Tuyển các dạng và phương pháp giải toán giới han hàm số

GIA SƯ

‘‘Thắp sáng ngọn lửa thành công’’

Khối A - B

• Nhận dạy kèm tất cả các lớp 22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn

BÀI TP GI I HN

DNG I: TÌM GI I HN DÃY S

Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số

VÝ dô 1:

VÝ dô 1: T×m: lim38n2 3n

2 n

−

Gi¶i:

Gi¶i:

2

8n 3n 3 3 3

3

lim lim 8 8 2

n 2

n

VÝ dô 2:

VÝ dô 2: T×m: lim2n2 3n 1

2

n 2

− −

Gi¶i:

Gi¶i:

3 1 2

2 n 2

2n 3n 1 n 2

lim lim 2

2 2 1

n 2 1

2 n

− −

VÝ dô 3:

VÝ dô 3: T×m: lim n 1 n2 1

 − − + 

Gi¶i:

Gi¶i:

2n 2 2

lim n 1 n 1 lim lim 1

2 1 1

n 1 n 1 1 1

n n2

Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý

• Cho hai dãy số

( )

| u | vn n

u , v :n n lim un 0

lim vn 0











≤

= (1)(1)(1)

•

vn un w , nn

lim un L lim vn lim wn L L











= = ∈ℝ (2)(2)(2)

Ví dụ:

Ví dụ: Chứng minh: ( )n

1 cos n lim 0

n

Giải:

Giải:

Ta có: ( )n

1 cos n 1

n n

và lim 1 0

n = nên ( )n

1 cos n lim 0

n

Phương phỏp giải: Sử dụng ủịnh lý

• Dóy (un) tăng và bị chặn trờn thỡ cú giới hạn ;

• Dóy (vn) giảm và bị chặn dưới thỡ cú giới hạn

Ví dụ:

Ví dụ: Chứng minh dãy số ( )u n cho bởi

( 1 )

un =n n 1

+ có giới hạn

Giải:

Giải:

Ta có

( )( ) ( )

u 1 n n 1 n

n 1 . 1, n.

un n 1 n 2 1 n 2

+

+ + Do đó dãy ( )u n giảm Ngoài ra,

( 1 )

*

n : un 0,

n n 1

∀ ∈ℕ = + > nêu dãy ( )u n bị chặn dưới Vậy dãy ( )u n có giới hạn

DNG IV: TÍNH TNG CA CP S NHÂN LÙI Vễ HN Phương phỏp giải: Sử dụng cụng thức u

1

1 q

= ư <

Ví dụ:

Ví dụ: Tính tổng S 1 1 1 1n

2 22 2

Giải:

Giải:

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q 1 1

2

1= Vậy: S u1 1 2

1 q 1 1

2

ư

DNG V: TèM GI I HN Vễ C"C Phương phỏp giải: Sử dụng quy tắc tỡm giới hạn vụ cực

Ví dụ

Ví dụ 1 1 1:::: Tìm: lim 2n3 4n 3

2 3n 1

+

Giải:

Giải:

Cách 1:

Cách 1:

Ta có:

4 3 2

3 2 3 2n 4n 3 n n

lim lim

2 3 1 3n 1

n n3

Lại có lim 2 4 3 2 0,lim 3 1 0

n

2 3 2

n n n

n n3

 

 

 

4 3 2

3 2 3

2n 4n 3 n n

lim lim

2 3 1

3n 1

n n3

Cách 2:

Cách 2:

Ta có:

4 3 4 3 3

n 2 2

3 2 3 2 3 2n 4n 3 n n n n

lim lim lim n

2 1 1 3n 1 n2 3 3

2

2 n n

Lại có

4 3 4 3

2 3 2

2 3 2 2n 4n 3 2 3

n n n n lim n ; lim 0 lim lim n

1 3 3n2 1 1

+

Ví dụ

Ví dụ 2 2 2:::: Tính lim 4x2 1

x→−∞ −

Giải:

Giải:

1 1

2 2

lim 4x 1 lim x 4 lim | x | 4

x x x2 x x2

Vì lim | x |

x→−∞ = +∞ và lim 4 1 2 0 lim 4x2 1

DNG VI: TèM GI I HN CA HÀM S

Phương phỏp giải: Sử dụng cỏc ủịnh lý và quy tắc

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Tính: lim x.sin1

x

x 0

 

 

 

Giải:

Giải:

