Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

Tài liệu phương pháp giải toán 12 nâng cao

(không cần biết dấu của a)

Các dạng thường gặp là |A| = |B|, |A| = B, |A| > |B|, |A| < B, |A| > B

Cách giải chung: Lập bảng xét dấu cho biểu thức nằm trong dấu trị tuyệt đối để khửdấu trị tuyệt đối Trong đó ta lưu ý:

Cách giải chung: Đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa, sau đó bình phương (nânglũy thừa) để khử căn thức Trong đó ta lưu ý:

X √ A có nghĩa khi và chỉ khi A > 0.

X Khi bình phương hai vế, phải luôn bảo đảm hai vế không âm (hoặc cùng dấu)

Tính: y 00 = 6ax + 2b Giải y 00 = 0 để tìm điểm uốn (làm nháp)

• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên)

• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên

• Điểm đặc biệt (chọn tùy theo bảng biến thiên)

• Vẽ đồ thị: Vẽ từng khoảng và chú ý đến chiều lên xuống trong bảng biến thiên

cx + d

½

− d c

¾

• Giải y 0 = 0 ⇔ adx2+ 2aex + be − cd = 0 Từ đó lập bảng bthiên và nêu rõ cực trị

nếu có và nêu rõ trong bài làm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

• Cho thêm điểm đặc biệt và vẽ đồ thị

a Hàm số y = f (x) đồng biến trên miền D ⇔ y 0 > 0, ∀x ∈ D

b Hàm số y = f (x) nghịch biến trên miền D ⇔ y 0 6 0, ∀x ∈ D

(y 0 = 0 tại hữu hạn giá trị x.)

Chú ý:

Đối với hàm y = ax + b

cx + d thì ta buộc điều kiện y

0 > 0 (đồng biến) và y 0 < 0 (nghịch biến)

• Hàm số y = ax4+ bx2+ c có 1 cực trị nếu a.b > 0, có 3 cực trị nếu a.b < 0.

Khi hàm bậc ba y = ax3 + bx2+ cx + d (a 6= 0) có hai cực trị, hãy viết phương

trình đường thẳng đi qua hai cực trị đó?

• Chia đa thức y cho y 0 ta được: y = (Ax + B).y 0 + mx + n.

Vậy phương trình đường thẳng qua các cực trị là y = mx + n.2

2 khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại

dx + e có hai cực trị, hãy viết phương trình đường

thẳng đi qua hai cực trị đó?

Chú ý: Nếu tìm được cụ thể 2 điểm cực trị là A(x A , y A ) và B(x B , y B) thì đường

thẳng qua 2 cực trị A và B chính là đường thẳng AB.

Cho hàm số y = f (x), tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền D.

a Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) trên đoạn [a, b].

• Tính y 0 và giải y 0 = 0 tìm nghiệm Giả sử có nghiệm là x1, x2 ∈ [a, b].

• Tính f (a), f (b), f (x1), f (x2) và so sánh để kết luận

b Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) trên khoảng (a, b), nửa

khoảng [a, b), nửa khoảng (a, b].

• Tính y 0 và lập bảng biến thiên trên miền xác định tương ứng (là (a, b), [a, b) hay (a, b]).

• Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận

c Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = f (x) (đề bài không nói gì thêm).

• Tìm tập xác định của hàm số

• Tính đạo hàm y 0 và lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận

a Cho y = f (x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C 0 ), hãy tìm giao điểm của (C) và (C 0)?

• Hoành độ giao điểm của (C) và (C 0 ) là nghiệm của pt: f (x) = g(x) (*)

• Số giao điểm của (C) và (C 0) chính bằng số nghiệm của (*)

a Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0, y0) ∈ (C) (biết tọa độ tiếp điểm)

Phương trình có dạng:

3 khi sử dụng phải trình bày phần chứng minh này lại

• Gọi (x0, y0) là tọa độ tiếp điểm.

