Bài tập hàm số lượng giác đầy đủ các dạng

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.[r]

CHUYÊN ĐỀ 7

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.

-Ta chứng minh một Bổ đề : Xác định điều kiện của a,b,c để phương trình:

asinx b cosx c (1) có nghiệm

.Điều kiện i) : a2 b2 0

.Điều kiện ii) : asinx b cosx c

sin

x

sin(x ) c





Do sin(x  ) 1 , nên :



Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm là :

a  b  c

Ta vận dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:

Bài 1-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

2 sin

y

x





Giải

-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 2 sin x 0  x R

.Khi đó : (1) y(2 sin ) cos x  x 2sin x

2 sin cos 2sin

2 sin 2sin cos

2 ( 2)sin cos (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi : (y 2)2  1 (2 )y 2

2

4 4 1 4

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

3

 

3

 

+∞

f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

3

và max

3

-Bài 2-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

y



Giải

Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 2 cos sin 2 2 cos( ) 0

4

.Khi đó : (1) y(2 cos xsin ) 2cosx  x sin x 1

Phương trình (*) có nghiệm khi : (y1)2 (y 2)2 (2y1)2

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

2

 

2

 

+∞ f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

2

và max

2

-Bài 3-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

2

2

cos sin cos

1 sin

y

x





Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 1 sin 2 x0  x R

.Khi đó :

2

2

2cos 2sin cos (1)

2 2sin

y

x





1 cos 2 sin 2

3 cos 2

3 cos 2 1 cos 2 sin 2 (1 ) cos 2 sin 2 3 1 (*)

y

x



Phương trình (*) có nghiệm khi : (1y)2  1 (3y 1)2

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

4



4

 +∞ f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

4

và max

4

-Bài 4-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

y



Giải

-Xét biểu thức : sinxcosx  2 2 2 0 , nên y xác định với mọi x R -Khi đó : (1) y(sinxcosx2) sin x2cosx1

sin sin cos 2cos 1 2 ( 1)sin ( 2) cos 1 2 (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi : (y 1)2 (y 2)2  (1 2 )y 2

-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 4 số :

(y 1), (y 2), sin ,x cosx

Ta có : (y 1)2 (y 2)2  (1 2 )y 2

2

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞ 2 1 +∞ f(y) + 0 - 0 +

Tập giá trị của y là : y  [ 2;1]

Vậy : ymin  và 2 ymax  1

-Bài 5-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

y



Giải

-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 2cosx sinx 4 0  x R ( sinx 1, cosx  1,  x)

.Khi đó : (1) y(2 cosx sinx4) cos x2sin x3

(2 1) cos ( 2)sin 3 4 (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi :

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

2

11 2 +∞

f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

2 [ ; 2]

11

y 

Hay : min

2 11

và ymax 2

-Bài 6-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

2 cos

x y





Giải

Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do sinxcosx 2 0  x R (do sinx, cosx không đồng thời bằng 1) Khi đó : (1) y(sinxcosx 2) 2 cos  x

sin ( 1) cos 2(1 ) (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi :

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

2

 

2

 

+∞ f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

2

và max

2

-Phần 2: Sử dụng bất đẳng thức vào tính toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

-Ta nhắc lại một số bất đẳng thức liên quan:

1-Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương :a b c    33 a b c

2-Bất đẳng thức Svasơ - Bunhiakopsky :

a).Cho 4 số thực : a2 b2 c2 d2 (ac bd )2

c d

a b

b).Cho 6 số thực : a2 b2 c2 d2 e2  f2 ad be cf  2

d e f

a b c

-Bài 7-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

.(1)

Giải

-Biến đổi tương đương :

-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 4 số :

, được:

Hay :

22 2

y 

Vậy : max

22 2

.Đẳng thức xảy ra khi :

1 cos 2

2

x

-Bài 8-Cho cos2 xcos2 ycos2 z Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 1

y  1 cos 2 x  1 cos 2 y  1 cos 2 z (1)

Giải

-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 6 số :

1, 1, 1, cos ,2 x cos2 y, cos2 z :

1 1 1 1 cos 1 cos 1 cos

3 3 (cos cos cos )