Xét dãy ( )xn mà xn ≠ ∀0, n và lim xn=0 Ta có: f x( ) x sin 1 | x |

n = n xn ≤ n

Vì lim | x | 0n = ⇒limf x( )n =0 Do đó lim x.sin1 0

x

x 0

 

 

 =

Ví dụ 2:

Ví dụ 2: Tính: lim x2 x 1 x

x

→+∞

Giải:

Giải:

Ta có:

1 1

2 2

x x 1 x x 1 1

lim x x 1 x lim lim lim

x x 2 x 2 x 1 1 2

x x 1 x x x 1 x 1 1

x x2

+

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: Tính: lim x2 3x 1 x

x

→−∞

Giải:

Giải:

Ta có:

1 1

3 3 3x 1 3

lim x 3x 1 x lim lim lim

x x 2 x 2 x 3 1 2

x 3x 1 x x 3x 1 1 1 1

x 2

x x

+

−

(Chú ý: khi x→ −∞ là ta xét x < 0, nên x= − x2 )

0

=

Phương phỏp giải: Sử dụng ủịnh lý giới hạn kẹp

Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác ñịnh trên tập hợp J \ x{ }

0 khi ñó:

{ } ( ) ( ) ( )

x J \ x : g x f x h x

0

lim f x L

x x lim g x lim h x L 0

x x x x

0 0













VÝ dô:

VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x2 0

x 1 x4 =

→+∞ +

Gi¶i:

Gi¶i:

Ta lu«n cã: | f x |( ) x sin x2 x2 x2 f x( ) x2

4 4 4 4

1 x 1 x 1 x 1 x

1 1

2 2 2 2

x x x x

lim lim 0; lim lim 0

x x

x 1 x4 x 1 1 x4 1

1 1

4 4

x x

2 2 2

x x x sin x

lim lim 0 lim 0

x

x 1 x4 1 x4 x 1 x4

DNG VIII: GI I HN M,T BÊN Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh nghĩa giới hạn một bên

• Giả sử hàm số f xác ñịnh trên khoảng (x ;b) 0

Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần ñến x0 (hoặc tại ñiểm x0),nếu với mỗi dãy (x )n trong khoảng (x ;b) mà 0 limxn=x0,ta ñều có limf(x ) Ln =

ðịnh nghĩa tương tự cho

0

lim f(x) L

x x→ − =

Hàm số có giới hạn tại x0 và

0

lim f(x) L

x x→ = tồn tại lim f(x)

x x 0

+

→ , 0

lim f(x) L

x x→ − =

và lim f(x) lim L

x x

0

+

VÝ dô

VÝ dô 1: 1: 1: Cho hµm sè f x( ) x3 x 1

2 2x 3 x 1

víi

víi











< −

=

− ≥ − T×m lim f x( )

x→−1

Gi¶i:

Gi¶i:

lim f x lim 2x 3 2 1 3 1

x  1 x  1

lim f x( ) lim x3 1

x  1 x  1

Tõ (1) vµ (2) suy ra lim f x( ) 1

x 1 = −

→−

VÝ dô 2:

VÝ dô 2: Cho hµm sè ( )

1 x 1

x 1

f x

1 x 1

x 1

khi khi













>

+

<

+ a) T×m lim f x( )

x→2

b) T×m lim f x( )

x 1→

Gi¶i:

Gi¶i:

a) lim f x( ) lim 1 1

x 1 3

x 2 =x 2 + =

b) lim f x( )

x 1→

Ta cã: lim f x( ) lim 1 1; lim f x( ) lim 1 1 lim f x( ) lim f x( )

1 x 2 x 1 x 1 1 x 2 x 1

x 1 x 1 x 1

−

kh«ng tån t¹i lim f x( )

x 1→ (Chó ý: lim f x( )

x x

0

→ tån t¹i khi vµ chØ khi lim f x( ) lim f x( ) L

x x

x x 0 0

+

x x 0

=

DNG IX: KH0 DNG VÔ 12NH Phương pháp giải:

1

1) ) ) Khi t×m giíi h¹n d¹ng ( )

( )

P x lim

x x Q x 0

→ , víi lim P x( ) lim Q x( ) 0

x x x x

0 0

• Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x x

0

−

• NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho l−îng liªn hiÖp

VÝ dô 1:

VÝ dô 1: T×m: lim x2 9x 14

x 2

x 2

− +

−

→

Gi¶i:

Gi¶i:

