DTTX_CNTT_ Dai so tuyen tinh

Example 1.6. Vì vậy ta phải đưa ra một loại số mới có bản chất tổng quát hơn, mà số thực là một trường hợp đặc biệt. Tất nhiên khi đưa ra loại số mới này ta phải trang bị cho nó một số p[r]

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

( DÀNH CHO KHỐI KỸ THUẬT - CNTT)

Giảng viên: THS ĐẶNG VĂN CƯỜNG

Trang 2

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân

Chương 0

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2

Trang 3

Chương 0

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Nhóm, Vành và Trường.

Trang 4

Giả sử G là một tập hợp Mỗi ánh xạ

o : G × G → G

được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên

G Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được kýhiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y

2

Trang 5

Giả sử G là một tập hợp Mỗi ánh xạ

o : G × G → G

được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên

G Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được kýhiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y

Trang 6

Definition 1.1 Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang

bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau:

(G3) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x0 ∈ G, được gọi là nghịch

đảo của x, sao cho

xox0 = x0ox = e

3

Trang 7

Definition 1.1 Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang

bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau:

(G3) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x0 ∈ G, được gọi là nghịch

đảo của x, sao cho

xox0 = x0ox = e

Nhận xét:

Phần tử trung lập là duy nhất Thật vậy, nếu e và e0 đều là các

Trang 8

phần tử trung lập của nhóm G thì

e = eoe0 = e0

Với mọi x ∈ G, phần tử x0 ở mục (G3) là duy nhất Thật vậy, nếu

x01 và x02 là các phần tử nghịch đảo của x thì

x01 = x01oe = x01o(xox02) = (x01ox)ox02 = eox02 = x02

Trong nhóm có luật giản ước, tức là

xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y

4

Trang 9

phần tử trung lập của nhóm G thì

e = eoe0 = e0

Với mọi x ∈ G, phần tử x0 ở mục (G3) là duy nhất Thật vậy, nếu

x01 và x02 là các phần tử nghịch đảo của x thì

x01 = x01oe = x01o(xox02) = (x01ox)ox02 = eox02 = x02

Trong nhóm có luật giản ước, tức là

xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y

Thật vậy, để có luật giản ước, chỉ cần nhân hai vế của đẳng thức

xoy = xoz với nghịch đảo x0 của x từ bên trái và nhân hai vế củađẳng thức xoz = yoz với nghịch đảo z0 của z từ bên phải

Trang 10

Nếu phép toán o có tính giao hoán, tức là

xoy = yox, ∀x, y ∈ G,

thì G được gọi là nhóm giao hoán (nhóm abel).

Theo thói quen, luật hợp thành o trong một nhóm abel thườngđược ký hiệu theo lối cộng “ + ” Hợp thành của cặp phần tử

(x, y) được ký hiệu theo lối cộng x + y và được gọi là tổng của x

và y Phần tử trung lập được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0.nghịch đảo của x được gọi là phần tử đối của x, ký hiệu là (−x).Trường hợp tổng quát, phép toán o trong nhóm thường được kýhiệu theo lối nhân “.”, Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được kýhiệu là x.y hay đơn giản là xy, và gọi là tích của x và y Phần tửtrung lập của nhóm thường được gọi là phần tử đơn vị Phần tửnghịch đảo của x được ký hiệu là x−1

5

Trang 11

Example 1.1.

a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng

b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành mộtnhóm abel đối với phép nhân

Trang 12

Example 1.1.

Definition 1.2 Giả sử G và G0 là các nhóm (với phép toán viếttheo lối nhân) Một ánh xạ ϕ : G → G0 được gọi là một đồng cấu

nhóm nếu

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G

6

Trang 13

Example 1.1.