Hay : y 2 3

Vậy : ymax 2 3

-Bài 9- Cho x y z , , 0 và x y z 2



Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y  1 tan tan x y  1 tan tan y z  1 tan tan z x (1)

Giải

-Ta xét giả thiết : x y z 2



  

2 tan( ) tan( )

2

tan tan tan tan 1 tan tan

1 tan tan tan

tan tan tan tan tan tan 1 (*)









-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :

1, 1, 1, tan tan ,x y tan tan ,y z tan tanz x :

1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan

1 1 1 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan

3 3 (tan tan tan tan tan tan )

2 3 ( tan tan tan tan tan tan 1)

Hay : y 2 3

Vậy : ymax 2 3

-Bài 10-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :

:

2

2 2 2

1

2 sin 2 1

(1 4) 2

x

2

Hay :

25

2

y 

Vậy : min

25 2

-Đẳng thức xảy ra khi :

4

x x x  k

-Phần 3- Sử dụng công cụ đạo hàm

Bài 11-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y cosx sin x.(1)

Giải

-Hàm số xác định khi : cosx 0, sinx 0.Ta khảo sát trên 0; 2



-Tính :

y'

2 cos 2 sin



y' 0

2 cos 2 sin

sin cos

(sin cos )(1 sin cos ) 0

sin cos (1 sin cos 0)

4

-Bảng biến thiên:

x

0 4



2



y’ + 0 -y

4 8

1 1

Vậy : ymin 1 và ymax 4 8

-Bài 12-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

ysinx3sin 2x.(1)

Giải

-Hàm số xác định với mọi x  R

-Tính : y' cos x6cos 2x12cos2 xcosx 6

2 cos

3 ' 0

3 cos

4

x y

x



 



 y đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong 2 điểm đó mà y’ = 0

+Khi

Khi đó :

5 5

3

(*) +Khi

Khi đó :

7 7

8

(**) Xét (*) và (**) cho ta : max

5 5 y

3



, khi

-Phần 4- Một số dạng khác.

Bài 13-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

2 2

cos 2 cos

2 cos 1

y

 



Giải

-Ta xét biểu thức :

(do :0     ) Vậy y xác định với mọi xR

-Biến đổi tương đương :

2

Ta giải và biện luận phương trình (*):

+Khi y cos

2

x y y



Vậy nếu x     0 1 y 1 Hay : ymin  và 1 ymax 1 (a)

+Khi y cos Điều kiện có nghiệm là :

2

sin ( 1) 0

1 0

y y y

y



   

Vậy nếu x     0 1 y 1 Hay : ymin  và 1 ymax  1 (b)

Từ (a) , (b) Ta có : ymin  và 1 ymax  1

-Bài 14-Gọi α là một góc cho trước.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y tan (2 x) tan ( 2 x ).(1)

Giải

-Ta xét đẳng thức:

-Đặt a tan(x  ) , btan(x  )

-Khi đó:

2

x

x

x x

















 +Do α cho trước, nên tử thức đạt giá trị lớn nhất khi : sin 2x 0 , suy ra :

cos 2x 1

.Nếu cos 2x 1 , cos 2 0 :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng :

(1 cos 2 )   2

.Nếu cos 2x 1 , cos 2 0 :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng : ( 1 cos 2 )    2

Vậy :

+Khi cos 2 0 thì :

2

2

2sin 2

(1 cos 2 )









+Khi cos 2 0 thì :

2

2

2sin 2

(1 cos 2 )









-Bài 15-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : cos sin 3 2 1 2

.(1)

Giải

-Ta xét 1 cos sin 3 2 2 3( )

4

.mà

3

1

4

Đẳng thức xảy ra khi :

5

y

4

.Đẳng thức xảy ra khi :

5

Vậy : ymin 2 2 4. ( khi :

5 4

)

Bài 16-Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của :

2 2

 

(1)

Giải

-Biến đổi tương dương :

y



1

2

 



Do đó :



 

 

    



 

    



      

Vậy : min

1 y

2





và max

1 y

2



-Bài 17 –Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của : y x 3(1 x2)

Giải

-Điều kiện : x 1, ta đặt : xsinu (2  u 2)

3

-Do

+Khi y  1 x 1.Vậy ymin  1 x1

+Khi

1 2

2

.Vậy max

1 2

2