XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở LỚP 10

Bộ GD&ĐT 2015 trong Công văn số 4509/BGDĐT-GDTrH về việc “Hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ giáo dục trung học năm học 2015-2016” đã nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học, đá

DOI:10.22144/jvn.2017.638

XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở LỚP 10: THỰC NGHIỆM NHỎ

TẠI THÀNH PHỐ CẦN THƠ

Bùi Anh Tuấn, Ngô Tùng Hiếu và Bùi Hồng Duyên

Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ

Thông tin chung:

Ngày nhận:16/12/2016

Ngày chấp nhận: 27/02/2017

Title:

Building the real-world mathematical

problems in Grade 10: A pilot study in

Can Tho city

Từ khóa:

Toán học thực tế, bài toán thực tế, mô

hình hóa, PISA

Keywords:

Modeling, PISA, realistic mathematics

education, real-world mathematical

problem

ABSTRACT

The application of the real-world mathematical problems in teaching mathematics is a contemporary trend This article is aimed to present a pilot study in Can Tho city about building two real-world mathematical problems in Grade 10 Thereby, it is also to propose a useful process in the construction of the real-world mathematical problems which can apply to teaching mathematics in upper high schools in Vietnam

TÓM TẮT

Việc áp dụng các bài toán thực tế vào dạy học toán là một xu hướng đương đại Bài viết này trình bày một thực nghiệm nhỏ tại thành phố Cần Thơ về việc xây dựng hai bài toán thực tế ở lớp

10 Qua đó, bài viết cũng đề xuất một quy trình hữu ích trong việc xây dựng các bài toán thực tế có thể áp dụng vào dạy học Toán ở các trường trung học phổ thông tại Việt Nam

Trích dẫn: Bùi Anh Tuấn, Ngô Tùng Hiếu và Bùi Hồng Duyên, 2017 Xây dựng các bài toán thực tế ở lớp 10:

Thực nghiệm nhỏ tại thành phố Cần Thơ Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 48c: 1-11

1 GIỚI THIỆU

Toán học thực tế (Realistic Mathematics

Education, RME) đã được hình thành và phát triển

tại Viện Freudenthal ở Hà Lan vào khoảng những

năm 1970.Theo Freudenthal (1991), RME có hai

quan điểm cốt lõi:

 Toán học phải được kết nối với thực tế, gần

gũi với trẻ em và có liên quan đến các tình huống

trong cuộc sống hàng ngày

 Toán học là một hoạt động của con người,

liên quan đến xã hội loài người

Cần hiểu rằng, Toán học thực tế ở đây không

hẳn hoàn toàn là các tình huống liên quan đến thế

giới thực mà nó cũng bao gồm các tình huống có

vấn đề (problem situation) với nội dung liên quan

đến toán học được mô phỏng từ thực tế trong một

bối cảnh dạy học cụ thể Lang (1996) khẳng định

rằng các tình huống có vấn đề cũng bao hàm các

ứng dụng và các tình huống mô hình hóa

(modeling)

Hiện nay, tư tưởng RME đã được áp dụng khá phổ biến tại nhiều quốc gia trên thế giới như: Anh, Đức, Đan Mạch, Tây Ban Nha, Bồ Đào Nha ở châu Âu; Hoa Kỳ, Brazil ở châu Mỹ; Nhật Bản và Malaysia ở châu Á (Lange, 1996) Đặc biệt, từ năm

2000, RME đã được đưa vào kỳ thi đánh giá học

sinh quốc tế mang tên “Chương trình đánh giá học

sinh quốc tế” (Programe for International Student Assessment) gọi tắt là PISA do tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organization for Economic Cooperation and Development, OECD) tiến hành

(OECD, 2014) Theo Bùi Anh Tuấn et al (2014), PISA làkiểu đánh giá sản phẩm (thông qua bài làm

của học sinh) và nó làloại test nhằm kiểm tra trình

độ của người học (không phụ thuộc chương trình

và tài liệu học sinh đã học)

Nằm trong trào lưu hiện đại hóa giáo dục toán

học của thế giới, nước ta cũng bắt đầu tiếp cận các

tư tưởng của RME Bộ GD&ĐT (2015) trong Công

văn số 4509/BGDĐT-GDTrH về việc “Hướng dẫn

thực hiện nhiệm vụ giáo dục trung học năm học

2015-2016” đã nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ

phương pháp dạy học, đánh giá học sinh nhằm

phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và rèn

luyện phương pháp tự học của học sinh; tăng

cường kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kĩ

năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn; đa dạng

hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt động

trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học

sinh; đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và

truyền thông trong dạy và học”

