
; y = 2
1 1
b
b b
Câu 5: (1,5 điểm)
a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
Câu 6 : (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc
với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S
a) Chứng minh Δ AQR và Δ APS là các tam giác cân
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật
c) Chứng minh P là trực tâm Δ SQR
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng
Trang 2
PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 1
(1,5đ)
a )x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2- (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
0,5
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 = x4 x 2020x2 2020x 2020 0.5
=x x 1 x 2 x 1 2020 x 2x 1
= x2 x 1 x 2 x 2020 0,5
Câu 2
(1.5đ)
a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5
b)
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2
= (25 + 2.2)2 – 2.22
= 833
a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2
= [(a – b)2 + 2ab] (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a)
= [(a – b)2 + 2ab] (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a)
= (25 + 4) 5 (25 + 6) – 4.5
=4475
Vậy B = 3 833 + 2 4475 = 11449
0.25
0,5 0,25
Câu 3
(2đ)
a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài
+)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 +)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
0.5
- Vậy n = 2 thìp = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0.25 b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) 2 4 5
n +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 0.5
mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp)
và 5 n(n-1)(n+1)5 Vậy B chia 5 dư 2 0.25
Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương Vậy không có giá trị nào của n để B là số chính phương 0.25
Câu 4
(1đ)
a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a= 2 ; 2 ; 2
y x c z x b z
;
0,25
Trang 3=>A=
) (
) ( ) ( 2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
Từ đó suy ra A 2(2 2 2)
1
b)Ta có x,y > 0 và
a a a
a
Vì a> b > 0 nên 2 2
1 1
a b và
1 1
ab Vậy x < y
0,5
Câu 5
(1,5 đ) a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019
= (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019)
Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019
A = 31 + 3 2 + 3 3 + … + 3 2018 + 3 2019
3A = 3 2 + 3 3 + 3 4 + … + 3 2019 + 32020
⇒ 3A – A = 32020 - 31
⇒ A =
32020−3 2
B = 21 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2018 + 2 2019
2B = 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 2019 + 22020
⇒ 2B – B = 22020 - 21
⇒ B = 22020 – 2
Vậy S =
32020−3
2 −(2
2
b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
= y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015
= (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010
Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = 3
2
; y = 3
1
) Vậy min A = 2010 khi (x = 3
2
; y = 3
1
) Hình vẽ
0.25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 4Vẽ đúng hình, cân đối đẹp.
a) Δ ADQ = Δ ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh
t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR, nên
Δ AQR là tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có:
Δ ABP = Δ ADS
do đó AP =AS và Δ APS là tam giác cân tại A 0,5
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và
APS nên AN ¿ SP và AM ¿ RQ
Mặt khác : PAN PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN
có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật
c) Theo giả thiết: QA ¿ RS, RC ¿ SQ nên QA và RC là hai đường
cao của Δ SQR Vậy P là trực tâm của Δ SQR
d) Xét tam giác vuông cân AQR có MA là trung tuyến nên AM =
1 2 QR
⇒ MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung
trực của AC
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm
trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình
0,5 0,5
0,25đ 0,25đ 0,5đ