6 CHUYÊN đề hình học 11 ôn thi giữa kỳ 2

Bài toán xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc với SC..

6 CHUYÊN ĐỀ

HÌNH HỌC 11

ÔN TẬP GIỮA KÌ 2

HỌC KÌ II

CHUYÊN ĐỀ 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ

Dạng 1 Phân tích một vectơ theo các vecto cho trước

Bài 1 Cho tứ diện SABC G, là trọng tâm ABC M I E K, , , tương ứng là trung điểm của SA AB SI CG, , , Dặt aSA b, SB c, SC hãy phân tích các vectơ SG MG EK, , theo a b c, ,

Bài 2 Cho tứ diện SABC M, là trung điểm của AB K, là điểm thỏa mãn KC 2KB và N là trung điểm của SK Hãy phân tích MN theo aSA b, SB c, SC

Bài 3 Cho lăng trụ ABC A B C M   , và N là hai điểm thỏa mãn MB2MB0, NA2NC0. Hãy biểu diễn MN theo các vectơ aAB b,  AC c, AA

Dạng 2 * Xác định một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

* Các bài toán chứng minh và tính toán liên quan đến hệ thức vectơ trong không gian

Bài 4 Cho tứ diện đều SABC cạnh a M N P , , tương ứng là trung điểm các cạnh BC SA SB, , Tính

SM BN và SM AP

Bài 5 Cho lăng trụ ABC A B C    ,I I tương ứng là trọng tâm tam giác ABC và A B C   O là trung điểm của II, M là trung điểm của A B  và G là trọng tâm tú diện ABCC.

a) Chứng minh OA OA OB OB OC OC 0

b) Chứng minh OM  2OG

Dạng 3 chứng minh ba điểm thẳng hàng bốn điểm đồng phẳng

Bài 6 Cho tứ diện ABCD G, là trọng tâm tam giác ACD I, là trung điểm BC, vẽ hình bình hành ABDK Chứng minh I G K, , thẳng hàng

Bài 7 Cho tứ diện SABC M, là điểm thỏa mãn SM 3SA SB SC  Chứng minh M thuộc mặt phẳng

ABC

Bài 8 Cho tứ diện ABCD I J, , tương ứng là trung điểm các cạnh AB và CD M và N tương ứng thuộc cạnh BC và AD ao cho BM 2MC AN, 2ND Chứng minh , ,I J M N, cùng thuộc mặt phẳng

Bài 9 Cho hình lăng trụ ABC A B C   . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB và A C . Điểm K thuộc

B C  sao cho KC 2KB Chứng minh rằng bốn điểm , , ,A I J K cùng thuộc một mặt phẳng

Bài 10 Cho hình hộp ABCD A B C D    , M N P, , tương ứng là trung điểm AA BC CD, , và Q là điểm

thuộc DD thỏa mãn QD  5QD. Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , đồng phẳng

Dạng 4 Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 11 Cho hình hộp ABCD A B C D    . Xác định điểm M thuộc BD, điểm N thuộc CB sao cho MN

song song với AC.

Bài 12 Cho hình hộp ABCD A B C D    . Gọi M N tương ứng là các điểm sao cho ,

MA  MC NC  ND Chứng minh MN B D// 

Bài 13 Cho hình lập phương ABCD A B C D    . Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc AD và DB sao

cho MAk MD ND, k NB k 0,k1  Chúng minh MN song song với mặt phẳng A BC 

Bài 14 Cho hình hộp ABCD A B C D     Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD G; và G lần lượt là trọng tâm các tứ diện AD MN và BCC D  Chứng minh rằng đường thẳng GG song song với mặt phẳng ABB A .

CHUYÊN ĐỀ 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Dạng 1 Các bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng

Bài 15 Cho tứ diện SABC có SASBSCABACa, BCa 2 Tính góc giữa hai đường thẳng

SC và AB

Bài 16 Cho tứ diện ABCD có 4

3

CD AB Gọi I J K, , lần lượt là trung điểm của BC AC BD, , Cho biết

5

, 6

JK  AB tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB

Bài 17 Cho hình hộp ABCD A B C D    có các cạnh bằng a BAD,  60 , BAADAA120 

a) Tính góc tạo bới đường thẳng AB và A D AC ,  và B D .

b) Tính diện tích tứ giác ACC A .

c) Tính góc tạo bởi đường thẳng AC với các đường thẳng AB AD AA, , 

Dạng 2 Một số bài toán về hai đường thẳng uông góc

Bài 18 Cho tứ diện ABCD AB,  AC AB, BD P và Q tương ứng thuộc các cạnh AB và CD thỏa mãn

PAk PB QCkQD k  Chứng minh rằng ABPQ

Bài 19 Cho tứ diện ABCD

a) Chứng minh rằng AB CD AC DB AD BC 0 Từ đó suy ra tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc

2

AB CD AD BC AC BD Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau

Bài 20 Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với CD

b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho MAk MB ND , k NB Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC

Bài 21 Cho hình hộp ABCD A B C D    , a AB b, AD c,  AA với a b c, , đôi một vuông góc với nhau Gọi M N tương ứng là các điểm trên , BB AC E, , là trung điểm của B C 

a) Cho MN/ /ED Phân tích vectơ MN theo a b c, ,

b) Cho MN vuông góc với BB và AC. Tính MN.