Công văn trên cho thấy việc áp dụng các tư

tưởng RME tại Việt Nam đã được đưa vào một

cách cụ thể và mang tính ràng buộc Đây có thể là

một lý do cho việc các công trình nghiên cứu về

dạy học toán gắn liền thực tế ở Việt Nam xuất hiện

khá nhiều gần đây Tuy nhiên, phần lớn các nghiên

cứu chỉ dừng lại ở vấn đề khảo sát, đánh giá năng

lực học sinh hoặc đề xuất các tình huống mang

nặng tính lý thuyết chứ không là một tình huống có

thể ứng dụng ngay vào dạy học hoặc dùng để đánh

giá kết quả học tập của học sinh trung học phổ

thông (THPT) Vì vậy, chúng tôi tiến hành nghiên

cứu này nhằm bước đầu đề xuất các tình huống

toán học gắn liền thực tế có thể sử dụng vào việc

dạy học hoặc đánh giá học sinh ở bậc THPT dựa

trên nền tảng của tư tưởng mô hình hóa toán học

2 CỞ SỞ LÝ LUẬN

2.1 Dạy học bằng mô hình hóa

Theo Common Core State Standards (2016),

mô hình hóa toán học là một tiến trình lựa chọn và

sử dụng các công cụ toán học và thống kê thích

hợp để phân tích các tình huống thực tế, để hiểu chúng tốt hơn và để cải tiến các quyết định.  Theo Lê Thị Hoài Châu (2011), việc dạy học toán có thể được thực hiện theo hai tiến trình:

 Trình bày tri thức toán học lý thuyết  Vận dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn

 Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Trả lời bài toán thực tiễn  Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức  Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác có liên quan đến tri thức đó, cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp

Lê Thị Hoài Châu (2011) gọi tiến trình thứ nhất

là dạy học mô hình hóa và chỉ ra ưu điểm cũng như nhược điểm đối với tiến trình này: “Đối với mô hình này, sẽ tiết kiệm được thời gian, tuy nhiên khi học sinh gặp phải một vấn đề thực tế sẽ cảm thấy lúng túng vì không thể xây dựng mô hình toán học phù hợp để giải quyết vấn đề”

Đối với tiến trình thứ hai, cách thức dạy học

này được gọi là dạy học bằng mô hình hóa Dạy

học bằng mô hình này được hình thành từ các vấn

đề thực tiễn, do đó có thể giúp khắc phục nhược điểm của việc dạy học theo tiến trình thứ nhất vừa

đề cập Nó giúp cho học sinh nhận thức tốt hơn và tăng khả năng trong việc tìm kiếm, xây dựng các

mô hình để giải quyết các tình huống gặp phải trong thực tiễn cuộc sống (Lê Thị Hoài Châu, 2011)

2.2 Quy trình mô hình hóa

Theo Common Core State Standards (2016), chu trình cơ bản của mô hình hóa được thể hiện qua sơ đồ sau:

Theo sơ đồ này, để thực hiện một chu trình mô

hình hóa, ta cần tiến hành theo 6 bước:

 Từ vấn đề (problem) phát sinh trong tình

huống, ta xác định các biến số của tình huống và

lựa chọn khung lý thuyết để mô phỏng những yếu

tố then chốt;

 Xây dựng (formulate) một mô hình bằng

cách tạo ra và lựa chọn các đối tượng hình học, đồ

thị, biểu bảng, đại số hoặc thống kê để mô tả mối

quan hệ giữa các biến số;

 Phân tích, thiết lập các phép toán trong các mối quan hệ và tính toán (compute) để tìm ra kết luận;

 Diễn giải (interpret) các kết quả toán học trong kết luận về lại tình huống ban đầu;

 Xác nhận (validate) lại xem kết luận có phù hợp hay không bằng việc so sánh nó với tình huống ban đầu và cải tiến mô hình (sau đó, lặp lại chu trình từ bước 2) hoặc nếu chấp nhận các kết quả thì

 Viết báo cáo (report) kết luận và giải thích

lý do chấp nhận các kết quả này

3 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN

Dựa vào ý tưởng của 6 bước mô hình hóa,

chúng tôi đề xuất một Quy trình xây dựng các bài

toán thực tế, có thể dùng cho việc dạy và học toán,

gồm 6 bước như sau:

 Phân tích nội dung chương trình và lên ý

tưởng thiết kế bài toán;

