bai tap vecto 10 nang cao

1) Cho hình bình hành ABCD, cạnh a. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. I là trung điểm của AM.. K là trung điểm của MN. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, [r]

BÀI TẬP VECTƠ Dạng 1: Hình bình hành

1) Cho hình bình hành ABCD, cạnh a Tính:

a)  AB CD b) BC DA  c)  AO CO d) OD OB  e)  AB DC f)  AD BC

2) Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo M là điểm tùy ý Chứng minh:

a) AC BA AD    ;  AB AD AC.

b) Nếu  AB AD  CB CD  thì ABCD là hình chữ nhật.

c) MA MC MB MD     

d) BD AC    AD BC

e) OA OB OC OD       0

f) DA DB DC     0

3) Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b , 

Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG , theo a b, .

Dạng 2: Tam giác

1) Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh: BC   C A A B   .

b) Tìm các vectơ bằng B C C A    ,

2) Cho ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh:

RJ IQ PS 0  

   

3) Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh: 2IA IB IC     0.

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC    4OI.

4) Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Chứng minh: a) AH 2OM b) HA HB HC    2HO c) OA OB OC OH      .

5) Cho ABC đều cạnh a Tính  AB AC ;  AB AC .

6) Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HC  , ,

7) Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G

a) Chứng minh   AA BB CC   3GG.

b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm

8) Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh:

AM 1AB 2AC

3 3

 

  

9) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho

CN2NA K là trung điểm của MN Chứng minh:

a) a) AK 1AB 1AC

4 6

 

  

b) KD 1AB 1AC

4 3

 

  

10) Cho ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:

a) AB 2CM 4BN

3 3

  

  

c) AC 4CM 2BN

3 3

  

  

c) MN 1BN 1CM

3 3

 

  

11) Cho ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

MB3MC NA, 3CN PA PB,  0

      

a) Tính PM PN , theo  AB AC, b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.

12) Cho ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

a) Chứng minh:    AA BB CC1 1 10

b) Đặt BB1u CC,1v

Tính BC CA AB  , , theo u và v .

13) Cho ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho

5FB = 2FC

a) Tính AI AF theo AB và AC ,  .

b) Gọi G là trọng tâm ABC Tính AG theo AI và AF  .

14) Cho ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.

a) Chứng minh: HA5HB HC   0

b) Đặt AG a AH b, 

Tính AB AC , theo a và b .

Dạng 3: Tứ giác, ngũ giác, lục giác

1) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh:

MP QN MQ PN ; 

   

2) Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh:     AB BC CD  AE DE

3) Cho lục giác đều ABCDÈ nội tiếp đường trịn tâm O, và M là một điểm bất kỳ Chứng minh:

a) OA OB OC OD OE OF           0

b) MA MC ME MB MD MF         

4) Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính   AB AC AD  .

5) Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ  AB AD ,  AB AC ,  AB AD .

6) Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng:

a) a) AM 1OB OA

2

 

  

b) BN 1OC OB

2

 

  

c)

MN 1 OC OB

2

 

  

7) Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC và BD  theo các vectơ AB và AF.

8) Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo các vectơ

OA OB OC  , , .

Dạng 4: Các điểm bất kỳ

1) Cho 4 điểm A, B, C, D Tìm các vectơ sau đây:

a) DC AB BD   

b)    AB CD BC DA  

c)    AB AD CB CD  

d)    AB CD BA CC  

2) Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

a)    AB DC AC DB  

b)      AD BE CF AE BF CD     .

3) Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh:

a) Nếu AB CD  thì AC BD 

b)    AC BD AD BC   2IJ.

c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0       

d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm

4) Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:

2(      ) 3 

5) Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh:    AB CD AD CB