Definition 1.2 Giả sử G và G0 là các nhóm (với phép toán viếttheo lối nhân) Một ánh xạ ϕ : G → G0 được gọi là một đồng cấu

Trang 14

Definition 1.3 Ta có các khái niệm sau:

a) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh được gọi là một

Trang 15

Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường

Trang 16

Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường

Definition 1.4 Một vành là một tập hợp R 6= ∅ được trang bị haiphép toán hai ngôi, gồm phép cộng

+ : R → R, (x, y) 7→ x + y,

và phép nhân

: R × R → R, (x, y) 7→ xy,

thoả mãn ba điều kiện sau:

(R1) R là một nhóm abel đối với phép cộng

(R2) Phép nhân có tính kết hợp:

(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R

7

Trang 17

(R3) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng:

(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R

Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giaohoán:

xy = yx, ∀x, y ∈ R

Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị,tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho

1x = x1 = x, ∀x ∈ R

Trang 18

Trang 19

Trang 20

Trang 21

Example 1.4 Phép nhúng i : Z → Q là một đơn cấu vành

Phần tử x trong vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn

tại x0 ∈ R sao cho xx0 = x0x = 1 Dễ dàng chứng minh đượcrằng phần tử x0 có tính chất như vậy nếu tồn tại thì duy nhất Nóđược ký hiệu là x−1

Trang 22

Example 1.4 Phép nhúng i : Z → Q là một đơn cấu vành

Phần tử x trong vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn

tại x0 ∈ R sao cho xx0 = x0x = 1 Dễ dàng chứng minh đượcrằng phần tử x0 có tính chất như vậy nếu tồn tại thì duy nhất Nóđược ký hiệu là x−1

Definition 1.6 Một vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0 sao cho mọiphần tử khác không trong nó đều khả nghịch được gọi là một

9

Trang 23

trường.

Trang 24

trường.

Example 1.5 Vành Q là một trường Vành số nguyên Z không làmột trường, vì các số khác ±1 đều không khả nghịch

10

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Definition 1.8 Cho R là một vành có đơn vị Nếu có số nguyêndương n sao cho 1 + 1 + + 1

11

Trang 29

Clause 1.2 Nếu K là một trường thì Char(K) hoặc là không hoặc là một số nguyên tố.

Trang 30

Clause 1.2 Nếu K là một trường thì Char(K) hoặc là không hoặc là một số nguyên tố.

Trang 31

trường K không có ước của không nên hoặc r.1 = 0 hoặc

s.1 = 0 Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của đặc số, vì r và s

là các số tự nhiên nhỏ hơn n

Trang 32

Example 1.6. Char(R) = Char(Q) = Char(Z) = 0

12

Trang 33

Example 1.6. Char(R) = Char(Q) = Char(Z) = 0

2 Định nghĩa số phức.

Trang 34

12

Trang 35

để xây dựng loại số mới này Trong cuốn sách này ta đưa vào số i

(đơn vị ảo) là nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0.Bây giờ ta định nghĩa số phức như sau

Trang 36

Trang 37

Số phức là số có dạng z = x + iy, trong đó x, y ∈ R và i là đơn vị

ảo (i2 + 1 = 0)

x gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Rez, y gọi là phần ảocủa số thực z và ký hiệu là Imz

Đặc biệt, nếu y = 0, khi đó số phức z = x + i0 là số thực x Nếu

x = 0, khi đó z = iy là số thuần ảo

Hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 gọi là bằng nhau nếu

và chỉ nếu x1 = x2 và y1 = y2.Cho số phức z = x + iy, số phức có dạngx − iy gọi là số phứcliên hợp của số phức z, ký hiệu là z, nghĩa là

z = x + iy ⇒ z = x + iy = x − iy

Trang 38

Số phức là số có dạng z = x + iy, trong đó x, y ∈ R và i là đơn vị

ảo (i2 + 1 = 0)

x gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Rez, y gọi là phần ảocủa số thực z và ký hiệu là Imz