 Xây dựng bài toán và cách giải (có thể thiết

kế lại bài toán dưới dạng các phiếu học tập);

 Phân tích tiên nghiệm (a priori);

 Thực nghiệm trên nhóm ít nhất 30 học sinh;

 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori), so sánh

kết quả thực nghiệm với kết quả tiên nghiệm để cải

tiến bài toán, sau đó, lặp lại Quy trình từ bước 2,

hoặc nếu chấp nhận bài toán đã cải tiến thì

 Lưu trữ để sử dụng

Các quy trình nói trên được áp dụng vào việc

thiết kế các bài toán thực tế ở lớp 10 Kết quả

nghiên cứu được trình bày dưới đây, theo đúng tiến trình 6 bước

3.1 Phân tích nội dung chương trình Toán lớp 10 và các ý tưởng thiết kế bài toán thực tế

3.1.1 Phân tích nội dung chương trình Toán lớp 10

Theo Quyết định số 1893/QĐ-BGDĐT của Bộ Giáo dục và Đào tạo (2016), cấp THPT có ít nhất

37 tuần thực học (học kỳ I có ít nhất 19 tuần, học

kỳ II có ít nhất 18 tuần) Ngoài ra, Quyết định số

1893 cũng quy định thẩm quyền ban hành kế hoạch thời gian năm học 2016-2017 thuộc về chủ tịch Ủy ban tỉnh, thành phố trực thuộc Trung ương Như vậy, Quyết định này cho thấy kế hoạch thời gian của chương trình THPT hiện nay đã được phân cấp

cho địa phương chủ động thực hiện, không còn một

kế hoạch chung cho toàn quốc như trước đây

Để đi vào chi tiết, cần tiếp cận một khung kế hoạch thời gian cho chương trình lớp 10 của một trường THPT ở Cần Thơ Sau đây là khung kế hoạch thời gian cho chương trình toán lớp 10 của trường THPT Lưu Hữu Phước (Cần Thơ) năm học 2016-2017:

Cả năm

105 tiết

Đại số

62 tiết

Hình học

43 tiết Học kì I

19 tuần

54 tiết

32 tiết

13 tuần x 2 tiết = 26 tiết

6 tuần x 1 tiết = 6 tiết

22 tiết

13 tuần x 1 tiết = 13 tiết

3 tuần x 2 tiết = 6 tiết

3 tuần x 1 tiết = 3 tiết

Học kì II

18 tuần

51 tiết

30 tiết

12 tuần x 2 tiết = 24 tiết

6 tuần x 1 tiết = 6 tiết

21 tiết

12 tuần x 1 tiết = 12tiết

3 tuần x 2 tiết = 6 tiết

3 tuần x 1 tiết = 3 tiết

Theo đó chương trình Toán lớp 10 phổ thông,

gồm 105 tiết chia làm 2 phần: Đại số và Hình học với tỉ lệ như sau:

Phần Số lượng Cả năm Tỉ lệ Số lượng Học kỳ I Tỉ lệ Số lượng Học kỳ II Tỉ lệ

Từ bảng ta thấy, tỉ lệ số tiết Đại số cả năm

chiếm ưu thế so với số tiết Hình học (59% so với

41%, gấp gần 1,5 lần) Việc chiếm ưu thế này cũng

lặp lại ở tỉ lệ tiết Đại số và tỉ lệ tiết Hình học ở cả

hai Học kỳ I và II

Xét ở góc độ phân bố chương trình, ta thấy Đại

số gồm 6 chương như sau:

 Chương 1: Mệnh đề Tập hợp (08 tiết)

 Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai (07

tiết)

 Chương 3: Phương trình & hệ phương trình (10 tiết)

 Chương 4: Bất đẳng thức & bất phương trình (13 tiết)

 Chương 5: Thống kê (08 tiết)

 Chương 6: Cung và góc lượng giác Công thức lượng giác (08 tiết)

Trong khi đó, Hình học chỉ gồm vỏn vẹn 3 chương:

 Chương 1: Véctơ (12 tiết)

 Chương 2: Tích vô hướng của hai véctơ và

ứng dụng (12 tiết)

 Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng (12 tiết)