• Giải f 0 (x0) = k tìm ra x0, thay x0 vào (C) có y0 = f (x0) ⇒ có được tọa độ

c Phương trình tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) M1(x1, y1)

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M1(x1, y1) & có hệ số góc k là:

Cho phương trình F (x, m) = 0 (x : ẩn, m : tham số) Biện luận theo m số nghiệm của

• Hai cực trị nằm hai phía so với trục Oy khi x1.x2 < 0

• Hai cực trị nằm cùng phía so với trục Oy khi x1.x2 > 0.

• Hai cực trị nằm hai phía so với trục O khi y(x1).y(x2) < 0

• Hai cực trị nằm cùng phía so với trục O khi y(x1).y(x2) > 0

• Nếu phương trình ax3 + bx2+ cx + d = 0 có nghiệm dễ tìm (nghiệm hữu tỷ) thì

ta nên xét số nghiệm của phương trình này để suy ra số giao điểm của (C) và trục hoành Ox.

9 Tìm cặp điểm A, B ∈ (C) : y = f (x) sao cho A, B đối xứng nhau qua ∆ : y = ax+b

• Gọi d là đường thẳng vuông góc với ∆, khi đó d có dạng: y = −1

a x + m.

• Giao điểm của d và (C) chính là A, B có hoành độ là nghiệm của phương trình:

f (x) = −1

a x + m

• Ta lập luận tìm điều kiện tồn tại của A và B.

• Gọi I là trung điểm của AB, do tính đối xứng nên ta có I ∈ ∆, từ đó tìm m rồi suy ra tọa độ của A, B.

A I B

∆

d

(C) : y = f (x)

Giải dạng II: Xem x là y, xem y là x.

Chú ý: Dạng I nếu cho 3 đường y hoặc dạng II nếu cho 3 đường x thì buộc phải

vẽ hình

b Bài toán 2: Tính thể tích tròn xoay.

Phương pháp chung: Khử dấu trị tuyệt đối trên cơ sở |A| =

• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên phải trục tung Oy (ứng với x > 0).

• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Oy phần 1 (phần giữ nguyên).

b Bài toán 2: Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số y = |f (x)|.

Gọi (C2) là đồ thị của hàm số y = f (|x|) thì (C2) gồm 2 phần:

• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên trên trục hoành Ox (ứng với y > 0).

• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần của (C) nằm bên dưới trục Ox (phần

của (C) ứng với y 6 0).

c Bài toán 3: Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số |y| = f (x).

Gọi (C3) là đồ thị của hàm số |y| = f (x) thì (C3) gồm 2 phần:

• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) nằm bên trên trục hoành Ox (ứng với y > 0).

• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần 1 (phần giữ nguyên).

• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) ứng với v(x) > 0.

• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần của (C) ứng với v(x) < 0.

e Bài toán 5: Từ (C) của hàm số y = u(x)

v(x) suy ra đồ thị của hàm số y =

|u(x)| v(x) .

Giải u(x) > 0 ⇔ x? và giải u(x) < 0 ⇔ x?.

Gọi (C5) là đồ thị của hàm số y = |u(x)|

v(x) thì (C5) gồm 2 phần:

• Phần 1: Giữ nguyên phần của (C) ứng với u(x) > 0.

• Phần 2: Lấy đối xứng qua trục Ox phần của (C) ứng với u(x) < 0.

Việc chọn t = ϕ(x) tùy thuộc vào từng bài toán, thường để xử lý các tích phân

dạng phân thức mà đạo hàm mẫu số sẽ xuất hiện phần tử số hoặc xử lý cáctích phân lượng giác Nói chung là đổi biến sao cho sau khi lấy vi phân ta đượcphần còn lại

b Dạng 2: Ta chú ý các dạng sau đây

nếu bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta chia đa thức cho tới khi bậc tử nhỏ hơn bậcmẫu Khi đó ta có:

b a

sin mx cos nxdx

b a

cos mx cos nxdx

b a

sin mx sin nxdx

½ Ta áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức nhân đôi

• sin 2a = 2 sin a cos a

• cos 2a = cos2a − sin2a

= 2 cos2a − 1 = 1 − 2 sin2a

• tan 2a = 2 tan a

1 − tan2a Công thức nhân ba

• sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a

• cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a

• tan 3a = 3 tan a − tan

• sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

• sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

• cos(a+b) = cos a cos b−sin a sin b

• cos(a−b) = cos a cos b+sin a sin b

• tan(a + b) = tan a + tan b

1 − tan a tan b

• tan(a − b) = tan a − tan b

1 + tan a tan b

cos đối

2 Bù nhau: α và π − α

sin (π − α) = sin α cos(π − α) = − cos α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α

sin bù

3 Sai khác π : α và π + α

sin(π + α) = − sin α cos(π + α) = − cos α tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α

Cách giải một số phương trình lượng giác

3 tan u = tan v ⇐⇒ u = v + kπ 4 cot u = cot v ⇐⇒ u = v + kπ

2 Phương trình bậc hai theo sinx, cos x, tan x, cot x

a cos2x + b cos x + c = 0 a sin2x + b sin x + c = 0

a cot2x + b cot x + c = 0 a tan2x + b tan x + c = 0

Cách giải

Đặt t = sin x, cos x, điều kiện: −1 6 t 6 1

Đặt t = tan x, cot x, điều kiện: không có

Từ đó đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t, được t giải tiếp phương

trình cơ bản

3 Phương trình bậc nhất theo sin u và cos u

a sin u + b cos u = c (Điều kiện có nghiệm: a2+ b2 > c2)

Khi đó đưa (*) được viết lại là

sin ϕ sin u + cos ϕ cos u = √ c

a2+ b2 ⇐⇒ cos(u − ϕ) = √ c

a2+ b2

(phương trình cơ bản)

a(sin x + cos x) + b sin x cos x = c (1)

Đặt t = sin x + cos x= √ 2 sin(x + π

a(sin x − cos x) + b sin x cos x = c (2)

Đặt t = sin x − cos x= √ 2 sin(x − π

4), |t| 6

√

2 Khi đó sin x cos x= 1 − t2

pt (2) đã cho về phương trình bậc hai theo t

5 Phương trình đẳng cấp a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d (1)

Bước 1 Tìm nghiệm cos x = 0 (⇐⇒ sin2x = 1 ⇐⇒ sin x = ±1)

Bước 2 Với cos x 6= 0, chia hai vế của (1) cho cos2x như sau

⇐⇒ a tan2x + b tan x + c = d(1 + tan2x) (∗)

và đưa phương trình (*) về phương trình bậc hai theo t = tan x

c loga (xy) = log a x + log a y, ∀x, y > 0

loga (xy) = log a |x| + log a |y|, ∀x, y.

Sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ như trong phương trình mũ.

Phương trình - Bất phương trình logarit

(a − 1) [f (x) − g(x)] < 0

Tùy bài mà ta có cách đặt ẩn phụ thích hợp Trong đó ta chú ý:

Nếu đặt t = log a x với x > 0 thì log k a x = t k; logx a = 1

t với 0 < x 6= 1.

• Mô đun (độ lớn) của số phức z = a + bi là |z| = |a + bi| = √ a2+ b2.

• Số phức z = a + bi có số phức đối là −z = −a − bi.

• Nếu a > 0 thì căn bậc hai của a là → ± √ a.

• Nếu a < 0 thì căn bậc hai của a là → ±ip|a|.

• z là một căn bậc hai của số phức w ⇐⇒ z2 = w.

• z = x + yi (x, y ∈ R) là căn bậc hai của w = a + bi (a, b ∈ R) ⇐⇒







x2− y2 = a 2xy = b

• w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0.

• w 6= 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau.

6 Giải phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0

• ∆ 6= 0 thì phương trình có hai ngiệm là z = −b ± δ

2a (trong đó δ là một căn bậc hai

của ∆)

• ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm (kép) là z = −b

2a.

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

• ~u = x~i + y~j + z~k ⇔ ~u = (x, y, z) với

• M là trung điểm đoạn AB ⇔ M

• Góc ϕ giữa hai véctơ ~a và ~b là

Khi đó ~a cùng phương với ~b ⇔ x1 : y1 : z1 = x2 : y2 : z2 ⇔ [~a,~b] = ~0.