Đặc biệt, nếu y = 0, khi đó số phức z = x + i0 là số thực x Nếu

x = 0, khi đó z = iy là số thuần ảo

Hai số phức z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 gọi là bằng nhau nếu

và chỉ nếu x1 = x2 và y1 = y2.Cho số phức z = x + iy, số phức có dạngx − iy gọi là số phứcliên hợp của số phức z, ký hiệu là z, nghĩa là

z = x + iy ⇒ z = x + iy = x − iy

13

Trang 39

Ta ký hiệu C là tập các số phức Vậy ta có dãy tăng các tập số

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Trang 40

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

3 Các phép toán trên số phức.

14

Trang 41

Trang 42

Trang 43

Các tính chất này được chứng minh dựa vào tính giao hoán, tínhkết hợp của số thực Đặc biệt khi z1, z2 là hai số thực thì định

nghĩa (4.1) trùng với định nghĩa phép cộng hai số thực

Trang 44

Example 3.1 Cho hai số phức z1 = 3 + i4, z2 = −1 + i2√

2.Khi đó

z1 + z2 = (3 − 1) + i(4 + 2√

2) = 2 + i(4 + 2√

2)

15

Trang 45

2.Khi đó

Trang 46

2.Khi đó

Trang 47

z2 = x2 + iy2 là số phức

z = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2), (3.3)

ký hiệu z = z1.z2.

Trang 48

Trang 49

Trang 50

z1(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3

16

Trang 51

Nếu z1, z2 là hai số thực thì định nghĩa (4.3) trùng với định nghĩaphép nhân thông thường trong tập hợp số thực Và cũng từ địnhnghĩa (4.3) ta suy ra

z.z = x2 + y2 ≥ 0

Trang 52

Nếu z1, z2 là hai số thực thì định nghĩa (4.3) trùng với định nghĩaphép nhân thông thường trong tập hợp số thực Và cũng từ địnhnghĩa (4.3) ta suy ra

z.z = x2 + y2 ≥ 0

d) Phép chia: Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất

một trong hai số đó khác không Giả sử z2 6= 0, khi đó có thể tìmđược một số phức z = x + iy sao cho z2.z = z1 Theo định nghĩacủa phép toán nhân ta có hệ phương trình

Trang 53

Trang 54

z1

z2 =

3(−1) + 4.2√

2(−1)2 + (2√

2)2+i

4.(−1) − 3.2√

2(−1)2 + (2√

Trang 55

z = z1/z2.

2.Khi đó ta có

z1

z2 =

3(−1) + 4.2√

2(−1)2 + (2√

2)2+i

4.(−1) − 3.2√

2(−1)2 + (2√

Trang 56

z = z1/z2.

2.Khi đó ta có

z1

z2 =

3(−1) + 4.2√

2(−1)2 + (2√

2)2+i

4.(−1) − 3.2√

2(−1)2 + (2√

Trang 57

4 Dạng lượng giác của số phức.

Trang 58

Cho số phức z = x + iy 6= 0 (x2 + y2 6= 0), khi đó

z = x + iy = px2 + y2 p x

x2 + y2 + i

yp

x2 + y2

!

Trang 59

Cho số phức z = x + iy 6= 0 (x2 + y2 6= 0), khi đó

z = x + iy = px2 + y2 p x

x2 + y2 + i

yp

x2 + y2

!

Trang 60

argument của số phức z, ký hiệu ϕ = argz

19

Trang 61

Example 4.1 Tìm modul, argument và biểu diễn dưới dạng

lượng giác các số phức sau:

z1 = 1 + i√

3; z2 = −1 − i√

3

Trang 62

Trang 63

Trang 64

Trang 65

Trang 66

Giả sử K là một trường Biểu thức hình thức

f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0,

trong đó a0, a1, , an−1, an ∈ K, được gọi là một đa thức ẩn x

(hay biến x) với hệ số trong K.Nếu an 6= 0 thì ta nói f (x) có bậc n, và viết degf (x) = n, còn an

được gọi là hệ số bậc cao nhất (hay hệ số dẫn đầu) của f (x).Nếu a0 = a1 = = an−1 = an = 0 thì f (x) được gọi là đa thức

0, và được coi có bậc bằng −∞.Tập hợp các đa thức ẩn x có hệ số trong trường K được ký hiệu

là K[x] Ta trang bị cho tập này hao phép toán cộng và nhân nhưsau:

Cho hai đa thức

f (x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0,

20

Định dạng
Số trang	1.279
Dung lượng	2,21 MB