conduongcoxua welcome to my blog

Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho các trường học phổ thông ( Kể cả ba cấp )[r]

A/ Đặt Vấn Đề:

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầm quantrọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứukhoa học cho các ngành nghề Bất cứ ngành nào nghề nào cũng đòi hỏi phải có

sự tính toán Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán, từ những con số, rồithực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính khó.v.v Vì vậy ta phảixây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện Bêncạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ đểđáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này,trước hết Thầy, Cô giáo chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phươngpháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợpvới từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằmtạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ họctập của các em ở nhà trường

Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bảntheo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho các trườnghọc phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứuthật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến môn toán để bổsung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu,

dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực thamgia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học vàgiải toán được thuận lợi hơn Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phươngpháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thểkhẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích” Với mỗi bài toán

ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn vàthường xuyên thực hành

Là người giáo viên, chúng ta cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nhiều cácloại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải một số dạng

toán.v.v có liên quan đến lĩnh vực toán học để kịp thời nắm bắt và vận dụng vàotrong thực tế giảng dạy Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việcvận dụng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bàitoán như “Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên viết dưới dạng lũy thừa” cóbậc thấp thì học sinh dễ tìm ra, còn những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vôcùng lúng túng, khó giải Chính vì vậy mà Tôi cố nghiên cứu và tìm ra đượcphương pháp giải đơn giản đối với số tự nhiên dạng an Ngoài ra Tôi mạnh dạngđưa ra “ Một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình toán 6 ” và phươngpháp giải, chúng được đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy về môn số họccủa Tôi Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thếnhưng không ít Học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được dạng nênchưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những cách giải cònphức tạp, chưa tối ưu Chính vì vậy mà vấn đề Tôi đưa ra là đề giúp cho các emgiải quyết được phần nào khó khăn mà các em vấp phải.

D2-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 21; 25; 29; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 2

D2-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 22; 26; 210;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 4

D2-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 23; 27; 211; … và giá trị của mỗi lũy thừa ởdãy này có chữ số tận cùng là 8

D2-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 24; 28; 212; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 6

Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D2-1 nên có chữ số tận cùng là 2

Nếu số dư là 2 thì thuộc D2-2 Nên có chữ số tận cùng là 4

Nếu số dư là 3 thì thuộc D2-3 Nên có chữ số tận cùng là 8

Nếu số dư là 0 thì thuộc D2-4 Nên có chữ số tận cùng là 6

2 Vì 22003  2n Nên khi ta chia số mũ 2003 cho 4 ta được số dư là 3  D2-3

lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ) Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dư bằng 0, mà

số dư vừa tìm được lại thuộc D2-4.

Vậy Số 3244 có chữ số tận cùng là 6

2 Vì 1092 = 1090 + 2 cách tìm tương tự như bài toán trên

Muốn tìm chữ số tận cùng của số 109214 ta đi tìm chữ số tận cùng của 214

Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D2-2 nên có chữ số tận cùng4

Vậy số 109214 có chữ số tận cùng là 4

3 Vì số 352 có chữ số tận cùng bằng 2 Nên 3521001 và 21001 có chữ số tận cùng giống nhau

Cách tìm: ta tìm số dư của phép chia 1001 cho 4, ta được số dư là 1 Ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 2

Vậy: 3521001 có chữ số tận cùng là 2

4 Ta thấy số 122 có chữ số tận cùng là 2 nên 1228051 và 28051 có chữ số tận cùng bằng nhau

Dựa vào cách tìm ta có số dư của phép chia 8051 cho 4 là 3 Mà ứng với số

D3-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 31; 35; 39; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 3

D3-2 là tập hợp các lũy thừa có dạng 32; 36; 310;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 9

D3-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 33; 37; 311; … và giá trị của mỗi lũy thừa ởdãy này có chữ số tận cùng là 7

D3-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 34; 38; 312; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 1

Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy

D3-1 = 31; 35; 39; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3

D3-2 = 32; 36; 310;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 9

D3-3 = 33; 37; 311; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 7

D3-4 = 34; 38; 312; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1

Những số có nhiều chữ số như 13n; 23n; 33n; đều áp dụng như

trên

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D3-1 nên có chữ số tận cùng là 3

Nếu số dư là 2 thì thuộc D3-2 Nên có chữ số tận cùng là 9

Nếu số dư là 3 thì thuộc D3-3 Nên có chữ số tận cùng là 7

Nếu số dư là 0 thì thuộc D3-4 Nên có chữ số tận cùng là 1

* Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận cùng của số 43126 lại bằng chữ số tận cùng của

số 3126 Dựa vào cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa với cơ số 3

( 126 : 4 = 31 dư 2 ), mà số dư thuộc D3-2.