Từ đây có thể thấy mức độ ưu tiên gần gấp

đôi của Đại số so với Hình học trong thể chế dạy

học toán lớp 10 THPT

3.1.2 Ý tưởng thiết kế các bài toán thực tế ở

lớp 10

Chương trình Toán lớp 10 phân chia khá rõ hai

phần là Đại số và Hình học, vì vậy, chúng tôi tiến

hành thiết kế hai bài toán thực tế, mỗi phần một bài

toán

Như đã phân tích ở mục a), ở phần Đại số,

chương Phương trình & Hệ phương trình chiếm

thời lượng 10 tiết, đứng thứ hai (chỉ sau chương

Bất đẳng thức & bất phương trình với 13 tiết) Tuy

nhiên, ở góc độ chuyên môn, chương Phương trình

& Hệ phương trình mang tính hỗ trợ và làm nền

tảng để học tốt chươngBất đẳng thức & bất

phương trình Do đó, chúng tôi lựa chọn chương

Phương trình & hệ phương trình để thiết kế bài

toán thực tế “Lá cờ Việt Nam” dựa trên ý tưởng

của Trần Mỹ Tiên (2014)

Về bài toán “Lá cờ Việt Nam”, chúng tôi nhằm

đánh giá kiến thức của học sinh về phương trình

quy về bậc hai, đồng thời kết hợp hình ảnh lá cờ Tổ

quốc với hình ảnh về tỉ lệ vàng nhằm tăng cường

tính liên môn trong dạy học toán

Đối với phần Hình học, cả ba chương đều được

phân bố thời lượng như nhau với 12 tiết Tuy

nhiên, kiến thức của chương Tích vô hướng của hai

vectơ và ứng dụng khá quan trọng trong tổng thể

chương trình Hình học bậc Trung học phổ thông;

vì vậy, chúng tôi đề xuất một bài toán thực tế trong

chương này (bài toán “Công viên hình tam giác”,

phát triển từ ý tưởng của Trần Mỹ Tiên (2014))

Bài toán “Công viên hình tam giác” đề cập đến

kiến thức về độ dài véctơ Chúng tôi lựa chọn bài

toán này vì kiến thức về véctơ được vận dụng khá

nhiều trong cả đại số và hình học, đặc biệt là trong

chương Phương pháp tọa độ trong không gian

Oxyz sẽ học trong chương trình toán lớp 12

3.2 Bài toán “Lá cờ Việt Nam”

3.2.1 Nội dung bài toán “Lá cờ Việt Nam” và

các phiếu học tập

Bài toán: Tại sao Hiến pháp nước ta năm 2013

quy định lá cờ Việt Nam có chiều rộng bằng 2

3 chiều dài? Điều này có liên quan gì đến toán học?

Lời giải

Gọi a, b lần lượt là chiều rộng và chiều dài của

hình chữ nhật Chia hình chữ nhật ban đầu thành

một hình vuông cạnh avà một hình chữ nhật mới

có chiều rộng và chiều dài lần lượt là a , b 

Ta định nghĩa hình chữ nhật là “hình chữ nhật

vàng” khi và chỉ khi

a

a b b

a b







 (1)

Đặt      0 

b a

Theo (1) ta có  1  1  2    1  0



 Giải phương trình trên ta nhận nghiệm 2

5

1 







Ta nhận thấy rằng

2

5

1 





 là một tỷ số vàng Vì vậy, ta có thể tạo ra một hình chữ nhật vàng với tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài là

2

5

1 





b a

Vì lá cờ Việt Nam có tỉ lệ giữa chiều rộng và

chiều dài là 2 1 5

 

 nên lá cờ Việt Nam

được xem như hình chữ nhật vàng

Các phiếu học tập: Để tiến hành thực nghiệm

bài toán “Lá cờ Việt Nam”, chúng tôi thiết kế

thành 2 phiếu học tập như sau:

Phiếu 1

Tại sao Hiến pháp nước ta năm 2013 quy định

lá cờ Việt Nam có chiều rộng bằng

3

2

chiều dài? Điều này có liên quan gì đến toán học?

Phiếu 2

Vài nét về tỷ lệ vàng

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều rộng và

chiều dài lần lượt là a, b Lấy M, N lần lượt trên AB, CD sao cho AMND là hình vuông Hình chữ nhật BCNM có chiều rộng và chiều

dài lần lượt là a , b  Ta định nghĩa ABCD là

hình chữ nhật vàng khi và chỉ khi

a

a b b

a b





Câu hỏi

1 Gọi tỷ lệ  

b

a

(hằng số) là tỷ lệ vàng

Hãy tính  dựa vào phương trình

a

a b b

a  

2 Xem lá cờ Việt Nam là một hình chữ nhật

Theo em, tỷ lệ chiều rộng bằng

3

2

chiều dài có liên quan gì đến tỷ lệ ?