Bài 22 Cho tứ diện ABCD có , ABCD BD,  AC và ,E F tương ứng là trung điểm BC và AD M P ,

là các điểm tương ứng thuộc AB BD CD, , và MAk MB và PDk PC Chứng minh rằng

a) EFMP

b) ADBC

CHUYÊN ĐỀ 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÓI MẶT PHẲNG

Dạng 1 Bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Bài 23 Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và DBC là các tam giác cân đáy BC Gọi I là trung điểm của BC AH là đường cao trong tam giác ADI Chứng minh rằng:

a) BCAID b) AH BCD

Bài 24 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại ;B SA vuông góc với mặt phẳng ABC

a) Chứng minh BCSAB

b) Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB Chứng minh AH SBC

c) Kẻ đường thẳng HK cắt BC tại I Chứng minh IASAC

Bài 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và SASC SB; SD

a) Chứng minh SOABCD

b) Gọi  d là giao tuyến của mặt phẳng SAB và SCD  , d1 là giao tuyến của mặt phẳng SBC và

SAD Chứng minh SOmp d d ; 1

Bài 26 Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF Chứng minh rằng:

a) ACH và BFK là hai tam giác vuông b) BF AH và ACBK

Bài 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD

và SAa

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S ABCD là các tam giác vuông

b) Từ A kẻ AB1SB tại B AD1, 1SD tại D1 Chứng minh mặt phẳng AB D1 1SC

c) Gọi C1 là giao điểm của SC với mặt phẳng AB D1 1 Chứng minh rằng tứ giác AB C D1 1 1 có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác đó

Bài 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều và

2

SCa Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

a) Chứng minh SH mp ABCD  b) Chứng minh ACSK CK; SD

Bài 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB2 ,a BCCDDAa,

SAmp ABCD Mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB SC SD, , lần lượt tại B C D  , , Chứng minh rằng:

a) ACmp SBC ; ADmp SBD  b) Tứ giác AB C D   nội tiếp một đường tròn

Dạng 2 Bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 30 Cho tứ diện đều ABCD Tính góc giữa đường thẳng AB và mp BCD 

Bài 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA, mp ABCD  và SAa 2 Tính góc giữa:

a) Đường thẳng SC SD, với mặt phẳng ABCD

b) Đường thẳng BD với mặt phẳng SAC

Bài 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SASBSCSDb và cùng hợp với đáy góc 60  Gọi I là trung điểm của CD Tính góc hợp bởi:

a) Đường thẳng SC với mp SBD 

b) Đường thẳng SI với mp SAB 

Bài 33 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC Biết góc giữa MN và ABCD bằng 60 

a) Tính độ dài MN và SO

b) Tính góc giữa MN và mp SBD 

Dạng 3 Bài toán xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Bài 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAABCD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc với SC

Bài 35 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA, ABC Gọi  P là mặt phẳng

đi qua điểm I thuộc cạnh AB và vuông góc với SB Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P , thiết diện là hình gì? Thiết diện có thể là hình chữ nhật được không?

Bài 36 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA, vuông góc với mp ABC  và

SAa Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:

a)   qua S và vuông góc với BC

b)   qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC

c)   qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB

CHUYÊN ĐỀ 4 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Dạng 1 Bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 37 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại ,B SA vuông góc với mặt phẳng ABC

a) Chứng minh SBC  SAB

b) Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh SBM  SAC

Bài 38 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại ,B SA vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi

H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC

a) Chứng minh AHK  SAC

b) Gọi I là giao điểm của HK với mặt phẳng ABC Chứng minh AI AC

Bài 39 Cho tứ diện ABCD, cạnh AD vuông góc với mặt phẳng DBC, AE BF, là hai đường cao của tam giác ABC H; và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và DBC Chứng minh rằng:

a) mp ADE mp ABC  và mp BFK mp ABC 

b) HK mp ABC 

Bài 40 Cho hình vuông ABCD S, là điểm trong không gian sao cho tam giác SAB đều và mp SAB 

vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Chứng minh mp SAB mp SAD  và mp SAB mp SBC 

b) Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh SHC  SDI

Bài 41 Trong mặt phẳng  P cho hình thoi , , 2 6

3

a ABCD ABa AC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  P tại giao điểm O của hai dường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SBa Chứng minh rằng:

a) Tam giác SAC vuông

b) Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng SAD

Bài 42 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ BB và CC về cùng một phía và cùng vuông góc với mặt

phẳng ABC

a) Chứng minh mp ABB  vuông góc với mp ACC .

b) Gọi AH và AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB C  Chứng minh rằng hai mặt phẳng

BCC B  và AB C  cùng vuông góc với mặt phẳng AHK

Dạng 2 Bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng

Bài 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABSAa BC, 2 ,a cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Tính:

a) Các góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp

b) Góc giữa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp

Bài 44 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

AB a SAa và vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD

Bài 45 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,a AA a Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCA.

