Các dạng toán tự luận oxy lớp 10

Các khái niệm cần học trước khi đọc tài liệu: - Để làm được toán trong chương này, các em cần hiểu rõ khái niệm vecto chỉ phương u vecto cùng phương với đường thẳng và pháp tuyến n ve

1 Các khái niệm cần học trước khi đọc tài liệu:

- Để làm được toán trong chương này, các em cần hiểu rõ khái niệm vecto chỉ phương u ( vecto cùng phương với đường thẳng) và pháp tuyến n ( vecto phương vuông góc đường thẳng)

- Khi viết phương trình đường thẳng, ta phải biết một điểm đi qua và vecto pháp tuyến hoặc chỉ phương

- Nếu đường thẳng viết dưới dạng ax by c  0 thì vecto pháp tuyến là n a b ; còn vtcp ub a; 

hoặc u b ;a

- Trong phương trình tổng quát ta sử dụng vecto pháp tuyến, phương trình chính tắc và tham số sử dụng vecto chỉ phương

2 Phương trình tham số của đường thẳng:

Đường thẳng  đi qua M x y0( ; ) và có VTCP u0 0 ( ; )u u1 2

Phương trình tham số của : x x tu

4 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

Đường thẳng Δ đi qua điểm M x y 0 0;  có vecto pháp tuyến n a b có phương trình tổng quát là:  ;

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

 

y k x x y

DẠNG 1: TÌM VTCP – VTPT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp:

Ta quan sát xem đường thẳng bài cho viết dưới dạng nào, rồi dựa vào công thức để tìm

Nếu đường thẳng viết dưới dạng   

  



x x tu

y y tu hoặc



u u thì vecto chỉ phương u u u  1 2; 

Nếu đường thẳng viết dưới dạng ax by c  0 thì vecto pháp tuyến n a b  ;

Nếu hai đường thẳng song song, chúng cùng vecto chỉ phương và pháp tuyến Nếu hai đường thẳng vuông góc, vecto chỉ phương của đường thẳng này là vecto pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại Nếu đường thẳng có vecto chỉ phương là u u u thì nó có vecto pháp tuyến là  1 2;  n u 2;u hoặc 1  2 1;  n u u Bài 1 Tìm 1 vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của các đường thẳng sau: a) x4y 1 0 Ta có: vecto pháp tuyến của đường thẳng là  1;4 n nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng là u4; 1  ( hoặc u4;1 ) b) 2017x2018y2019 0 ………

………

………

………

c)     1 3 3 2 x y Ta có vecto chỉ phương của đường thẳng là u3;2 nên 1 vecto pháp tuyến của đường thẳng là n 2;3 hoặc n 2; 3 d)      10 11 2018 2019 x x ………

………

………

………

e)          1 ; 2 3 x t t y t Ta có: vecto chỉ phương của đường thẳng là  1;3 u nên 1 vecto pháp tuyến của đường thẳng là n3; 1  f)          1 ; 2 3 x t t y t ………

………

………

………

g) y 2x3 Ta có: y 2x 3 2x y  3 0 h) y  x 2020 ………

Vecto pháp tuyến của đường thẳng là n 2;1 nên

1 vecto chỉ phương của đường thẳng là u1; 2 

………

………

………

Bài 2 Tìm 1 vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng d biết: a) d song song d' : x y  1 0 Ta có: n d' 1;1 Vì d d nên vecto pháp / / ' tuyến của đường thẳng d là n d n d' 1;1  vecto chỉ phương của đường thẳng d là:  1;1 d u b) d song song với     1 1 2 3 x y ………

………

………

………

c) d vuông góc với d' : x3y 2 0 Ta có: n d' 1;3 Vì d d nên vecto pháp  ' tuyến của d’ là vecto chỉ phương của đường thẳng d, suy ra u d n d' 1;3 suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng d là: n d3; 1  x y ………

………

………

………

Bài 3 Tìm 1 vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của các đường thẳng sau:

a) 2x y  3 0 b)  





c)   

  



3 2

y t d) y  2x 1

e) 5x y  1 0 f)  

  



3 2

x

y t

g) 2x   3 y 1 0 h) 1 2018

2 2019

Bài 4 Tìm 1 vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng d biết:

a) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2016x2017y 5 0

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng    

x y 20222021 ;t t t c) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y  2x 2

vuông d) d góc với 2  30

d) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng   



DẠNG 2: CHUYỂN ĐỔI GIỮA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT – THAM SỐ - CHÍNH TẮC

