Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC K không trùng với các đầu mút.. Tìm giao điểm E của đường thẳng BC với mặt phẳng IHK Chọn mặt phẳng phụ ABC chứa BC .Ta có H là
Trang 1Giao của hai mặt phẳng Giao của đường thẳng – mặt phẳng Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt:
;
;
A P A Q
P Q AB
B P B Q
chung thường tìm bằng cách kéo dài các cạnh nằm
trên cùng 1 mặt để tìm giao điểm của chúng:
Ví dụ SAC SBDSO
Cách 1: Để tìm giao d và P :
d Q
a d B
Cách 2: Tìm trong mp P đường thẳng a
Mà a d B d P B
Cách 2: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến nếu có sẽ
song song với hai đường thẳng đó
/ / / / / /
;
a P
b Q
P Q Sx a b
a b
S P S Q
Ví dụ AB/ /CDSAB MCDMx/ /AB
Ví dụ: Cho hình chóp S ABC Gọi I H, lần lượt là trung điểm của SA AB, Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC ( K không trùng với các đầu mút) Tìm giao điểm E của đường thẳng BC với mặt phẳng IHK
Chọn mặt phẳng phụ ABC chứa BC Ta có H
là điểm chung thứ nhất của ABC và IHK Trong mặt phẳng SAC, do IK không song
song với AC nên gọi FIKAC Ta có
Suy ra F là điểm chung thứ hai của ABC và
IHK Do đó ABC IHKHF Trong mặt phẳng ABC, gọi EHFBC, mà
HF IHK Vậy EBCIHK
PP: Chỉ ra giao tuyến của hai đường thẳng nằm trên
đường thẳng thứ ba
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Lấy M N P lần lượt trên các , ,
cạnh AB AC BD sao cho , , MN cắt BC tại ,I MP cắt
AD tại J Chứng minh PI NJ CD đồng quy , ,
HD: Trong mặt phẳng BCD, gọi EPICD Ta
chứng minh ,E N J thẳng hàng ,
1
E PI MPI
E PI CD
E CD ACD
PP: Ta chỉ ra các điểm đó cùng thuộc hai mặt
phẳng:
;
;
, ,
;
A P A Q
B P B Q
A B C
C P C Q
thẳng hàng
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là , trung điểm AB CD Mặt phẳng , qua MN
2
J MP MPI
J MP AD
J AD ACD
3
N MI MPI
N MI AC
N AC ACD
Từ 1 , 2 , 3 ta có , ,E J N là điểm chung của hai măt phẳng MPI và ACD nên
chúng thẳng hàng Vậy PI NJ CD đồng quy tại E , ,
cắt AD và BC lần lượt tại P Q, Biết MP cắt NQ tại I Chứng minh ba điểm , , I B D
thẳng hàng. Hướng dẫn
I ABD
I MP
I NQ I CBD
I ABD CBD BD
I BD Vậy I , B , D thẳng hàng
x
O
S
M
d
a
Q
P
B
E F
I
H
S
B K
E J
I
A
B
D
C
N M
P
N
M A
B
D
C I
Trang 2TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
PP: Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt khối đa diện là
tìm giao điểm của mặt phẳng đó với các mặt của khối đa
diện
Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD Gọi ,E F là trọng tâm
của cáctam giác SBC, và SCD M là trung điểm của SA
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
MEF Hướng dẫn
Trong mặt phẳng SBC gọi HSEBCvà trong mặt
phẳng SCDgọi NSFCD
Trong mặt phẳng ABCDgọi IACHN Khi đó
Quy tắc 3 điểm: ABBCAC
Quy tắc hình bình hành: ABADAC