3.2.2 Phân tích tiên nghiệm

Phiếu 1

Đây là câu hỏi nhằm tạo sự tò mò và hứng thú

cho học sinh, bước đầu cho học sinh làm quen với

mô hình hóa toán học Ngoài ra, qua câu hỏi trong

phiếu 1, chúng tôi cũng có thể đánh giá mức độ khó

khăn mà học sinh gặp phải khi gặp một bài toán

mô hình hóa từ thực tế

Về các câu trả lời dự kiến, có thể học sinh sẽ

cho rằng lá cờ có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài là

do tính thẩm mĩ, nhìn đẹp mắt, nhưng học sinh

chưa giải thích được theo cách khoa học

Phiếu 2

Các khái niệm “Hình chữ nhật vàng” được đưa

vào phiếu 2 này nhằm gợi ý cho học sinh một cách

tiếp cận khoa học cho Bài toán

Lời giải dự kiến có thể dựa vào phương trình bậc hai như sau:

“Đặt      0 

b a

Theo (1) ta có  1  1  2    1  0





Giải phương trình trên ta nhận nghiệm

2

5

1 





Ta nhận thấy rằng

2

5 1





vàng Vì vậy, ta có thể tạo ra một hình chữ nhật vàng với tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài là

2

5

1 





b

a

”

Ở câu hỏi 2, học sinh có thể trả lời rằng tỉ số ௔௕

trên gần bằng vớiଶଷ, từ đây học sinh có thể giải thích được câu hỏi ở phiếu 1 theo cách khoa học

3.2.3 Thực nghiệm và kết quả

Quá trình thực nghiệm được tiến hành trên 82

học sinh của hai lớp 10B1 và 10B2 của trường

THPT Bùi Hữu Nghĩa vào tháng 03/2014 Sĩ số

mỗi lớp thực nghiệm đều trên 30 để đảm bảo có ý

nghĩa thống kê

Thời gian làm bài của học sinh là 30 phútdành

cho cả hai phiếu Các phân tích được tiến hành

trong năm 2014 và 2015 được trình bày ở phần

phân tích hậu nghiệm

3.2.4 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori)

a Phân tích kết quả Phiếu 1

Kết quả thống kê của phiếu 1 được thể hiện dưới dạng biểu đồ sau:

Ở phiếu 1 trong 82 học sinh tham gia thực

nghiệm có 51 học sinh, chiếm 62% (gần 2/3), là

không có ý kiến hay không trả lời được câu hỏi

này; có 23 học sinh chiếm 28% trong số 82 học

sinh cho rằng tỷ lệ chiều rộng bằng 2/3 chiều dài là

một tỷ lệ đẹp, nó giúp lá cờ mang tính thẩm mĩ

cao, và từ đó số học sinh này nhận định điều này có

liên quan đến toán học; có 8 học sinh, chiếm

khoảng 10% số học sinh tham gia thực nghiệm có

ý kiến khác đối với vấn đề này Kết quả này cho thấy đây là một câu hỏi khó vì đến gần 2/3 không trả lời được Qua đó có thể khẳng định, dạy học bằng mô hình hóa vẫn còn gặp không ít khó khăn trong thực tế

b Phân tích kết quả Phiếu 2

Kết quả phiếu 2 được thống kê như sau:

Ở phiếu 2, có 39 học sinh, chiếm gần 48% học

sinh trả lời sai trong các câu hỏi; có 29 học sinh

chiếm 35% học sinh trả lời đúng câu hỏi thứ nhất

và chỉ có 14 học sinh, chiếm 17% học sinh trả lời

đúng cả hai câu hỏi được đặt ra Như vậy, có thể

thấy đây là bài toán khó vì số lượng sai chiếm đến

gần ½, trong khi số giải đúng chưa đến 1/5 Điều

này cho thấy một thực tế khá khó khăn khi áp dụng

mô hình hóa vào dạy học toán

Trong các phiếu trả lời sai câu hỏi này, nguyên nhân chủ yếu do chưa nắm chắc về các phép biến đổi tương đương trong phương trình, cách giải phương trình bậc hai, tính toán bị sai hoặc còn lúng túng với cách đặt ẩn phụ

62%

28%

10%

Kết quả khảo sát Phiếu 1 Bài toán "Lá cờ Việt Nam"

Không ý kiến

Tỷ lệ 2/3 là tỷ lệ đẹp, nó giúp lá

cờ mang tính thẩm mĩ cao

Ý kiến khác

48%

35%

17%

Kết quả khảo sát Phiếu 2 Bài toán "Lá cờ Việt Nam"