Vậy: Số 43126 có chữ số tận cùng là 9

* Ta thấy: số 2153 có chữ số tận cùng là 3, nên số 21535717 và số 35717 có chữ số tận cùng bằng nhau Do đó ta có cách tìm chữ số tận cùng như sau:

Ta chia số mũ 5717 cho 4 ta được số dư là 1, ứng với số dư này ta có chữ

Điều này cho thấy D4 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số

mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn

Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D4 = 41, 42, 43, 4n

như sau:

D4-1 = 41; 43; 43; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là

4

D4-2 = 42; 44; 46;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6

Những số có nhiều chữ số như 14n; 24n; 34n; đều áp dụng

như trên

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2

Nếu số dư là 1 thì thuộc D4-1 nên có chữ số tận cùng là 4

Nếu số dư là 2 thì thuộc D4-2 Nên có chữ số tận cùng là 6

Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số

mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số

đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng

của số đó là 4

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 418 , 487 , 18942n

Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6 Nếu số

mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tận cùng là 6 Vậy:

D4-2 = 42; 44; 46;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6

Những số có nhiều chữ số như 14n; 24n; 34n; đều áp dụng

như trên

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2

Nếu số dư là 1 thì thuộc D4-1 nên có chữ số tận cùng là 4

Nếu số dư là 2 thì thuộc D4-2 Nên có chữ số tận cùng là 6

Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số

mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số

đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng

của số đó là 4

Khi a = 6 Thì 6n ( Với nN* ) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 6.

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D7-1 nên có chữ số tận cùng là 7

Nếu số dư là 2 thì thuộc D7-2 Nên có chữ số tận cùng là 9

Nếu số dư là 3 thì thuộc D7-3 Nên có chữ số tận cùng là 3

Nếu số dư là 0 thì thuộc D7-4 Nên có chữ số tận cùng là 1

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D7-1 nên có chữ số tận cùng là 7

Nếu số dư là 2 thì thuộc D7-2 Nên có chữ số tận cùng là 9

Nếu số dư là 3 thì thuộc D7-3 Nên có chữ số tận cùng là 3

Nếu số dư là 0 thì thuộc D7-4 Nên có chữ số tận cùng là 1

D8-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 84; 88; 812; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãynày có chữ số tận cùng là 6.

Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy

Ta có: 50 chia 4 dư 2; mà số dư này thuộc D8-2 Nên số 850 có chữ số tận cùng là 4

D8-1 = 81; 85; 89; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D8-1 nên có chữ số tận cùng là 8

Nếu số dư là 2 thì thuộc D8-2 Nên có chữ số tận cùng là 4

Nếu số dư là 3 thì thuộc D8-3 Nên có chữ số tận cùng là 2

Nếu số dư là 0 thì thuộc D8-4 Nên có chữ số tận cùng là 6

Mà khi ta chia số mũ 400 cho 4 ta được phép chia hết, nên số dư bằng 0 thuộc D8-4 Do đó số 8400 có chữ số tận cùng là 6, hay số 518400 có chữ số tận cùng

Điều này cho thấy D9 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số

mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn

Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D9 = 91, 92, 93, 9n

Những số có nhiều chữ số như 19n; 29n; 39n; đều áp dụng như trên.

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2

*Nếu số dư là 1 thì thuộc D9-1 nên có chữ số tận cùng là 9

*Nếu số dư là 2 thì thuộc D9-2 Nên có chữ số tận cùng là 1

Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ; Nếu

số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số đó là 1, còn nếu số mũ củalũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 9

* Cách 1: Theo phương pháp (H), ta chia số mũ 1999 cho 4 được số dư là 3; Số

dư này thuộc D7-3

1 Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng

số dư, ta nói a đồng dư với b theo mô đun m và viết ab (mod m)

2 Định lý:

Ba mệnh đề sau tương với nhau:

2.1/ a đồng dư với b theo mô đun m;

c  d (mod m) a.c  b.d (mod m)

Hệ quả: a + c  b (mod m)  a  b – c (mod m)

a  b (mod m)  an  bn (mod m)

3.4/ Nếu a  b (mod m); kƯC (a,b), (k,m) = 1 Thì k

b k

a 

(mod m)

3.5/ a  b (mod m) với kz, k > 0 suy ra: ka  kb (mod m)

