[r]
Trang 1BÀI 3 : HỆ THỨC VI–ÉT VÀ ỨNG DỤNG A) LÝ THUYẾT :
1) Định lý Vi–ét :
Nếu phương trình ax2bx c 0 a 0 có hai nghiệm x , x 1 2 thì :
1 2
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
Ví dụ : 4x2 16x 7 0
a 4, b 16, c 7
2
2
b 4ac
16 4.4.7
144 0
Áp dụng hệ thức Viet ta có :
1 2
1 2
b
a
c 7
P x x
a 4
2) Áp dụng của định lý Vi–ét :
a) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng :
Tìm hai số u và v biết :
u v S
u.v P
Khi đó hai số u và v là nghiệm của phương trình bậc hai :
2
x Sx P 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0
Ví dụ : Tìm hai số u và v biết u + v = 2; u.v = –15
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình :
2
x 2x 15 0
a 1, b 2, c 15
Trang 22
b 4ac
2 4.1.15
64 0
64 8
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
1
2
Vậy hai số cần tìm là u = 3 và v = –15 (hoặc v = –15 và v = 3)
B) ÁP DỤNG :
Ví dụ 1: Cho phương trình: 3x2 2x 7 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
A = x12 + x22
Giải
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình: 3x2 - 2x – 7 = 0(a = 3; b = -2; c = -7)
∆ = b2 – 4ac
= (-2)2 – 4.3.(-7)
= 86 > 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Cách khác:
Vì a c = 3.( -7)= -21< 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
* Chú ý :
Khi làm bài ta thường sử dụng các công thức sau :
Nếu a và c trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Trang 3b) Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:
1 2
1 2
2 3 7
3
b
a c
P x x
a
A = x12 + x22
= S2 − 2P
=
2
2.
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 - x - 3 = 0 có 2 nghiệm x1, x2
Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau:
a/ x12 + x22 b/
1 2
2 1
x x c/ x12x22 - x12 - x22
Giải
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:
1 2
1 2
1 2 3
2
b
a c
P x x
a
a) x12 + x22 = S2 – 2P b)
2 2
2 1 1 2
=
2
2.
=
2 2
P
=
13
4 =
13 4 3 2
=
13 6
c) x12 .x22 - x12 - x22 = 2 2 2
1 2 1 2
x x x x
= P2 – (S2 – 2P)
=
2
Trang 4C) BÀI TẬP :
1) Cho phương trình 3x2 7x 2 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau :
2) Cho phương trình 2x2 5x 2 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt đều dương
b) Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau :
3) Cho phương trình 3x2 3x 2 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức A x 12 3x x 1 2 x22
4) Cho phương trình 3x2 2x 7 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau :
1 2
5) Cho phương trình 3x2 – x – 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2
Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức: M =x12 +x
22 (TS10_2018)
6) Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2
x1− 1
x2−1
x1+1 (TS10_2019)