Trả lời sai Đúng câu 1 Đúng cả hai câu

Đối với câu 2, chỉ có 15 học sinh trả lời đúng

(khoảng 18%), qua đó cho thấy các em làm chưa

tốt, tỉ lệ làm đúng còn thấp, đa phần các em chưa

hình thành mối liên hệ giữa tỷ lệ vàng với hình

dáng Lá cờ

Tiểu kết: Có thể nói bài toán “Lá cờ Việt Nam”

là một bài toán khó, thể hiện ở tỉ lệ giải đúng khá

thấp Ở phiếu 1, khi chưa đặt ra mô hình “tỉ lệ

vàng”, khảo sát cho thấy hầu như không học sinh

nào chỉ ra được căn cứ khoa học cho tính thẩm mỹ

của Lá cờ Tuy nhiên, khi sang Phiếu 2, tỉ lệ trả lời

đúng ít nhất một trong hai câu hỏi tăng lên đến gần

50% Điều này cho thấy, nếu muốn đạt hiệu quả

dạy học khi áp dụng các bài toán thực tế trong bối

cảnh dạy học tại Việt Nam, cần gợi ý sẵn cho học

sinh một mô hình toán học phù hợp Ngoài ra, nếu

đứng ở góc độ đánh giá kết quả học tập, ta có thể

sử dụng bài toán “Lá cờ Việt Nam” này, kết hợp

cùng một số bài toán khác, để hình thành một đề

kiểm tra 1 tiết cho chương “Phương trình & hệ

phương trình”

3.3 Bài toán “Công viên hình tam giác”

3.3.1 Nội dung bài toán “Công viên hình tam

giác”

Bài toán: Có một công viên nhỏ hình tam giác

như Hình 1 Người ta dự định đặt một cây đèn để

chiếu sáng toàn bộ công viên Để công việc tiến

hành thuận lợi, người ta đo đạc và mô phỏng các

kích thước công viên như Hình 2

Hình 1

Hình 2 (nguồn: Google)

Thiết lập một hệ trụcOxy như Hình 3, khi đó

các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là A 0;3 ,

 4;0

B , C 4;7 Gọi I là điểm đặt cây đèn sao cho

đèn chiếu sáng toàn bộ công viên

Hình 3

1 Theo em nên đặt cây đèn ở vị trí nào? a) Trọng tâm tam giác

b) Trực tâm tam giác c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác Giải thích sự lựa chọn của em?

2 Dùng kiến thức đã học, hãy xác định vị trí chính xác của cây đèn trên hình vẽ Giải thích sự lựa chọn của em

Lời giải:

 Vùng mà cây đèn chiếu sáng được biểu diễn

bằng một hình tròn mà điểm đặt cây đèn là tâm nên

để chiếu sáng toàn bộ công viên ta cần đặt cây đèn

ở tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

 Gọi I x y là tâm đường tròn ngoại tiếp  ;

tam giác ABC

Ta có: A     0;3 ,B 4;0 ,C 4;7 nên:

2 2







Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

nên ta có IA IB IA IC  ,  , ta lập được hệ

phương trình

7

2

x

x y

x y

y

 





Vậy 7 7

;

2 2

 

Các phiếu học tập: Chúng tôi xây dựng hai

phiếu học tập để tiến hành thực nghiệm như sau:

Phiếu 1

Tình huống: Có một công viên nhỏ hình tam

giác với các số đo như hình vẽ Người ta cần đặt

một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên Hỏi

nên đặt cây đèn ở đâu?

Câu hỏi: Em hãy vẽ vị trí cây đèn trên hình và

giải thích sự lựa chọn của em

Phiếu 2

Thiết lập một hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó

các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là A 0;3,

  4 ; 0

B , C 4;7 Gọi I là điểm đặt cây đèn sao cho

đèn chiếu sáng toàn bộ công viên

1 Theo em nên đặt cây đèn ở vị trí nào? a) Trọng tâm tam giác

b) Trực tâm tam giác c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác Giải thích sự lựa chọn của em?

