ÔN TẬP HÈ TOÁN 7 LÊN 8

3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.. Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận. + Định lý thuận: Điể[r]

* Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông:

a) Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông

• Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

• Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

ABC ADEF D

2 Nêu định nghĩa, tính chất của tam giác cân, tam giác đều

* Tam giác cân:

a Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau

Ví dụ: Ta có tam giác cân ABC cân tại A AB  AC.Ta gọi AB và AC là các cạnh bên,

BC là cạnh đáy, B C  và C là các góc ở đáy, A là góc ở đỉnh

Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau

* Tam giác đều

a.Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau: ABC đều

AB BC AC

b.Tính chất: Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60o: ABC đều ⇔    60A B C   

3 Nêu định lý Pytago thuận và đảo, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của cả hai định lý?

+ Định lý Pytago thuận: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông

- Giả thiết: Tam giác ABC vuông tại A

- Kết luận: BC2 AB2AC2

+ Định lý Pytago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông

- Giả thiết: Tam giác ABC có BC2 AB2AC2

- Kết luận: Tam giác ABC vuông tại A

4 Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận

+ Định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau

b) HB HC c) AB AC

6 Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận

+ Định lý về bất đẳng thức trong tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất

kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại

+ Giả thiết: ABC

+ Kết luận: AB AC BC  ; AB BC AC  ; AC BC AB 

7 Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận

+ Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

+ Giả thiết: ABC ; các đường trung tuyến AD ; BE ; CF

+ Kết luận: AD ; BE ; CF cắt nhau tại G ; 2

+ Kết luận: AD BE CF; ; đồng quy tại I ; I các đều 3 cạnh AB , BC , AC

9 Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực của tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận

+ Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

+ Giả thiết: d là đường trung trực của đoạn AB ; M d

+ Kết luận: MA MB

+ Định lý đảo: Điểm cách đều hai đầu mót của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

+ Giả thiết: A B , MA MB

+ Kết luận: M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB

+ Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

+ Giả thiết: ABC ; b là đường trung trực của AC ; c là đường trung trực của AB ; b và

c cắt nhau tại O

+ Kết luận: O nằm trên đường trung trực của BC ; OA OB OC 

Bài 2 Tính giá trị biểu thức 2x35 tại x thỏa mãn x2 x 0

Bài 3 Tính giá trị của đa thức Mx3 x y2 2x2 xy y 2 3y x 1 với x  y  2 0

Bài 4 Cho hai đa thức

Tính A B ; A B Tìm đa thức C sao cho C  2B  A

Bài 5 Tìm đa thức ;M N biết

a) ( )A x B x( ) b) ( )A x B x( ) c) ( )B x A x( )

Bài 7 Cho các đa thức P x( ) x 2x23x5  x4 x 1và Q x( ) 3 2  x2x2 x4 3x5 x4 4x2

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến

b) Tính ( )M x P x( )Q x( ); ( )N x P x( )Q x( ) c) Tính giá trị của ( )M x tại 1

2

x

Bài 8 Cho hai đa thứcA x( ) 2 x35x23x3và B x( ) 2 x34x23x1

a) Tìm đa thức ( )C x sao cho ( )C x B x( )A x( ) b) Tìm nghiệm của đa thức ( )C x

Bài 9 Cho hai đa thức:

Bài 12 Cho đa thức P x mx3.Xác định m biết rằngP  1 2

Bài 13 Cho đa thứcQ x  2x2mx7m3.Xác định m biết rằngQ x có nghiệm là 1

Bài 14 Xác định hệ số a để đa thức f x ax24x6có nghiệm là 3

Bài 15 Cho đa thứcP x ax2bx c 0

Chứng tỏ rằng nếu 5a b 2c0thì P   2 1P 0

II PHẦN HÌNH HỌC

Bài 1 Cho tam giác ABC cân tại A ; đường cao AH Biết AB5cm; BC 6cm

a).Tính độ dài các đoạn thẳng BH AH;

b).Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng ba điểm ; ;A G H thẳng hàng

c).Chứng minh rằng: ‘ ABG ACG

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của BC

a).Chứng minh rằng: ABM  ACM

b).Từ M vẽ MH AB ; MK AC Chứng minh rằng: BH CK

Bài 3 Cho ABC vuông tại A Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC Trên tia

đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI HK Chứng minh:

a).Chứng minh: ABD  ACE

b).Chứng minh AED cân

c).Chứng minh AH là đường trung trực của ED

d).Trên tia đối của tia cho DK DB Chứng minh ECB DKC 

Bài 5 Cho ABC cân tại A Trên tia đối của tia BA lấy điểm D , trên tia đối của tia CA lấy

điểm E sao cho BD CE Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC Chứng minh:

a) HB CK

b). AHB AKC

e).Gọi I là giao điểm của DK và EH Chứng minh AI DE

Bài 6 Cho tam giác ABC có  90B  , vẽ trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm

E sao cho MA ME Chứng minh:

a) ABM  ECM

b) AC CE

c).BAM MAC 

d).BE AC//

e) EC BC

Bài 7 Cho tam giác ABC cân ở A có ABAC5 cm, kẻ AH BC H BC 

a).Chứng minh: BH HC và BAH CAH 

b).Tính độ dài BH biết AH 4 cm

c).Kẻ HD AB dAB, kẻ EH AC E AC  Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

Bài 8 Cho ABC vuông tại A AB AC , BE là đường phân giác Trên cạnh BC lấy điểm

Dsao cho BD BA

a).Chứng minh: ABD cân và BE AD

b).Chứng minh EAD cân

c).Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF DC Chứng minh rằng EFC cân d).Chứng minh: D , E , F thẳng hàng

Bài 9 Cho ABC có  90A  Đường trung trực của AB cắt AB tại E và cắt BC tại F

b).Gọi K là giao điểm của AB và DM Chứng minh: DAK  BAC

c).Chứng minh rằng AKC cân

d).So sánh: BM và CM

HẾT





  



+) Thay x 0 vào biểu thức 2x35 ta được:2.03  5 5

Vậy tại x 0thì giá trị của biểu thức 2x35 bằng 5

+) Thay x 1 vào biểu thức 2x35 ta được: 2.13  5 7

Vậy tại x 1 thì giá trị của biểu thức 2x35 bằng7

Bài 3 Tính giá trị của đa thức Mx3 x y2 2x2 xy y 2 3y x 1 với x  y  2 0

Mà x  y  2 0 ,nên ta thay vào M ta được: M  x.0y.0 0 1 1  

Vậy với x  y  2 0 thì giá trị của biểu thức M bằng 1

Bài 4 Cho hai đa thức

Bài 7 Cho các đa thức P x( ) x 2x23x5  x4 x 1và Q x( ) 3 2  x2x2 x4 3x5 x4 4x2

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến

x  là 33

16

Bài 8 Cho hai đa thức A x( ) 2 x35x23x3và B x( ) 2 x34x23x1

a) Tìm đa thức ( )C x sao cho ( )C x B x( ) A x( )

b) Tìm nghiệm của đa thức ( )C x

Vậy nghiệm của đa thức ( )C x là x 2; x  2

Bài 9 Cho hai đa thức

m mm

mm

nên AH là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

 H là trung điểm của BC (định nghĩa đường trung tuyến) 1

2

BH BC

Mà BC6cm(gt) BH 3 cm 

Vì AH BC (gt) nên  90AHB  AHB vuông tại H

Xét AHB vuông tại H ta có:

c) Chứng minh rằng:  ABG ACG

Gọi BM CN; lần lượt là hai đường trung tuyến

Ta có: ABC cân tại A (gt) nên AB AC (tính chất tam giác cân)

Lại có: 1

2

AM  AC ( M là trung điểm AC )

Hay  ABG ACG

Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng: ABM  ACM

b) Từ M kẻ MH AB ; MK AC Chứng minh rằng: BH CK

Lời giải

a) Chứng minh rằng: ABM  ACM

 Vì M là trung điểm của BC (gt) nên MB MC

 Vì ABC cân tại A (gt) nên AB AC (tính chất tam giác cân)

Bài 3 Cho ABC vuông tại A Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC Trên tia

đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI=HK Chứng minh:

Suy ra AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của AKI

Do đó AKI cân tại A (đpcm)

c)  BAK  AIK

AKI

 cân tại A  AKI AIK 1

Mặt khác: AB HK// BAK AKI 2 (2 góc sole trong bằng nhau)

Do đó AIC  AKC (c-g-c)

Bài 4 Cho ABC cân tại A A900, vẽ BD AC và CE AB Gọi H là giao điểm của BD

và CE Chứng minh:

a) Chứng minh: ABD  ACE

b) Chứng minh AED cân

c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED

Lời giải

    (cạnh huyền – góc nhọn) b) Chứng minh AED cân

Vì ABD  ACE (cmt) nên AD AE (hai cạnh tương ứng)

Suy ra AED cân tại A

c) AH là đường trung trực của ED

ABC

 có hai đường cao BD CE, cắt nhau tại H suy ra H là trực tâm của ABC nên

AHlà đường cao hạ từ A Mà ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là phân giác

A

AED

 cân tại A nên đường phân giác AH cũng là đường trung trực

AH

 là đường trung trực của ED

Bài 5 Cho ABC cân tại A Trên tia đối của tia BA lấy điểm D , trên tia đối của tia CA lấy

điểm E sao cho BD CE Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC

Ta có ABC cân tại A  ABC ACB

Ta lại có    ABC HBD ACB KCE ;  (đối đỉnh)

b) Chứng minh  AHB AKC

Vì ABC cân tại A nên  ABC ACB (*)

2

AABC



Do đó  ADE ABC , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK DE//

d) Chứng minh AHE  AKD

e).Gọi I là giao điểm của DK và EH Chứng minh AI DE

Theo câu a: AHE  AKDHEKD

Do đó: ADE cân tại A

Suy ra : AI cũng là đường cao của ADE

 AMB EMC (đối đỉnh)

MA ME (theo giả thiết)

Do đó ABM  ECM (c – g – c) (điều phải chứng minh)

Bài 7 Cho tam giác ABC cân ở A có AB AC5 cm, kẻ AH BC H BC 

a) Chứng minh: BH HC và BAH CAH 

 ABH ACH (vì ABC cân ở A )

Suy ra ABH  ACH (g – c – g)

B

A

Do đó tam giác ADE là tam giác cân tại A

Bài 8 Cho ABC vuông tại A AB AC , BE là đường phân giác Trên cạnh BC lấy điểm

Dsao cho BD BA

a) Chứng minh: ABD cân và BE AD

b) Chứng minh EAD cân

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF DC Chứng minh rằng EFC cân d) Chứng minh: D , E , F thẳng hàng

Lời giải

a) Chứng minh: ABD cân và BE AD

Ta có BD BA (gt) nên ABD cân tại B

Lại có BE là đường phân giác của ABC (gt) hay BE là phân giác của ABD cân tại B

 BE là đường trung trực của ABD (Trong tam giác cân đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực)

 BEAD

b) Chứng minh EAD cân

Có BE là đường trung trực của ABD (chứng minh trên)  BE là đường trung trực của AD

 EA ED (tính chất của điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng)

EA FH( cùng vuông góc với AC )  EAF HFA ( hai góc so le trong)

Xét AEF và FHA có  EFA FAH ,  EAF HFA (chứng minh trên) và cạnh AF

chung nên AEF  FHA g c g   FH AE ( hai cạnh tương ứng)

B

b) Gọi K là giao điểm của AB và DM Chứng minh: DAK  BAC

c) Chứng minh rằng AKC cân

b) Gọi K là giao điểm của AB và DM Chứng

minh: DAK  BAC

c) Chứng minh rằng AKC cân

Ta có DAK  BAC ( chứng minh trên)

 AK AC (hai cạnh tương ứng)

 AKC cân tại A

d) So sánh BM và CM

Ta có AMB  AMD (chứng minh trên)  BM MD  1 (hai cạnh tương ứng)

Ta có   KDC KAD AKD  (tính chất góc ngoài của tam giác) mà  AKD ACB (Hai góc tương ứng của DAK  BAC)   KDC ACB KAD ACB   hay  MDC DCM