Bài tập phương trình lương giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCI.. Một số phương tình lượng giác thường gặp 1.. Phương trình dạng: asin 2 x + bsinxcosx + ccosx = d Cách giải: Cách 1: Dùng công thức hạ bậc để đưa về dạng 2 Cách

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Phương trình lượng giác cơ bản

2 1) sin sin

2

u v k

π

π

= +



¢

¢

co u co v u v k k

π π

¢

¢

II Một số phương tình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác

Dạng:

a) asin 2 x + bsinx + c = 0

b) acos2 x + bcosx + c = 0 (a≠0)

c) atan 2 x + btanx + c = 0

d) acot 2 x + bcotx + c = 0

Cách giải

Đặt ẩn số phụ cho HSLG để đưa về phương trình

bậc hai một ẳn

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x – sinx – 1 = 0 2) 2cos2x - 5cosx – 3 = 0 3) 2sin2x – 3cosx = 0 4) sin22x – 2cos2x + 3

4 = 0 5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0 6) cos4x = cos2x

2 Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c

Cách giải: chia 2 vế phương trình cho

2 2

a +b ta được:

1

do

Nên đặt

2 2

2 2

cos

sin

a

a b b

a b

α

α







(hoặc ngược

lại)

Ta được phương trình:

( )

2 2

2 2

os sin sin cos

sin

c

a b c

x

a b

α

+

+

Ta đươc PT bậc nhất theo 1 hslg

Ví dụ: Giải các phương trình:

( ) ( )

2

3

1) 3 sin cos 1 2) 2 cos 2 2 sin 3 3)2sin 3 sin 2 3 4)3cos 2 4sin 2 5 5)1 sin cos sin cos 0 6) 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0 ( 2009)

1 2sin cos

1 2sin 1 sin 8)sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin (

dh A

2

2009)

3 1 9) 3 sin cos

2cos cos 2sin cos

2cos sin 1

dh B

x

− +

3 Phương trình dạng: asin 2 x + bsinxcosx + ccosx = d

Cách giải:

Cách 1: Dùng công thức hạ bậc để đưa về dạng 2

Cách 2: (biến đổi đưa về phương trình bậc hai

theo tan hoặc cot)

Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình

hay không

Khi cosx ≠0 chia 2 vế phương trình cho cos2x ta

được: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)

<=> (a – d)tan2x +btanx + c – d = 0

Giải phương trình ta được nghiệm của phương tình đã

cho

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) 3sin2x – 2sin2x – 3cos2x = 2 2) cos3x + sin3x = sinx + cosx

cosx = x+ x

III Bài tập

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

0

0

3

π

π

π

Bài 2: Giải các phương trình sau:

0

3

4

4 10) tan 1 cot 2 3 0 11) 2cos 3 3 cot 3 1 0

π π

Bài 3: Giải các phương trình sau:

6

2

10) ta

π

3

Bài 4: Giải các phương trình sau:

0

6

π

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin2x – 2cosx = 0 2) 2sin2x + cos3x = 1 3) 2cos2x + cos2x = 2

4) 8cos2xsin2xcos4x = 2 5) tan2x – tanx = 0 6) cos2(x – 300) = 3

4

III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin2x + 2sinx – 3 = 0 2) 2sin2x + sinx – 1 = 0 3) 2sin22x + 5sin2x + 2 = 0

4) 2cos2x – 3cosx – 2 = 0 5) 4cos2x + 4cosx – 3 = 0 6) 2cos2x – 5cosx – 3 = 0

7) 3tan2x – tanx – 4 = 0 8) 5 + 3tanx – tan2x = 0 9) -5cot2x – 3tanx + 8 = 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0 2) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 3) 6cos2x + 5sinx – 7 = 0

4) 3cos2x – 2sinx + 2 = 0 5) 1 sin2 cos4

7) cos2x + cosx + 1 = 0 8) 3sin2x – 4cos4x = -1 9) 5cosx – 6cos2x = 2

10) 2cos2x – sin2x – 4cosx + 2 = 0 11) 9sin2x – 5cos2x – 5sinx + 4 = 0 12) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 13) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – 3 - 2 = 0 14) sin2x - cos2x + 4sinx = 6 15) sin22x – 2cos2x + 3

4 =

0

16) sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 17) 32 5 tan 1 0

cos x+ x− = 18) 3tanx – 4cotx + 1 = 0

IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sinx - 3 cosx = 2 2) sin 2 3 sin( 2 ) 1

2x + 3 sin2x = 3 4) 2cosx – sinx = 2 5) sin5x + cos5x = -1 6) sin6x + cos6x + 1

2sin4x = 0 7) 1 + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 0 8) 8cos4x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0

V PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0 2) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2

3) sin2x – 2sin2x = 2cos2x 4) 2sin2x – 3sin4x + cos22x = 2

5) 4cos2x +3sinxcosx - sin2x = 3 6) 4sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 1

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: giải các phương trình

3

1

5)sin 2 2cos 2 1 sin 4cos 6)2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos

7)sin 3 cos sin cos 3 sin cos 8)(1 s

x

π

+

2

2

in ) cos (1 cos )sin 1 sin 2

cos 2 sin 2

2sin 2 2cos 2sin 1

2cos 1

x

x

x

π

+

2

3

3 sin 1 14) sin cos 1 sin 2 cos sin

2

1 sin

3 cos 2

sin

x

x x

x

x

π

+

+

+

2

(3 3 sin )

23)4sin 4sin 3sin 2 6cos 0 24)sin 3 3 cos3 cos 2 3 sin 2 sin 3 cos

x

x

x

−

−

2

Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình: 5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x

+

Bài 3: Tìm x∈[0;14]nghiệm đúng của phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= 0

Bài 4: Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0

có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 0;

2

π

Bài 5: Cho phương trình: 2sin cos 1 (1)

sin 2cos 3

a

1 Giải phương trình (1) khi a = 1

3

2 Tìm a để phương trình (1) có nghiệm

Bài 6: Tìm x 0;3

2

π

∈   thỏa mãn phương trình

2 cos (cos 1)

2(1 sin ) sin cos

x

+

Bài 7: Cho phương trình: 4cos3x + (m – 3)cosx – 1 = cos2x

1 Giải phương trình khi m = 1

2 Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;

2

π π

-Hết -MỘT SỐ ĐỀ THI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải các phương trình:

2

5

3

3

x

x

x

+

+

−

Bài 2: Giải các phương trình (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình)

2 3

2

3

2 4

3

2

2

−

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

2 2 2

4 2

5

1 7

4

(1 2 )

4

 + + + + = −





2

2

2 2

2

2

( 09)

3 8

8 16

1 10

1

B

D

x

xy

x y

x y



−



 + + − =







2

2 2

2

2

3 2

1 1

5

9

3

19)

x y

x y

x x y y

x y

y

x xy y

y

x xy y

 + + + =







y

x y

x xy x y x

x

y

 − =



