Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.. Câu 6: Cho hình vuông ABCD.. Lấy một điểm trên đờng chéo BD chiếu lên AB và AD tại E và F.. Chứng minh rằng các đờng thẳng CM
Trang 1đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn toán
Thời gian làm bài 150 phút
-Đề 2
Câu 1:
Cho x + 2y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích x.y
Câu 2:
Phân tích ra thừa số
a a8 + a4 + 1
b a10 + a5 + 1
Câu 3:
Chứng minh rằng:
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
Câu 4:
Rút gọn biểu thức :
2 2
A
Biết -1 < x < 1, x 0
Câu 5:
Cho hệ phơng trình ax + y = 3
4x + ax = -1
a Giải hệ khi a=3
b Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD Lấy một điểm trên đờng chéo BD chiếu lên AB và AD tại
E và F
1 Chứng tỏ: CF = DE và CF DE
Tìm quỷ tích giao điểm N của CF và DE
2 Chứng tỏ: CM = EF và CM EF
3 Chứng minh rằng các đờng thẳng CM, BF và DE đồng quy tại một điểm
Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9
đề II
Câu 1: (1 điểm)
Ta có : x + 2y = 1 <=> x =1 – 2y
Do đó P = x.y = (1 - 2y)y = y – 2y2 = -(2y2 – y)
8
1 2 2
1 2 8
1 2
2
1 2
2
1 2
2 2
2
Do đó tích số P=x.y đạt giá trị lớn nhất bằng
8
1
tại trị số 1 1
;
Câu 2: (2 điểm)
a Ta có a8 + a4 + 1 = (a4 + 1)2 - a4
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 2= (a4 - a2 + 1)(a4 + a2 + 1)
= (a4 - a2 + 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Vậy a8 + a4 + 1 = (a4 - a2 + 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
c a10 + a5 + 1 = a10 + a9 + a8 + a7 + a6 + a5 + a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
- a9 - a8 - a7 - a6 - a5 - a4 - a3 - a2- a
= (a10 + a9 + a8) +(a7 + a6 + a5)+ (a5 + a4 + a3)+ (a2 + a + 1)
- (a9 + a8 + a7)- (a6 + a5 + a4)- (a3 + a2 + a)
= a8(a2+ a + 1) + a5(a2+ a + 1) + a3(a2+ a + 1) + (a2+ a + 1)
- a7(a2+ a + 1) –a4(a2+ a + 1) - a(a2+ a + 1) = (a2+ a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1)
Vậy a10 + a5 + 1 = (a2+ a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1)
Câu 3: ( 1điểm)
2
1 3 2
3 2 4 3 2
2
2
1 3 2
3 2 4 3 2
2
Do đó:
2
Vậy 2
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
Câu 4 : (2 điểm) Rút gon biểu thức: ta có
2
2
2
2 2
2
1
P
x Q
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 3
x
x 1
1 nếu 0 < x < 1 =
x
x 1
1 2
nếu -1 < x < 0
=> A Q P
* Nếu -1 < x < 0 ta có 1
1 1
1 1
2
2
x x x
x
* Nếu 0 < x < 1 ta có:
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
1 2 2 1
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x
x
Vậy -1 nếu -1 < x < 0
A=
2
2
2 2 2 1
x
x
x nếu 0 < x < 1
Câu 5: (1 điểm)
a Khi a=3 ta có hệ 43 3 3 1
y x
y x
<=> 4 33(33 3 ) 1
x x
x y
<=>
10 5
3 3
x
x y
<=>
2
3 3
x
x y
<=> 23
y x
Vậy khi a = 3 hệ phơng trình có nghiệm (2;-3)
b Xét hệ 4 3 1
ay x
y ax
(I), ta có (I) <=> 4 3 (3 ) 1
ax a
x
ax y
<=>
) 1 ( 3
a
ax y
Muốn (I) có nghiệm duy nhất thì 4 a2 0 a2 4 a 2
Muốn (I) vô nghiện thì:
0 3 1
0
4 2
a
a
1 3
4
2
a
3 1
2
a
a
a 2
Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là a 2
Điều kiện để hệ vô nghiệm là a 2
Câu 5: (3 điểm)
Vẽ hình
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Trang 41 Chứng minh CF DE và CE DE ta có CDF DAE (cgc) CF DE
Ta cũng có C1 D1 mà D1 NDC 1V => C1 NDC 1V
=> CND 1V hay CF DE
Qủy tích của N: ta có CND 1V (câu a)
=> N chạy trên đờng tròn đờng kính CD
Giới hạn : N ở miền trong của hình vuông ABCD
- Khi M ở B thì F ở A, E ở B suy ra CF trùng với CA và DE trùng với DB do
đó N ở tại O (tâm của hình vuông)
- Khi M ở D thì F ở D, E ở A suy ra CF trùng với CD và DE trùng với DA do
đó N ở tại D
Vậy N chỉ chạy trên 1/4 đờng tròn, cung DNO, có đờng kính CD
Phần đảo: Lấy N thuộc cung phần t DO ở trên đờng tròn đờng kính CD ta có
V
Gọi E là giao điểm của DN và AB, F là giao điểm của CN và AD Dựng hình
chữ nhật AEMF ta chứng minh rằngM BD
Từ (1) => C1 D1(góc nhọn có cạnh đối một vuông góc)
=> CDF DAE(gcg) DF AE
mà FM =AE (vì AEMF là hình chữ nhật)
=> DF=FM <=> FDM vuông cân FDM 450 MDB
Vậy quỷ tích của N là 1/4 cung DNO của đờng tròn đờng kính CD
2 Chứng tỏ CM EF và CM EF
gọi K là giao điểm của FM và CB ta có:CK DF => CK FM
tơng tự : MK ME
Do đó:CKM FME(cgC) CM EF
Ta cũng có: KCM MFE CM EF
3 Chứng minh CM, BF, DE đồng quy
Chứng minh tơng tự câu 1 ta cóBF CE
Trong CEF ta có CM EF ; ED EF ; FB CE
=> CM, ED, FB Là 3 đờng cao của tam giác do đó chúng đồng quy
Vậy CM, BF, DE đồng quy tại một điểm đó là trực tâm của tam giác CEF
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Chú ý: Vẽ hình đúng ý 1
Vẽ hình sai không cho điểm câu 6