2 x 2 x 7

x 9x 14

lim lim lim x 7 5

x 2 x 2

x 2 x 2 x 2

V

VÝ dô 2:Ý dô 2:Ý dô 2: T×m: lim 4 x 2

4x

x 0

+ −

→

Gi¶i:

Gi¶i:

4 x 2 4 x 2

4 x 2 4 x 4 1 1

lim lim lim lim

x 0 x 0 4x 4 x 2 x 04x 4 x 2 x 04 4 x 2

VÝ dô 3:

VÝ dô 3: T×m: lim 3 x 7 2

x 1

x 1

+ −

−

→

Gi¶i:

Gi¶i:

( )

2 3

3x 7 2 x 7 2 x 7 43

3x 7 2 x 7 23

lim lim lim

x 1

x 1 x 1 3 2 3 x 1 3 2 3

x 1 x 7 2 x 7 4 x 1 x 7 2 x 7 4

−

( )

1 1 lim

12

x 1 3 2 3

x 7 2 x 7 4

→

VÝ dô 4:

VÝ dô 4: T×m: lim 2x 5 3

x 2 x 2 2

+ −

Gi¶i:

Gi¶i:

( 2x 5 3)( 2x 5 3)( x 2 2) ( (2x 5 9) ( ) ( x 2 2) ) 2( x 2 2

lim lim lim lim

x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 x 2 4 2x 5 3 x 2 2x 5 3

Ví dụ 5:í dụ 5:í dụ 5: Tìm: lim x3 3x 2

x 1

x 1

ư

→

Giải:

Giải:

3

x 1 3x 2 1

x 3x 2 x 1 3x 2 1

lim lim lim

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

3x 2 1 3 3 3

lim x x 1 lim x x 1 3

2 2

x 1 x 1 3x 2 1 x 1 3x 2 1

ư ư

=

Ví dụ 6:

Ví dụ 6: Tìm: lim 4 x 2 1

3

x 1 x 2 1

+ ư

Giải:

Giải:

Đặt t=12x 2+ ⇒x 2+ =t12 ⇔ =x t12ư2, khi đó x→ ư1 thì t→1 Do đó:

( )

2

t 1 t t 1

4x 2 1 t3 1 t2 t 1 3

lim lim lim lim

3 4 2 2 4

x 1 x 2 1 t 1t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1

 

 

 

   

   

   

Ví dụ 7:

Ví dụ 7: Tìm: lim 3 x 7 x 3

x 1

x 1

ư

→

Giải:

Giải:

( )

3 x 7 2 x 3 2

3x 7 x 3 3x 7 2 x 3 2

lim lim lim

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

3

x 7 2 x 3 4 lim

2

x 1 x 1 x 3 2

3 3

x 1 x 7 2 x 7 4

1 1 1 lim

12

x 1 3 2 3 x 3 2

x 7 2 x 7 4

 

 

 

2

2)))) Khi tìm giới hạn dạng ( )

( )

P x lim

Q x

x→±∞ , ta lưu ý:

• Đặt mx (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)

• Sử dụng kết quả: lim 1 0

x→∞xα = ( với α >0)

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Tìm: lim 3x2 4x 1

x 2x2 x 1

ư +

Giải:

Giải:

4 1 3

2 x 2

3x 4x 1 x 3

lim lim

x 2x2 x 1 x 2 1 1 2

x x2

ư +

VÝ dô 2:

VÝ dô 2: T×m: lim x2 x 1 3x

x 2 3x

+ + −

Gi¶i:

Gi¶i:

1 1

1 3

2 x 2

x x 1 3x x 1 3 4

lim lim

x 2 3x x 2 3 3 3

x

VÝ dô 3:

VÝ dô 3: T×m:

3 3 2 8x 3x 1 x lim

2

x 4x x 2 3x

Gi¶i:

Gi¶i:

3 1

3 8 1

3 3 2 x 3 3

8x 3x 1 x x 8 1

lim lim 1

x 2 x 1 2 4 3

4x x 2 3x 4 3

x x2

3) Dạng ∞ −∞và dạng 0.∞

• Nhân và chia với biểu thức liên hợp

• Nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy ñồng mẫu ñể ñưa về cùng một phân thức

VÝ dô

VÝ dô :::: →+∞lim ( x2+ + −2x 3 x)

x

Gi¶i:

Gi¶i:

2 2 ( 2 3 )( 2 3 ) 2

lim ( 2 3 ) lim

2 ( 2 3 ) 3

2

2 3 lim lim 1

2 2 3 ( 2 3 ) ( 1 1)

2

+ +