3.6/ d  ƯC (a,b,m) thì a  b (mod m) suy ra: k

b k

Hệ quả: ( m1, m2, …… , mn ) = 1 và nguyên tố từng đôi một

Suy ra: a  b (mod m1), a  b (mod m2), …… a  b (mod mn)

a  b (mod m1.m2……mn)

II Bài tập áp dụng:

Tìm chữ số tận cùng của số 19911997, 6195, 19971996

Giải:

*) Ta có: 1991  1 (mod 10) suy ra 19911997  1 (mod 10)

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việ tìm hai chữ số tận cùng của y càng đơn giảnhơn

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng củahai số tự nhiên x = am như sau:

Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của aq

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 100

Các bài toán tìm hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên.

Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2999

Suy ra: 2999 có hai chữ số tận cùng là 88

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 78966

Giải:

Ta có: 74 có hai chữ số tận cùng là 01

Suy ra: 78966 = (74)2241.72 = (a01)2241 49 = c01 49 = n49 ( Với a,c,n N)

Vậy: 78966 có hai chữ số tận cùng là 49

Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 247561.

Ta có: 34  19 (mod 100) suy ra 38  192  6 (mod 100)

Suy ra: 310  61.9  49 (mod 100) suy ra 3100  492  1 (mod 100)

Suy ra: 31000  01 (mod 100)

Ta có: 74 = 2401; số có hai chữ số tận cùng là 01, khi ta nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có hai chữ số tận cùng là 01.

Dựa vào một số kiến thức sau:

1) Định nghĩa về lũy thừa

2) các phép tính về lũy thừa

3) Chữ số tận cùng của một lũy thừa

4) Khi nào thì hai lũy thừa bằng nhau

Bµi 1: Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:

a) 42k ; 42k + 1.b) 92k ; 92k + 1 ( k  N)

82007 = (84)501 83 = ( 6 ) 501 2 = 2

3 Tính giá trị của biểu thức:

a) TÝnh theo quy t¾c thùc hiÖn phÐp tÝnh:

Bµi 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

B = 3 - 32 - 33 - - 3100

=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101

B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101)4B = 3 - 3101

1 + 73

1+ + 7100

4

Bµi gi¶i:

A = 7

1 + 72

1 + 73

1+ + 7100

1

7A = 1 + 7

1 + 72

1+ + 799

1

5B = -4 + 5

4 + 53

4+ + 5201

: 6

Bµi 3: TÝnh

A = 25 25 25 25 1

1 25

25 25 25

2 26

28 30

4 20

24 28

x10 - x = 0 x.( x9 - 1) = 0

Ta cã: x = 0 hoÆc x9 -1 = 0

Mµ: x9 -1 = 0

x9 = 19

x = 1 VËy x = 0 hoÆc x =1

c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3

Vì hai lũy thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( 0)

Suy ra: 2x - 15 = 0 hoÆc 2x - 15 = 1

+ Nếu: 2x - 15 = 0

x = 15 : 2  N ( lo¹i) + Nếu: 2x - 15 = 1

2x = 15 + 1

x = 8 d) Ta cã x2 < 5

2

1 2

35x + 9  5 v× ( 35x 5 ; 9  5 )

Mµ 2 5y  5 ( v« lý v× 35x + 9 = 2.5y) VËy x = 0 vµ y = 1

5

5 5 1

5

5 5 1

3 3 3 1

3 3 3 1

95 19

31

31



 = 1 + 19 5

90

31 

B = 19 5

5 19

95 19

Nªn: A > B

b) A = 2 3

3 2

20

18





nªn: 22 A = 2 3

) 3 2 (

2

22

18 2



 = 2 3

12 2

20

20



 = 1 - 2 3

9

20 

B = 2 3

3 2

2

22

20 2



 = 2 3

12 2

22

22



 = 1- 2 3

Nªn: A < B

c) Ta cã:

9 2

5

5 5 1

5

5 5 1

5 5 1

1 5

5 5 1

) 5

5 5 1 ( 5 1 5

5

5

1

) 5

8 2

8 2

8 2

9 2

3 3 1

Khảo sát chất lượng học sinh:

§ît 1

§ît 2

C KÕt luËn:

Bài viết này được rút ra từ trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu toán 6.với cách phân dạng này để giúp học sinh tiếp cận và hình thành kĩ năng giải mộtcách dễ hiểu, phù hợp với nội dung chương trình mới Qua các dạng đó rèn luyệncho học sinh khả năng tư duy, sáng tạo, khái quát hóa, tương tự hóa biết chuyểncác dạng khác về dạng đã học