• Ba véctơ ~a,~b, ~c đồng phẳng khi và chỉ khi [~a,~b].~c = 0.

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

• Mp Oxy có phương trình là z = 0.

• Mp Oxz có phương trình là y = 0.

• Mp Oyz có phương trình là x = 0.

Mp α cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại (a, 0, 0); (0, b, 0); (0, 0, c) thì α có dạng x

• M1 và M2 nằm về CÙNG MỘT PHÍA đối với α ⇔ f (x1, y1, z1).f (x2, y2, z2) > 0.

• M1 và M2 nằm về HAI PHÍA đối với α ⇔ f (x1, y1, z1).f (x2, y2, z2) < 0.

5 Cho hai mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0, α 0 : A 0 x + B 0 y + C 0 z + D 0 = 0 Khi đó:

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

~u có giá song song hoặc trùng ∆ ⇐⇒ k~u là VTCP của ∆.

Chú ý: Đường thẳng trong không gian không có véctơ pháp tuyến

Chú ý: Từ phương trình tham số cho t một giá trị tùy ý, tính trở lại (x, y, z) ta được

tọa độ một điểm thuộc ∆

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Chú ý: Để tìm giao điểm của hai đường thẳng khi đã biết rõ chúng cắt nhau ta giải hệ

gồm phương trình của ∆ và ∆ 0 Trước hết cần đưa ∆, ∆ 0 về cùng một dạng: tham số hoặc chính tắc.

Ta giải hệ sau đây (bằng cách rút t theo t 0 từ một trong 3 phương trình, sau đó thế

vào 2 phương trình còn lại và giải hệ pt hai ẩn t, t 0):

Khi đó hệ có nghiệm duy nhất t, t 0 ; thế t vào ∆ hoặc t 0 vào ∆0 tính được x, y, z Ta

kết luận ∆ cắt ∆0 tại A(x, y, z).

Giả sử cho đường thẳng ∆ :

A(x0+ at) + B(y0 + bt) + C(z0+ ct) + D = 0 (∗)

• Nếu (*) có nghiệm duy nhất t = t0, ta thế t = t0 vào ∆, tính được x, y, z Khi đó

ta kết luận ∆ cắt α tại M(x, y, z).

• Nếu (*) vô số nghiệm thì ta kết luận ∆ nằm trong α.

• Nếu (*) vô nghiệm thì ta kết luận ∆ song song α.

Giả sử cho điểm M(x0, y0, z0) và mp α : Ax + By + Cz + D = 0 Để tìm h.chiếu vgóc của M lên α ta làm theo các bước sau đây:

• Viết pt đường thẳng d đi qua M và d⊥α Khi đó d nhận ~n α = (A, B, C) làm VTCP (tức là ~a d = ~n α ) nên d có dạng:

M(x0, y0, z0)

d

I α

• Tìm hình chiếu vuông góc I của M lên α (xem lại mục 3).

• Gọi M 0 là điểm đối xứng của M qua α thì I là trung điểm của MM 0, ta có

• Tìm hình chiếu vuông góc M 0 của M lên d (xem lại mục 5).

• Gọi M 00 là điểm đối xứng của M qua d thì M 0 là trung điểm của MM 00

• Lấy 2 điểm phân biệt A, B ∈ d.

• Lần lượt tìm hình chiếu vuông góc của A, B lên mp α là hai điểm A 0 , B 0 (xemlại mục 3)

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A 0 , B 0 Khi đó ∆ chính là

hình chiếu của d lên α.

• Viết pt mp (β) chứa đường thẳng d và vuông góc với mp α.

Khi đó VTPT của β là ~n β = [~a d , ~n α]

• Hình chiếu của d lên α chính là giao tuyến của β và α Gọi hình chiếu đó là d 0

• Viết dạng tham số của d 0

phương là đường thẳng ∆

• Lấy 2 điểm phân biệt A, B ∈ d.

