Bài tập toán cao cấp

- Thuộc các công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay, độ dài cung đường cong phẳng.. Biết cách [r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017

ThS ĐỖ THÚY HẰNG ThS ĐỖ THÚY HẰNG ThS NGUYỄN THỊ QUYÊN

BµI TËP

TO¸N CAO CÊP

THS ĐỖ THÚY HẰNG, THS NGUYỄN THỊ QUYÊN

BÀI GIẢNG BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017

2

3

LỜI NÓI ĐẦU

Các môn Toán cao cấp B, C là những môn học đại cương được bộ môn Toán giảng dạy cho hầu hết sinh viên của Trường Đại học Lâm nghiệp Việc có một tài liệu bài tập bám sát nội dung lý thuyết của các môn Toán cao cấp này là một việc làm rất cần thiết vì nó trực tiếp phục vụ các thầy cô trong quá trình giảng dạy, giúp sinh viên học tập hiểu sâu sắc lý thuyết và làm thành thạo các dạng bài tập để các em đạt kết quả tốt cho môn học Bởi vậy, chúng tôi biên soạn cuốn bài giảng Bài tập toán cao cấp

Nội dung bài giảng gồm 6 chương:

- Chương 1: Hàm số một biến số thực;

- Chương 2: Đạo hàm, vi phân hàm một biến;

- Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến;

- Chương 4: Ma trận - Định thức - Hệ phương trình;

- Chương 5: Hàm hai biến;

- Chương 6: Phương trình vi phân

Trong đó, Thạc sỹ Nguyễn Thị Quyên biên soạn các chương 1, 2 và 3; Thạc sỹ Đỗ Thúy Hằng biên soạn các chương 4, 5 và 6

Mỗi chương trong bài giảng được cấu trúc gồm các phần: Bài tập có lời giải, bài tập sinh viên vận dụng để tự giải nhằm hướng dẫn sinh viên nắm được cách thức làm từng dạng bài tập rồi tự luyện tập các dạng bài tương tự Hơn nữa,

ở mỗi chương, các tác giả đã cố gắng đưa vào phần bài tập tham khảo những ứng dụng thực tế của một số khái niệm toán học vào đời sống, kinh tế, kỹ thuật

để tạo sự tò mò, hứng thú của sinh viên với môn học, từ đó giúp các em có thêm động lực để học tốt hơn

Bài giảng được biên soạn lần đầu trên cơ sở phân định cụ thể từng dạng bài tập

và đưa vào các ứng dụng thực tế của môn học nên không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của đồng nghiệp, các bạn sinh viên và toàn thể độc giả

Xin chân thành cảm ơn!

4

5

Chương 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC

- Phương pháp biến đổi để khử dạng vô định khá đa dạng, tùy từng bài toán

cụ thể mà ta có các cách khác nhau Dưới đây là một số phương pháp thường gặp:

1 Phương pháp biến đổi giản ước, nhân với biểu thức liên hợp để khử căn;

2 Phương pháp sử dụng công thức giới hạn cơ bản;

3 Phương pháp thay thế VCB (VCL) tương đương và phương pháp ngắt bỏ VCB bậc cao, ngắt bỏ VCL bậc thấp;

4 Phương pháp Lo - pi - tan (thuộc chương 2)

1.1.3 Xét tính liên tục, tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số

1.2 Bài tập có lời giải

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

x x

6

1.y x23x2 2 y = ln(1 – 2sinx) 3 arcsin 2 2

1

x y

4 lim

arctan 2

x

x x

cos coslim

x x

lim

x x

t t

x t



x a

x

a a

0

cos lim

2

x

x arctg x

0

(1 cos )arcsin lim

lim

ln

x x

e x

8

1 khi 0 ( )

4 6

x y

x y

1 y 1 ln( x21)

Điều kiện:

2 2

1 0

x x

x x

0

x x



 

1 1

1 lim

t anx sinx t anx(1-cosx) t anx 1-cosx 1

2



cos (1 os 2 ) cos cos 2 (1 cos3 )

t anx s inx lim

( 1 t anx 1 s inx )

t anx(1- cos ) lim

sin 2 ( 1 t anx 1 t anx )

x

e e x

x x x

2 2

2

lim (cos )

x t

t

x

e t

x

e t

2 lim (2 )

x a x

x

e t

cos lim

os2

x

J x

3 2 0

cos lim

19

2 2

(4 ) 3

2 sin 3 os4x -1

x c

x x

  nên f(x) liên tục tại x=0

Vậy f(x) liên tục trên R

1

0 ( )