1 Chuyển phương trình đường thẳng từ dạng tổng quát ax by c  0 về tham số, chính tắc: Phương pháp:

Cách 1: Tìm vtpt n a b ; vtcpub a; 

Tìm điểm đi qua M x y 0 0;  ( bằng cách cho trước 1 giá trị, rồi tính giá trị còn lại theo giá trị vừa cho)

Cách 2: Đặt x f t  hoặc y f  t rồi rút ẩn còn lại theo t để đưa về dạng tham số

2 Chuyển phương trình chính tắc hoặc tham số về tổng quát

Phương pháp:

Cách 1: Tìm vtcp u a b ; vtpt nb a; 

Tìm điểm đi qua M x y 0 0;  ( bằng cách cho trước 1 giá trị, rồi tính giá trị còn lại theo giá trị vừa cho)

Cách 2: Khử t ( hoặc nhân quy đồng ) để đưa về phương trình tổng quát

Cách 3: Lấy 2 điểm thuộc đường thẳng rồi chuyển về viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm

Bài 1 Hãy chuyển phương trình trên về dạng tham số, chính tắc:

a) d x: 4y 1 0

Cách 1: Đường thẳng d có vecto pháp tuyến là

 1;4  4; 1 

Cho y   0 x 1 d đi qua điểm M 1;0

Vậy phương trình chính tắc là:  



1

Phương trình tham số là:    

  

x y 1 4 ;t t t

Cách 2: Đặt y t    x 1 4t phương trình

tham số của d là:    

 

x 1 4 ;t t

em có thể đặt y t 1;y3 t hoặc đặt

b) 2x y  5 0

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

 1; 3

x t x t rồi rút y theo t Từ phương trình tham số       x 1 4 ;t t y t suy ra phương trình chính tắc:    1 4 1 x y ( bằng cách khử t ở x và y) Cách 3: Cho y   0 x 1 đường thẳng đi qua A 1;0 Cho y    1 x 3 đường thẳng đi qua điểm  3;1 B Phương trình chính tắc của đường thẳng là:           1 0 1 3 1 1 0 3 1 x y x y Phương trình tham số của đường thẳng là:       x y t1 3 ;t t ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Chuyển phương trình đường thẳng sau về dạng tổng quát và chính tắc: a)         3 ; 1 2 x t t y t PTCT: Vecto chỉ phương: u1;2 ;  M 3;1 nên phương trình chính tắc là:     3 1 1 2 x y Có thể khử t để chuyển về chính tắc:                        3 3 1 3 1 1 2 1 1 2 2 x t x y x t y t t y PTTQ: Vì u1;2n 2;1 Phương trình tổng quát:           2 x 3 1 y 1 0 2x y 7 0 Hoặc: Từ phương trình chính tắc: b)          1 2020 ; 2018 2019 x t t y t ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

   



x y x y x y ………

………

Bài 3 Chuyển phương trình đường thẳng sau về dạng tổng quát và tham số: a)     1 3 4 7 x y PTTS: u4;7 , đường thẳng qua M1;3 Phương trình tham số:          1 4 ; 3 7 x t t y t PTTQ: Từ             1 3 7 1 4 3 4 7 x y x y Suy ra 7x4y 5 0 Hoặc: u4;7n 7;4 và qua M1;3 nên phương trình tổng quát là:           7 x 1 4 y 3 0 7x 4y 5 0 b)     5 2 4 1 x y ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 4 Hãy chuyển phương trình trên về dạng tham số, chính tắc:

a)  2x3y6 b) y2x10

c) x2y 3 0 d) 3x 1 2  y 1 0

e) 2x 1 4 y25 f) 3x   1 y 3

Bài 5 Chuyển phương trình đường thẳng sau về dạng tổng quát:

a) 1 2 ;

2 5

t R

 





   

x  y

 c)  

 







1

1 2

x y



  



1 1

x t

y t

DẠNG 3: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Lập phương trình đường thẳng biết một điểm đi qua và vec tơ pháp tuyến hoặc chỉ phương Phương pháp:

 Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng  ta cần xác định một điểm M x y0( ; )0 0  và một VTCP u( ; )u u1 2 của 