• Lần lượt tìm hình chiếu song song của A, B theo phương ∆ lên mp α Cách làm

như sau:

– Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A và song song với ∆ (~a d1 = ~a∆)

– Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua B và song song với ∆ (~a d2 = ~a∆)

– Tìm A 0 = d1 ∩ α và B 0 = d2 ∩ α thì A 0 , B 0 chính là các hình chiếu song song

của A, B theo phương ∆ lên α.

• Viết phương trình đường thẳng d 0 đi qua A 0 , B 0 thì d 0 chính là hình chiếu song song

theo phương ∆ lên mp α.

• Lấy M ∈ d, M 0 ∈ d 0 Sau đó biễu diễn tọa độ của M theo t, M 0 theo t 0 với t, t 0 là

các tham số trong các pt của d, d 0

• Buộc điều kiện

• Có t, t 0 , thế trở lại d, d 0 tìm được tọa độ M, M 0

• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M, M 0 thì ∆ chính là đường vuông góc

• Lấy M ∈ d, M 0 ∈ d 0 Sau đó biễu diễn tọa độ của M theo t, M 0 theo t 0 với t, t 0 là

các tham số trong các pt của d, d 0

• Buộc điều kiện −−→ AM cùng phương −−→ AM 0 −→ xem t, t 0 là ẩn, giải tìm t, t 0

Chú ý: Khi giải ra hai giá trị t hoặc hai giá trị t 0 Phải thử lại để loại giá trị cho kết

quả điểm M hoặc M 0 trùng điểm A.

a Hai đường thẳng song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

b Đường thẳng d song song với mp (P ) nếu d không nằm trong (P ) và d song song với một đường thẳng a nằm trong (P ).

a Hai đường thẳng d và d 0 vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 900

b Đường thẳng d vuông góc với mp (P ) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P ).

Tính chất: Hai mp (P ) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến là

∆; a là một đường thẳng nằm trong (P ) và a vuông góc với ∆ Khi đó, aaa vuông

a ⊂ (P ) & a⊥∆

⇒ a⊥(P )

3 Góc

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a 0 và b 0 cắt nhau và

lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

Góc giữa đường thẳng d và mp α là góc giữa d và hình chiếu d 0 của d trên α.

(dd, α) = ( d d, d 0 ) với d 0 là hình chiếu của d lên α

H

ϕ α

trong đó B là diện tích đa giác đáy, h là chiều cao của khối chóp.

Sau đây là các dạng hình chóp thường gặp

a Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đềubằng nhau

Trong một hình chóp đều thì:

• Hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy trùng với tâm của đa giác đáy

• Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau

• Các cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau

• Các mặt bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau

Các bước vẽ hình chóp đều:

• Vẽ đáy là một đa giác đều (nên vẽ tất cả các nét là nét đứt, sau đó điều chỉnhlại)

• Xác định tâm của đáy (đa giác đều vừa vẽ)

• Trên đường thẳng đứng vẽ từ tâm của đáy, chọn đỉnh của hình chóp

• Nối đỉnh của hình chóp với các đỉnh của đáy

Ví dụ cho hình chóp S.ABCD có (SAD)⊥(ABCD).

Dựng đường cao SH của tam giác SAD thì SH chính là đường cao của hình chóp.

S

C D

H h

• Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

a Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy

Trong lăng trụ đứng:

• Các cạnh bên cũng là đường cao

• Các mặt bên là các hình chữ nhật nằm trong mp vuông góc với đáy

b Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Trong lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau

* Đáy là đa giác.

* Mặt bên là các tam giác

đa giác đều

Tất cả các cạnh bên bằng nhau

KHỐI CHÓP ĐỀU

* Đáy là đa giác đều.

* Mặt bên là các tam giác cân

bằng nhau.

* Đường cao: Đoạn nối đỉnh và

tâm của đáy.

* Các mặt bên tạo với đáy

LĂNG TRỤ ĐỀU

* Có đáy là đa giác đều.

* Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau Cạnh bên vuông góc với đáy.

Đáy là đa giác đều