Ta có TXĐ: R

Với x < 1 thì f x( )  2x 1 là hàm số sơ cấp xác định nên liên tục

Với x > 1 thì f x( ) 4 ax2 là hàm số sơ cấp xác định nên liên tục

Do đó để hàm số liên tục trên R thì f(x) phải liên tục tại x = 1

 là hàm số sơ cấp xác định nên liêntục

Với x > 0 thì f x  3x a là hàm số sơ cấp xác định nên liên tục

Do đó để hàm số liên tục trên R thì f(x) phải liên tục tại x = 0

4 6

x y

x x





 Hàm số trên là hàm phân thức không xác định tại x=2 và x=-3 nên ta có hàm số gián đoạn tại x=2 và x=-3

Xét

2 2

3 6

22

2

1lim

x

y e

là hàm số sơ cấp xác định nên liên tục

Với x > 0 thì y  2x2 1 là hàm số sơ cấp xác định nên liên tục

Xét

 2

2 2

ln 1 2

x

c x y

x x

23

1

x y

lim

1

n x

2 cos 1 lim

1 tan

x

x x

ln 1 3sin

lim

x

x x x







ln 1 5

2 0

1 t anx lim

( )

1 2 khi x<1

x x

25

1 2

ln 1

2 2

x y x

26

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

2.1 Kiến thức cần ghi nhớ

2.1.1 Nắm vững các công thức và quy tắc tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương:

Giả sử u = u(x), v = v(x) là những hàm có đạo hàm Khi đó:

27

2

1(arccos )

2.1.3 Quy tắc Lopitan tính giới hạn hàm số

2.2 Bài tập có lời giải

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số:

1 2ln sin

x

x x

c x

x

x x

1 y x 3x

3 2

1' 13

2 2

1

1 1

x

x x

5 3 os

( )n 5n 3xsin(4 )

2 2

x x



32

2 4

lim

2 ( osx+sinx)

x

e x

x

x x

x







x x

lim

sin 5

x x

sin2x cos lim

1 os5

x x

cos lim

lim

ln 1 2

x x

cot

x

x x

ln / 2 arctan

x

x x

lim

1 cos sin

35

25

1

1 cos 0

lim sinx anx

x 

1 2 4

36

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

3.1 Kiến thức cần ghi nhớ

- Nắm vững các tính chất và thuộc bảng các tích phân bất định cơ bản, chú

ý các công thức tích phân khi uu(x)

2

1 1

7.sinxdx  cosxC sinudu cosuC

8.cosxdx  sinxC cosudusinuC

arc os

du

u C u

ar cot

du

u C u

37

- Ghi nhớ và vận dụng linh hoạt các phương pháp tính tích phân

- Thuộc các công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay, độ dài cung đường cong phẳng

- Nắm được khái niệm tích phân suy rộng, từ đó hiểu được ý nghĩa hình học của khái niệm này Biết cách tính và sử dụng hợp lý 2 tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng

3.2 Bài tập có lời giải

Bài 1: Dùng bảng tích phân bất định cơ bản và phương pháp khai triển, hãy

1

x dx x

x

dx x





Bài 2: Áp dụng tính bất biến của biểu thức tích phân:

 Đưa hằng số vào dấu vi phân:





x x

e dx e





3 arctg x.

1 x

dx x



1 23/ 2

dx x

Bài 9: Tính diện tích của miền hình phẳng được giới hạn bởi các đường:

1 Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x - y + 4 = 0

2 Đường bậc ba y = x3 và hai đường thẳng y = x, y = 2x

3 Đường tròn x2 + y2 = 4 và parabol y2 = 2x

4 Hai đường parabol y2 = 16 – 8x, y2 – 24x = 48

5 Hai đường cong

2 2

1,21

6 Đường cong y2 = x3 và các đường thẳng x = 0, y = 4

Bài 10: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay quanh trục cố định

hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1 Đường parabol y = 2x – x2 và đường thẳng y = 0 khi quay quanh trục Ox

2 yx2; y 12 4 ;  x y 0;x 0 khi quay quanh trục Ox

3 y  9 x2; 2x  y 6 0 khi quay quanh trục Ox

4 y x3, y 2x khi quay quanh các trục Ox, Oy

Bài 11: Tính độ dài đường cong cho bởi các phương trình:

  quay quanh Ox

Bài 13: Tính các tích phân suy rộng với cận lấy tích phân là vô hạn:

Bài 14: Khảo sát sự hội tụ hay phân kì của các tích phân suy rộng với

cậnlấy tích phân là vô hạn:

3 1

1

1 1



Bài 16: Khảo sát sự hội tụ hay phân kì của các tích phân suy rộng của hàm

không bị chặn trên đoạn lấy tích phân:

1

2 1

0

1os

c

x dx x

1

0

ln 1.sin

x dx





LỜI GIẢI Bài 1:

41

4

2 2

dx x

t dt

dt

c t x

dx

C x

2 ln ln

4

xdx du

Thay x = 1 vào (*) ta được: - C = 1  C = -1

Thay x = 2 vào (*) ta được: D = 3

Thay x = 0 vào (*) ta được: -2A+2B-2C-D = -5

Thay x = 3 vào (*) ta được: 4A+2B+C+8D = 31

2 0 0

1 Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x - y + 4 = 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2 Đường bậc ba y = x3 và hai đường thẳng y = x , y = 2x

Trên hệ toạ độ Oxy lần lượt vẽ đồ thị 3 hàm số y = x3, y = x, y = 2x để xác định giao điểm giữa các đường, từ đó tìm được miền hình phẳng giới hạn bởi các đường

52

Dựa vào hình vẽ ta xác định được diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường là:

2 1

53

4 Hai đường parabol y2 = 16 – 8x, y2 – 24x = 48

Ta có:

2 2

1,21

6 Đường cong y2 = x3 và các đường thẳng x = 0, y = 4

Dựa vào hình vẽ ta xác định được diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường là:

3

2 2

3 0

S    x dx

3

2 2 5 2 0

2 4 5



54

Bài 10: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay quanh trục cố định

hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1 Đường parabol y = 2x – x2 và đường thẳng y = 0 khi quay quanh trục Ox

Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol y = 2x – x2 và đường thẳng y = 0 là:

2

2 2 0

55

2 yx2; y 12 4 ;  x y 0;x 0 khi quay quanh trục Ox

Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2; y 12 4 ;  x y 0;x 0 là:

56

Khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox sẽ có một phần miền nằm trên trục

Ox đè lên miền nằm dưới trục Ox Bởi vậy, thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng trên quanh Ox sẽ bằng với thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng dưới đây:

2 2 0

58

1 4

0

2 1

59

/ 2 2

x x



 hội tụ vì 4/3 > 1 nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 thì

2

3 4 1

sin 3 1

x dx x





hội tụ

33

1 1



 hội tụ vì 3/2 > 1 nên theo tiêu chuẩn so sánh 2 thì

62

1 3

1

1

1 1

dx x



 phân kỳ nên theo tiêu chuẩn so sánh 2 thì

2

3 9 1

2 0

2 0

64

1

2 1

0

1os

c

x dx x

0

c x

Mặt khác

1 1/2 0

dx x

 hội tụ vì (1/2 < 1) nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 thì

dx x

 hội tụ vì (1/3 < 1) nên theo tiêu chuẩn so sánh 2 thì

x x

e

dx e

(1 )

x dx





x dx x

dx x





27

3 2

arcsin 2

1 4

dx x

dx x

e dx e

( 2)

x x

dx x

e dx

x dx x

cossin 4sin cos

x dx x

2 2

x dx x

x x x

dx e

2 1

Bài 10: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay quanh trục cố định

hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1 y x 2 4x 3, y  2x 3 khi quay quanh trục Ox

2 yx2; yx y;  1 khi quay quanh các trục Ox, Oy

3 x2y2 a a2( 0) khi quay quanh các trục Ox, Oy

4 x2y2  4;x2 y2 2x 0 khi quay quanh trục Ox

Bài 11: Tính độ dài đường cong cho bởi các phương trình sau:

x x

Bài 12: Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đường cong theo các trục:

1 y s inx,0  x quay quanh Ox

quay quanh Ox

3 y2 4 ,(0x  x 1) khi quay quanh Ox

Bài 13: Tính các tích phân suy rộng với cận lấy tích phân là vô hạn:

1

 2 3

xdx x

Bài 14: Khảo sát sự hội tụ hay phân kì của các tích phân suy rộng với cận

lấy tích phân là vô hạn:

1

5

x dx

2 1

ln 1 x

dx x



5

2 3

1

sin

sinx

x dx x

ln 1 1

x

x dx x

2 3ln

2

3 9

x dx x

2

x dx x

Bài 16: Khảo sát sự hội tụ hay phân kì của các tích phân suy rộng của hàm

không bị chặn trên đoạn lấy tích phân:



3

1

sin 3

x dx e





72

Chương 4

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

4.1 Kiến thức cần đạt

Khi học xong chương 4 yêu cầu sinh viên làm được những công việc sau:

- Hiểu được các khái niệm: ma trận, định thức, hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo, ma trận hình thang, ma trận bậc thang, hệ phương trình đại số tuyến tính;

- Biết tính định thức, tìm hạng của ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, nhân hai ma trận, biết giải hệ cramer bằng ba cách, biết giải và biện luận hệ phương trình đại số tuyến tính



trong đó:

trước nhân vô hướng với cột j của ma trận đứng sau)

4 Ba phép biến đổi sơ cấp của ma trận

- Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau

- Nhân một hàng (một cột) với một số khác không

- Nhân một hàng (một cột) với một số rồi đem cộng vào một hàng khác (cột khác)