Bài 46 Cho tứ diện S ABC , hai mặt phẳng SAB và SBC vuông góc với nhau và có SA vuông góc với mặt phẳng ABC,SBa 2, góc BSC bằng 45 , góc ASB bằng 

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với SB Tìm điểm cách đều các điểm S A B C, , ,

b) Xác định  để hai mặt phẳng SCA và SCB ạo với nhau góc 60 

Bài 47 cho hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau theo giao tuyến   Lấy hai điểm A B, cố định thuộc   sao cho ABa Gọi SAB là tam giác đều trong  P , ABCD là hình vuông trong  Q a) Tính góc giữa mặt phẳng SCD với các mặt phẳng  P và  Q

b) Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng B C và A D , với A B , tương ứng là các trung điểm của

SA SB Gọi H là iao điểm của đường cao SH của SAB với mặt phẳng A B CD  . Chứng minh rằng

SO vuông góc với SA và CD Tính góc giữa mặt phẳng A B O   với các mặt phẳng  P và  Q

Dạng 3 Bài toán xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

Bài 48 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD và ABSAa E, là trung điểm của SD Gọi  P là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng SDC

a) Mặt phẳng  P cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a

Bài 49 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O SA, vuông góc với mặt phẳng

ABCD và ABSAa E, là trung điểm của SD Gọi  P là mặt phẳng chứa OE và vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P

b) Tính diện tích thiết diện theo a

Bài 50 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tâm ,O SA vuông góc với mặt phẳng ABC và

SAa Gọi E là điểm trên SB sao cho ES 2EB H, là hình chiếu vuông gcó của A trên mặt phẳng

SBC

a) Xác định vị trí của điểm H trong tam giác SBC

b) Gọi  P là mặt phẳng chứa AE và vuông góc với mặt phẳng SBC Xác định thiết diện và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P

Bài 51 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D AB, 2 ,a ADDCa, SA

vuông góc với mặt phẳng ABCD, SAa

a) Chứng minh SAD  SCD và SAC  SBC

b) Gọi  P là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng SAC Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng  P cắt hình chóp

Bài 52 Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân, AB ACa AA,  2, AAABC I

và K lần lượt là trung điểm của BC và CC M, và N lần lượt là trung điểm của AC và BI

a) Chứng minh B C AIK

b) Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng   qua MN và vuông góc với AIK

CHUYÊN ĐỀ 5 KHOẢNG CÁCH

Dạng 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Bài 53 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi, A120 , BDa,cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng đáy là 60  Tính:

a) Đường cao của hình chóp

b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCB

Bài 54 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB, a AA, 2 ,a

3

A C  a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A C I , là giao điểm của AM và A C . Tính theo a

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC

Bài 55 Cho hình hộp đứng ABCD A B C D     có đáy là hình vuông, A AC vuông cân, A C a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD theo a

Bài 56 Cho lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình chữ nhật, ABa AD, a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng ADD A  và ABCD bằng 60  Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng A BD  theo a

Bài 57 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ACBD2 ,a góc BCA bằng 60 và

SASBSCSD Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABCD bằng 60  Gọi giao điểm của AC và BD là O

a) Chứng minh SOmp ABCD 

b) Gọi I là trung điểm AD Tính tang của góc  giữa đường thẳng SI và mp SBC 

c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC

d) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẳng SBC

Bài 58 Cho lăng trụ ABC A B C    có AA ABC và AA a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có

BC a ABa

a) Tính khoảng cách giữa AA và BCC B .

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC .

c) Chứng minh ABACC A 

d) Tính khoảng cách từ A đến ABC.

Bài 59 Cho lăng trụ ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng a Biết góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng A B C   trùng với trung điểm của cạnh B C 

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC.

c) Tính tang của góc giữa mặt phẳng ABB A  và mặt đáy

Bài 60 Cho hình lập phương ABCDA B C D    cạnh :a

a) Chứng minh B D BA C ; B D ACD

b) Tính khoảng cách giữa BA C  và ACD.

Bài 61 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a SA, a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC

c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng SAC

Bài 62 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có AB ACa, góc BAC bằng 2  Mặt phẳng A BC  tạo với

mặt đáy góc 60  Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng A BC .

Dạng 2 Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài 63 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC

bằng 60  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a