2 Dùng kiến thức đã học, hãy xác định vị trí chính xác của cây đèn trên hình vẽ Giải thích sự lựa chọn của em

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm

Phiếu 1

Câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải có khả

năng chuyển đổi ngôn ngữ từ thực tế cuộc

sống sang ngôn ngữ hình học để biết được mối quan hệ giữa cây đèn và các cạnh, các đỉnh của công viên Câu hỏi này cũng nhằm đánh

giá mức độ thực hiện mô hình hóa toán học ở

nhóm thực nghiệm

Phiếu 2

Trong phiếu 2, bài toán đã giới hạn lại kiến thức cho học sinh, các em chỉ cần nhớ lại các kiến thức về tọa độ trong mặt phẳng Phiếu này cũng đã đưa ra các yêu cầu cụ thể cho học sinh làm Giải quyết được tất cả các yêu cầu này thì tình huống đưa ra ở phiếu 1 sẽ được giải đáp

Câu hỏi 1

Câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nhớ lại các

kiến thức đã học, tổng hợp lại chúng để lựa chọn

câu trả lời và giải thích lý do lựa chọn của bản

thân Những tính chất của trọng tâm, trực tâm, tâm

đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và cách vẽ

chúng sẽ là những kiến thức cần thiết để giải quyết

câu hỏi này

Câu hỏi 2

Ở câu hỏi này, học sinh phải biết liên hệ biểu

thức toán học với thực tế Biết lập luận, phân tích

nhằm đưa ra địa điểm chính xác để đặt cây đèn

Dựa vào đó, có thể đánh giá tính hợp lý của bài

giải, khả năng tính toán cũng như mức độ thực hiện

các tình huống mô hình hóa toán học tương tự

3.3.3 Thực nghiệm và kết quả

Quá trình thực nghiệm thực hiện trên 74 học

sinh của hai lớp 11B3 và 11B5 của trường THPT

Bùi Hữu Nghĩa vào tháng 3/2014 Mỗi lớp thực nghiệm đều có sĩ số trên 30 em để đảm bảo ý nghĩa thống kê

Thời gian làm bài của học sinh (cả hai phiếu

học tập) là 30 phút Sau đây là các phân tích kết

quả thực nghiệm:

3.3.3 Phân tích hậu nghiệm

a Phân tích kết quả Phiếu 1

Sau đây là kết quả thống kê từ Phiếu 1:

Ở phiếu 1 này đòi hỏi học sinh phải biết liên hệ

thực tế và kết nối với các kiến thức đã học, từ đó

các em có cái nhìn chính xác để đưa đến lựa chọn

thích hợp câu trả lời Ở phiếu này có 10 học sinh

chiếm 13% không trả lời được; có 26 học sinh,

chiếm 35% lựa chọn đặt cây đèn ở đỉnh của tam

giác vì các em cho rằng từ đỉnh công viên, ánh

sáng sẽ lan ra hai bên đỉnh còn lại; có 16 học sinh

chiếm 22% cho rằng cây đèn nên đặt ở trọng tâm

tam giác; có 17 học sinh chiếm 23% lựa chọn đặt

cây đèn ở giữa công viên với lý do từ đây ánh sáng

có thể chiếu sáng toàn bộ công viên; có 5 học sinh chiếm 7% có ý kiến khác nhau về nơi đặt cây đèn Các em chưa trả lời được câu hỏi này do chưa hình dung ra mối quan hệ giữa cây đèn với các đỉnh và các cạnh của công viên Có những em biết điều này nhưng chưa biết lựa chọn kiến thức để giải thích cho tình huống

b Phân tích kết quả Phiếu 2

Các kết quả từ câu 1 của Phiếu 2 được thể hiện

dưới biểu đồ sau:

13%

35%

22%

23%

7%

Kết quả khảo sát Phiếu 1 Bài toán "Công viên hình tam giác"

Không trả lời Đỉnh của tam giác Trọng tâm tam giác Giữa tam giác

Ý kiến khác

61%

12%

19%

8%

Kết quả khảo sát câu 1 ở Phiếu 2 Bài toán "Công viên hình tam giác"

A: Đặt đèn ở trọng tâm B: Đặt đèn ở trực tâm C: Đặt đèn ở tâm đường tròn ngoại tiếp D: Đặt đèn ở tâm đường tròn nội tiếp

Ở phiếu 2, câu hỏi 1 có 7 học sinh không trả

lời chiếm 9% Trong số các em có lựa chọn cho

câu hỏi 1, có 61% chọn đặt cây đèn ở trọng tâm

tam giác, chiếm tỉ lệ cao nhất trong các phương án

Có lẽ do khái niệm trọng tâm được đề cập lại trong

chương 1 “Vectơ” và cả trong chương 2 này nên

các em suy đoán kết quả có thể là trọng tâm chăng?