PTTS của : x x tu

y y00 tu12

  

  

 ; PTCT của : x x y y

u1 0 u2 0

 (u 1 0, u 2 0)

 Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định một điểm M x y0( ; )0 0  và

một VTPT n( ; )a b của  PTTQ của : a x( x0)b y y(  0) 0

Chú ý trong PTTS và PTCT dùng vecto chỉ phương, PTTQ dùng vecto pháp tuyến

Bài 1 Lập phương trình tổng quát, chính tắc, tham số của đường thẳng biết:

a) Đường thẳng qua A 1; 4 và cĩ u 2;7

Phương trình chính tắc là:  



Phương trình tham số là:    

   

 1 2 ;

4 7

Phương trình tổng quát:

7 2 15 0

x y

Hoặc từ u 2;7 n7; 2 , qua A 1; 4 từ đĩ

viết PTTQ:

         

7 x 1 2 y 4 0 7x 2y 15 0

b) Đường thẳng qua B6;2 cĩ u 3;5

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Lập phương trình tổng quát, chính tắc, tham số của đường thẳng biết: a) Đường thẳng qua A 2;4 và cĩ n 1; 3 Phương trình tổng quát của đường thẳng là           1 x 2 3 y 4 0 x 3y 10 0 Vì n 1; 3 u 3;1 b) Đường thẳng qua B 5;1 cĩ n 2;5 ………

………

………

………

Phương trình tham số:    

  

x y 42 3 ;t t t Phương trình chính tắc: 2  4

………

………

………

Bài 3 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và cĩ VTCP u : a) M–2;3 u; (5; 1) b) M–1;2 ,u  ( 2;3) c) M3;–1 , u  ( 2; 5) d) M 1;2 ,u(5;0) e) u(0;3); M7 –; 3 f) MO 0;0 ,u( ;5)2 Bài 4 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và cĩ VTPT n : a) M–2;3 , n(5; 1) b) M–1; 2 , n ( 2;3) c) M3;–1 , n  ( 2; 5) d) M 1;2 ,n(5;0) e) M7;–3 , n(0;3) f) MO 0;0 ,n( ;5)2 2 Lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và biết hệ số gĩc k Phương pháp: Sử dụng cơng thức phương trình đường thẳng qua điểm M x y 0; 0 cĩ hệ số gĩc k là:  0 0 yk xx y Bài 1 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ a) Qua điểm M 3;1 và cĩ hệ số gĩc k 2 Phương trình đường thẳng là:    2      3 1 2 5 y x y x c) Qua K2;0 và tạo Ox một gĩc 300 Vì đường thẳng tạo với Ox một gĩc 300 nên tan300  3 3 k Phương trình đường thẳng là:  3 2 3 y x

b) Qua điểm N4; 10  và cĩ hệ số gĩc k3 ………

………

………

d) Qua K2;0 và tạo Ox một gĩc 300 ………

………

………

………

………

Bài 2 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và cĩ hệ số gĩc k:

a)M–2;1 , k–1 b)M–3;4 , k3 c) M 5;2 ,k1

d)M–3;–5 , k–1 e)M2;–4 , k0 f) M O  0; 0 ,k4

3 Lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song, vuơng gĩc với đường thẳng d

Phương pháp: Hai đường thẳng song song cĩ cùng vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến Sau đĩ

chuyển bài tốn về viết ptđt biết điểm đi qua và vtpt ( vtcp)

Cách giải nhanh: Cho d ax by c 0:   

- Đường thẳng song song với d cĩ dạng: ax by d   0d c  Thay tọa độ điểm đi qua tìm d

- Đường thẳng vuơng gĩc với d cĩ dạng: bx ay e  0 Thay tọa độ điểm đi qua tìm e

Bài 1 Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của

đường thẳng đi qua điểm M1;5 và song

song với đường thẳng d x: 4 10 0y 

Giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là Δ

Đường thẳng d cĩ n d 1; 4 u d 4;1

vì Δ/ /dnΔ n d  1; 4 ; uΔu d 4;1

Phương trình TQ đường thẳng Δ qua M1;5

và cĩ nΔ 1; 4 là:

         

1 x 1 4 y 5 0 x 4y 21 0

Phương trình tham số của Δ :

  

x y 51 4 ;t t t

Phương trình chính tắc của : 1 5

Cách giải nhanh:

Vì Δ/ /d phương trình Δ cĩ dạng:

4  0; 10

Vì M1;5   Δ 1 4.5 c 0 c 21(tm)

b) Viết phương trình chính tắc, tham số, tổng quát của đường thẳng đi qua B 3;1 và song song với đường thẳng   



………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

d'

d'

u n

M

M

Vậy d x: 4y21 0

c) Lập phương trình tổng quát ,tham số, chính

tắc của đường thẳng d qua A 1;3 và song song

Ox

Giải:

Đường thẳng d song song Ox cĩ dạng: y a 

Vì A 1;3    d a 3 phương trình tổng quát của đường thẳng là: y3    / / d 1;0 d Ox u , A 1;3 d Phương trình tham số:      x t t y 3; (Khơng cĩ phương trình chính tắc) e) Lập phương trình đường thẳng d qua A1;3 và song song Oy Giải: Đường thẳng d song song Oy cĩ dạng :  x a , vì A1;3    d a 1 phương trình tổng quát của d là: x 1        / / d 0;1 ; 1;3 d Oy u A d Phương trình tham số:         1 ; 3 x t y t Khơng cĩ phương trình chính tắc d) Lập PTTQ, TS, CT của đường thẳng qua 1;7 B và song song Ox ………

………

………

………

………

………

………

………

………

f) Lập phương trình đường thẳng d qua 2; 5  M và song song Oy ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M 2;3 và song song với đường thẳng d: 4 10 1 0x y 

Bài 3 Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M(2;3) và vuơng gĩc với

đường thẳng d: 4 10 1 0x y 

Bài 5 Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với

đường thẳng d:

a) M 1;1 ,d :x2y 1 0 b)M–1;2 , / / d Ox c) M 4;3 , / /d Oy

  



1 2;–3 , : x y 3 24t t



1 0;3 , : 4

Bài 6 Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuơng gĩc với

đường thẳng d:

a) M 2; 3 , : 4d x10y 1 0 b) M–1; 2 , d vuơng gĩc Ox

c) M(4; 3), d vuơng gĩc Oy d) M(2; –3), d: x t

y 1 23 4t

  

  



e) M(0; 3), d: x 1 y 4 3 2     4 Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B: Phương pháp: Cách 1: +  đi qua hai điểm A x y( ; ) , ( ; ) (với A A B x y B B x A x y B, A y B):PT của : A A B A B A x x y y x x y y      +  đi qua hai điểmA a   ;0 , 0;B b a b , ( 0) : PT của : x y a b 1 Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y ax b Thay tọa độ hai điểm đi qua vào giải   tìm được a b,  phương trình đường thẳng Cách 3: Tìm vtcp u AB Lúc này bài tốn trở về viết phương trình đường thẳng biết vtcp u AB và đi qua điểm A ( hoặc điểm B) Bài 1 Lập PTTS, PTCT ,PTTQ của đường thẳng đi qua hai điểm a) A2;4 , 1;0  B Cách 1: Phương trình đường thẳng là:           2 4 2 4 1 2 0 4 3 4 x y x y Cách 2: Gọi đường thẳng cần tìm là :   y ax b Thay tọa độ A2;4 , 1;0  B để tìm a b,  đường thẳng Cách 3: Đường thẳng AB nhận AB3; 4  làm vecto chỉ phương và qua A2;4 b) A4;2 ;  B 1;0 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

nên phương trình chính tắc đường thẳng

 Hai đường thẳng cho dạng tổng quát: 1 : a x b y c1  1  1 0 và 2 : a x b y c2  2  2 0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: a x b y c

a x b y c12 12 12

00

 Hai đường thẳng cho dưới dạng 1 tổng quát, 1 tham số:

Cách 1: Chuyển tham số về tổng quát rồi dùng cách trên

Cách 2: Thay x, y từ phương trình tham số vào tổng quát để tìm t rồi suy ra vị trí tương đơi

 Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta cĩ thể thực hiện như sau:

– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng

– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đĩ

Bài 1 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm

của chúng:

Bài 2 Cho hai đường thẳng d và  Tìm m để hai đường thẳng:

i) cắt nhau ii) song song iii) trùng nhau

DẠNG 5: TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM M LÊN ĐƯỜNG THẲNG d TÌM ĐIỂM M ĐỐI

XỨNG VỚI ĐIỂM M QUA d