(Ta có thể dùng kết hợp 2 phép biến đổi: Nhân một hàng (cột) với k rồi cộng vào l lần hàng khác k, l là các số thực khác không)

73

5 Tính định thức

a) Bằng cách khai triển theo hàng hoặc cột

Định thức cấp n của ma trận A =  a ij n xnđược xác định như sau:

detA 1  ja detj M j + 1 ja detj M j   1 m j a detmj M mj

Trong đó Mij là ma trận vuông con cấp (n - 1) có được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i cột thứ j

b) Bằng cách biến đổi sơ cấp

Muốn tính detA ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận để đưa ma trận A về dạng tam giác, khi đó định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần

tử trên đường chéo chính(phải lưu ý đến tác động của phép biến đổi sơ cấp)

Nếu dùng phép biến đổi:

- Đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu để việc tính định thức được chính xác ta phải nhân định thức sau khi biến đổi với -1;

- Nhân một hàng (một cột) với một số k khác không định thức được nhân với k để việc tính định thức được chính xác ta phải nhân định thức sau khi biến

đổi với1

k ;

- Nhân một hàng (một cột) với một số rồi đem cộng vào một hàng khác (cột khác) định thức không đổi Để tính định thức bằng biến đổi sơ cấp chủ yếu là dùng phép biến đổi này

6 Tìm ma trận nghịch đảo của A (bằng hai cách)

Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta làm như sau:

Bước 1: Viết ma trận đơn vị I cùng cấp với A bên cạnh ma trận A như sau:

( | )A I

74

Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa dần phần ma trận

A về ma trận tam giác trên  ma trận chéo  ma trận đơn vị Tác động đồng thời các phép biến đổi đó vào phần ma trận I

Bước 3: Khi ở phần ma trận A (ban đầu) xuất hiện dạng ma trận đơn vị I thì

ở phần ma trận I (ban đầu) xuất hiện ma trận A-1 (tức là:( | )A I  ( |I A1)

Muốn tìm hạng của ma trận A ta làm như sau:

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp, đưa ma trận A về ma trận hình thang (hoặc bậc thang);

- Khi đó hạng của ma trận A sẽ bằng hạng của ma trận hình thang (bậc thang) và bằng số hàng khác không của ma trận hình thang (bậc thang)

Ma trận bậc thang là ma trận thỏa mãn hai điều kiện sau:

* Nếu có hàng bằng không thì hàng khác không nằm trên hàng bằng không;

* Trên hai hàng khác không phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới kể từ trái sang phải nằm ở cột bên phải của phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên

9 Giải hệ cramer (bằng 3 phương pháp)

a) Phương pháp Cramer

Hệ Cramer AX = B

(A là ma trận vuông cấp n, có detA ≠ 0) có nghiệm:

1 2

i j

A x

A

(Tìm ma trận nghịch đảo A-1.Thực hiện phép nhân: X = A-1B)

c) Phương pháp Gauss giải hệ cramer AX = B

trận hình thang A'A B' '

Khi đó AX = B tương đương với hệ tam giác A’X = B’ từ một phương trình

đơn giản nhất của hệ ta tìm được một ẩn, thế vào các phương trình khác để tìm

các ẩn còn lại

10 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B

trận bậc thang A'A B' '

Đến đây ta dễ dàng biết được  A vµ  A

Khi đó xảy ra 3 trường hợp:

- Nếu  A   A thì kết luận hệ AX = B vô nghiệm

- Nếu  A  A n (Số ẩn) thì hệ đã cho tương đương với hệ tam giác:

A XB , tiếp tục dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa phần A’ về dạng chéo ->dạng đơn vị, lúc này phần B’ sẽ là nghiệm X

- Nếu ( )= ( ̅ ) = < ( ố ẩ ) thì hệ đã cho tương đương với hệ

hình thang: A X' B', tiếp tục dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa phần tam giác của A’ (ứng với r ẩn) về dạng chéo  dạng đơn vị, khi đó các phần tử của A’ (ở phần không phải tam giác - ứng với n - r ẩn tùy ý) được chuyển sang

vế phải (bị đổi dấu) sẽ là các hệ số của ẩn tùy ý, còn phần B’ là các số Như vậy,

ta có r ẩn được tính theo n - r ẩn tùy ý

Cách 1: Dùng phương pháp khai triển theo hàng (hoặc cột) Trong bài này

ta khai triển theo cột 3

87



 1

1 4

Ma trận bậc thang B có 5 dòng khác không nên ( )A ( )B  5.

Bài 8: Tìm hạng của các ma trận sau:

Dùng các phép biến đổi sơ cấp (đổi chỗ 2 hàng; đổi chỗ 2 cột) để đưa tham

số về góc dưới bên phải

Dùng các phép biến đổi sơ cấp (đổi chỗ 2 hàng; đổi chỗ 2 cột) để đưa tham

số về góc dưới bên phải