Hiệu hai vecto: ABACCB Quy tắc hình hộp: ABADAA'AC' Nếu a b , cùng phương thì ak b Tích vô hướng của hai vecto: a b a b .cos Nếu I là trung điểm AB : IA IB 0 ; MA MB 2MI
I SAC SHN
Trong mặt phẳng SHNgọi KEFSI Khi đó KMEF SAC
Trong mặt phẳng SACgọi PSKSC Khi đó PMEFSC
Trong mặt phẳng SBCgọi RPESB Khi đó RMEFSB
Trong mặt phẳng SCDgọi QPFSD Khi đó QMEFSD
Dựa vào hình vẽ ta có
MEF SAB MR MEF SBC RP MEF SCD PQ MEF SAD MQ
Vậy thiết diện là hình tứ giác MRPQ
Nếu G là trọng tâm tam giác thì: GA GB GC 0 ; MA MB MC3MG Nếu G là trọng tâm tứ diện ABCD thì :
GA GB GC GD MA MB MCMD MG
Nếu ABk AC thì với mọi điểm M ta có:
1
MB k MC MA
k
Sự đồng phẳng của vecto: Ba vecto đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng Để chứng minh vecto đồng phẳng có các PP sau:
- Ba vecto nằm trong 3 mặt phẳng song song thì đồng phẳng
- Nếu một trong 3 vecto bằng 0 thì 3 vecto đồng phẳng
- Nếu hai trong 3 vecto cùng phương thì 3 vecto đồng phẳng
- 3 vecto a b c, , đồng phẳng, ta chỉ ra am b n c
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chỉ ra ABk AC k0
Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách 1: / /
/ / / /
a b
b c
a c
Cách 2:
/ /
a b
a P b Q a b c
(Hình 1)
Cách 3: + Định lí giao tuyến của 3 mặt: 3 mặt phẳng cắt
nhau từng đôi một thì 3 giao tuyến song song hoặc trùng
nhau hoặc dùng tính chất trong hình học phẳng: Hai cạnh
đối của hình bình hành, ……, đường trung bình hoặc hệ
quả định lí Talet
/ / ; / /
/ /
a P a Q
a b
/ /
a P a Q
a b
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Cách 6: Nếu P / / Q ; P a; Q b a/ /b (Hình 4)
A'
B'
D'
A
D
C B
C'
c a
b
Q
P
b
a
Q
P
b a
Q
P
b a
α
P
Q
Trang 3TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
nhau Cách 1:
/ /
/ /
;
a b
a P
a P b P
Cách 2:
/ / / /
a Q
a P
Cách 3:
/ /
a b
a P
(Hình 3)
Cách 4:
/ /
a Q
a Q
(Hình 4)
Hình 1
Hình 4
Hình 2
Hình 3
Dùng phương pháp phản chứng : Giả sử ,a b không chéo nhau, suy ra
,
a b cùng nằm trên một mặt phẳng
Từ các điều kiện bài cho chỉ ra vô lí
Chứng minh hai đường thẳng
vuông góc
+ Sử dụng kiến thức cấp 2: Góc nội tiếp, Pytago…
+ Chỉ ra góc giữa 0
; 90
a b + Chỉ ra tích vô hướng a b0 + Nếu a/ /c
a b
b c
+ Nếu
a P
a b
b P
+ Nếu
/ /
a P
a b
b P
+ Sử dụng định lí 3 đường vuông góc:
Nếu a là hình chiếu của a lên P
mà b P b; a b a
Chứng minh hai mặt phẳng song song
Cách 1:
/ /
/ /
/ / ,
a Q
b Q
a b
a b P
c¾t (Hình 1)
Cách 2:
/ /
/ / / /
Cách 3:
/ /
P a
Q a
Hình 1
Hình 2 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng
;
,
c¾t
a b a c
(Hình 1)
Cách 2:
;
a P
Cách 3:
;
;
a P
a Q a b
b a
P
a
Q
P
a
Q
P
a
b
P
a b
P
Q
a
P Q
a b
c
P
a
Q
R
P
b
a
Q
P
Trang 4TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Cách 4:
/ /
a b
a P
b P
/ /
a Q
a P
Hình 4
Hình 5
Cách 1:
a P
a Q
Cách 2:
a P
a b
Cách 3: Chỉ ra góc giữa P và Q bằng 0
90
Hình 1
Hình 2
Góc giữa hai đường thẳng ,a b