Về câu trả lời đúng (đặt đèn ở tâm đường tròn

ngoại tiếp), có đến 19% tổng số các em lựa chọn

(gần bằng tổng hai lựa chọn đặt đèn ở trực tâm và

tâm đường tròn nội tiếp) Điều này cho thấy, một

số em khá giỏi bước đầu có thể thích nghi với việc giải quyết các bài toán mô hình hóa

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là một khái niệm ít được đề cập trong các bài toán liên quan đến vectơ, có lẽ vì vậy, tỉ lệ các lựa chọn dành cho việc đặt cây đèn ở tâm đường tròn nội tiếp là thấp nhất trong các lựa chọn: Chỉ có 8%

Sau đây là các kết quả thống kê từ câu 2 của Phiếu 2:

Ở câu hỏi thứ 2 của phiếu 2, do các em vẫn

chưa kết nối được những kiến thức đã học với vấn

đề của bài toán nên đa phần các em chưa trả lời

đúng câu hỏi này Cụ thể là có đến 57% không trả

lời được câu hỏi này, chiếm hơn phân nữa số học

sinh được khảo sát

Trong số các học sinh có trả lời, số trả lời sai

chiếm cũng gần một nửa còn lại: 25% với việc hiểu

sai khi sử dụng công thức tọa độ trọng tâm của tam

giác để tìm câu trả lời Câu hỏi này, số trả lời đúng

chỉ còn chiếm 13% khi sử dụng kiến thức tích vô

hướng của hai vectơ để giải thích cho việc lựa

chọn Như vậy, tỉ lệ trả lời đúng ở câu 2 giảm 50%

so với tỉ lệ trả lời đúng ở câu 1 Có thể nguyên

nhân của việc giảm tỉ lệ này là do yêu cầu của câu

2 “nặng” hơn so với câu 1 bằng việc bắt buộc phải

giải thích cho việc lựa chọn chứ không đơn thuần

là chỉ ra nơi đặt cây đèn

Tiểu kết: Mặc dù, ở Phiếu 2, bài toán đã chia

thành hai câu hỏi nhằm gợi ý cho việc tìm lời giải

đúng nhưng khảo sát cho thấy tỉ lệ đúng chưa đầy

15% Điều này cho thấy, việc giải các bài toán mô

hình hóa là khákhó khăn đối với đa số học sinh

Khảo sát này một lần nữa cho thấy việc cần thiết

khi gợi ý sẵn một mô hình toán học cho học sinh

khi dạy học mô hình hóa nhằm đạt hiệu quả cao

hơn trong dạy học Ngoài ra, ở một góc nhìn khác,

có thể kết hợp bài toán “Công viên hình tam giác”

này với các bài toán khác trong đề kiểm tra 1 tiết

chương “Tích vô hướng hai vectơ và ứng dụng”

4 KẾT LUẬN

Dạy học bằng mô hình hóa đang là xu thế chung hiện nay, thể hiện rõ qua các khảo sát của PISA và Công văn số 4509 của Bộ Giáo dục và Đào tạo Khảo sát nhỏ ở thành phố Cần Thơ cho

thấy rằng, học sinh bước đầu có thể tiếp cận được,

tuy còn một số khó khăn nhất định, với phương pháp dạy học bằng mô hình hóa trong môn Toán

Ở một góc nhìn khác, các phân tích cho thấy, hai bài toán “Lá cờ Việt Nam” và “Công viên hình tam giác” có thể được sử dụng trong các đề kiểm tra 1 tiết khi kết hợp với các bài toán khác một cách thích hợp Hai bài toán thực nghiệm cũng là

minh chứng cụ thể cho tiến trình 6 bước của Quy

trình Xây dựng các bài toán thực tế áp dụng cho

dạy học Toán bậc THPT Kết quả cho thấy mặc dù hai bài toán khác nhau về mặt kiến thức và cả phân môn (một bài đại số, một bài hình học) nhưng vẫn

áp dụng chung được cùng một Quy trình với tiến trình thuận lợi Điều này cho thấy, bước đầu, Quy

trình khá phù hợp khi áp dụng để xây dựng nhiều

bài toán thực tế khác nhau liên quan đến chương

trình Toán THPT Đồng thời, nó cũng khẳng định

57%

25%

13%

5%

Kết quả khảo sát câu 2 ở Phiếu 2 Bài toán "Công viên hình tam giác"

Không trả lời

Sử dụng kiến thức tọa độ trọng tâm

Sử dụng kiến thức tích vô hướng của hai vectơ

Cách khác