Cách 1: Từ điểm O trên a kẻ đường
thẳng c/ /b Khi đó a b; a c;
(Hình 1)
c¾t
a c
b d a b c d
c d
(Hình 2)
* Để tính góc ta thường sử dụng định lí
hàm số sin, cosin; tỉ số lượng giác góc
nhọn hoặc tích vô hướng
90
a P
Cách 2: Nếu a không vuông góc với P
thì góc giữa a và P là góc giữa a và
hình chiếu a của a lên P
;
a P
a b
Cách 2:
/ /
0
Cách 3:
;
b Q b d
(Hình 2)
P
a
P
Q
a
Q
P
b
a
Q
P
b
a
c
φ
b
a d
c
φ
a'
a
φ P
d a
b
Q
b
φ
Q P
Trang 5TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Khoảng cách từ điểm A đến đường
+ Từ A kẻ AH d tại H Khi đó
khoảng cách là AH
+Chuyển về tính gián tiếp qua điểm khác
(Thường là chân đường vuông góc)
+ Sau đó để tính khoảng cách ta dùng
định lí hàm số sin, cosin, Pytago,
Talet…
Hình 2 Hình 1
Hình 3
Phương pháp: Từ A kẻ AH P Khi đó khoảng
cách là AH
+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao:
Từ điểm đó dựng đoạn vuông góc với cạnh đối diện
;
;
d C SAD CK
SA ABCD
d C SAB CH
+ Nếu điểm cần tính khoảng cách là chân đường vuông góc : Từ chân đường vuông góc ta kẻ vuông góc với
cạnh đối diện tại M , kẻ AHSMkhoảng cách là
AH (Hình 2)
+ Ngoài ra có thể đưa về tính khoảng cách qua các điểm gián tiếp,
Ví dụ: SAABCDvà
2
d B SCD d A SCD
AB CD
d O SCD d A SCD
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
P với a/ / P
Là khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên a
đến P :
/ /
a P
d a P d A P
A a
Là khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia
/ /
d P Q d O Q
O P
Cách 1: Dùng đường vuông góc chung: Là đường thẳng vuông góc với ,a b cắt ,a b tại A B, Khi đó khoảng cách giữa d a b ; AB
Ví dụ SAABCD với ABCD là hình thoi, thì d SA BD ; SO (Hình 1) Cách 2: + Dựng P chứa b và P / /a, dựng a là hình chiếu của a lên P , dựng B b a, qua B dựng c P , c a A
(Hình 2) Cách 3: Nếu a chéo nhau b và ab
+ Qua b dựng P a, Tìm A a P , trong P dựng c qua A và cb tại B (Hình 3)
B
S
M
H
H
K
S
O
C B
S
a
P
A
P
Q
O
O
C B
S
a
b
c
a'
P
A
B
c
a
b
P
B A
Trang 6TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Các công thức hay dùng trong tam giác
sin sin sin
R
A B C hay a2 sinR A hay sin
2
a A R
Định lí hàm số cos:
2 2 2 2 cos ; 2 2 2 2 cos ; 2 2 2 2 cos
a b c bc A b a c ac B c a b ab C
Hoặc
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
Nếu góc A nhọn thì cosA0, tù thì cosA0
Công thức trung tuyến:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
; ;
Và AB2AC2 2BC MH ( với M là trung điểm BC,H là chân đường cao)
Phân giác trong:
2; 2; 2
S a h b h c h ab C ac B bc A
4
abc
R
Hệ thức lượng hay dùng trong tam giác vuông
+ ABC vuông tại ,A đường cao AH, kẻ HF AC HE; AB:
* AB2 BH BC AC ; 2 CH BC * AB2AC2 BC2;AH2 BH CH
*
2 2 2
;AB AC AH BC
AH AB AC * 1 1
S AB AC AH BC
*CF HBEB HCAH BC * 3BE23CF2 3BC2
* sinC AB cosC AC tanC AB
c
a
b
ha ma
M H
A
E
C
