Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp đặt nhân tử chung – Tìm nhân t chung là nh ng đ n, đa th c có m t trong t t c các ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ững đơn, đa thức có mặt trong tất cả c

CHUYÊN Đ 1 Ề 1 :

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

– Tìm nhân t chung là nh ng đ n, đa th c có m t trong t t c các ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ững đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ơn, đa thức có mặt trong tất cả các ức có mặt trong tất cả các ặt trong tất cả các ất cả các ả các

h ng t ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

– Phân tích m i h ng t thành tích c a nhân t chung và m t nhân ỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ủa nhân tử chung và một nhân ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ột nhân

t khác ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

–Vi t nhân t chung ra ngoài d u ngo c, vi t các nhân t còn l i c a ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ất cả các ặt trong tất cả các ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ạng tử ủa nhân tử chung và một nhân

m i h ng t vào trong d u ngo c (k c d u c a chúng) ỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ất cả các ặt trong tất cả các ể cả dấu của chúng) ả các ất cả các ủa nhân tử chung và một nhân

Ví d 1 ụ 1 Phân tích các đa th c sau thành nhân t ức sau thành nhân tử ử

= 7ab(4ab  3b + 2a)b + 2a)

2x(y – z) + 5y(z –y )

= 2(y  z) – 5y(y  z)

= (y – z)(2  5y)

xm + xm + 3b + 2a)

= xm (x3b + 2a) + 1)

2 Ph ương pháp dùng hằng đẳng thức ng pháp dùng h ng đ ng th c ằng đẳng thức ẳng thức ức

 Dùng các h ng đ ng th c đáng nh đ phân tích đa th c thành ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ức có mặt trong tất cả các ớ để phân tích đa thức thành ể cả dấu của chúng) ức có mặt trong tất cả các nhân t ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

 C n chú ý đ n vi c v n d ng h ng đ ng th c ần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức ệc vận dụng hằng đẳng thức ận dụng hằng đẳng thức ụng hằng đẳng thức ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ức có mặt trong tất cả các

Ví d 2 ụ 1 Phân tích các đa th c sau thành nhân t ức sau thành nhân tử ử

9x2 – 4

= (3b + 2a)x)2 – 22

= ( 3b + 2a)x– 2)(3b + 2a)x + 2)

8 – 27a3b + 2a)b6

= 23b + 2a) – (3b + 2a)ab2)3b + 2a)

3 Ph ương pháp dùng hằng đẳng thức ng pháp nhóm nhi u h ng t ều hạng tử ạng tử ử

– K t h p các h ng t thích h p thành t ng nhóm ợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm ừng nhóm.

– Áp d ng liên ti p các ph ụng hằng đẳng thức ươn, đa thức có mặt trong tất cả các ng pháp đ t nhân t chung ho c dùng ặt trong tất cả các ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ặt trong tất cả các

h ng đ ng th c ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ức có mặt trong tất cả các

Ví d 3 ụ 1 Phân tích các đa th c sau thành nhân tức sau thành nhân tử ử

2x3b + 2a) – 3b + 2a)x2 + 2x – 3b + 2a)

= ( 2x3b + 2a) + 2x) – (3b + 2a)x2 + 3b + 2a))

= ( x – y – 4)( x –y + 4)

4 Ph i h p nhi u ph ối hợp nhiều phương pháp ợp nhiều phương pháp ều hạng tử ương pháp dùng hằng đẳng thức ng pháp

 Ch n các ph ọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên ươn, đa thức có mặt trong tất cả các ng pháp theo th t u tiên ức có mặt trong tất cả các ự ưu tiên ư

 Đ t nhân t chung ặt trong tất cả các ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

 Dùng h ng đ ng th c ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ức có mặt trong tất cả các

 Nhóm nhi u h ng t ều hạng tử ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

Ví d 4 ụ 1 Phân tích các đa th c sau thành nhân tức sau thành nhân tử ử

3b + 2a)xy2 – 12xy + 12x

3b + 2a)x3b + 2a)y – 6x2y – 3b + 2a)xy3b + 2a) – 6axy2 – 3b + 2a)a2xy + 3b + 2a)xy

= 3b + 2a)xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]

= 3b + 2a)xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)

5 PH ƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ NG PHÁP TÁCH M T H NG T THÀNH NHI U H NG T ỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ ẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Ử THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ ỀU HẠNG TỬ ẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Ử THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

a, Đ i v i đa th c b c hai (f(x) = ax ối hợp nhiều phương pháp ới đa thức bậc hai (f(x) = ax ức ậc hai (f(x) = ax 2 + bx + c)

- Cách 1 (tách h ng t b c nh t bx): ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ận dụng hằng đẳng thức ất cả các

B ướ để phân tích đa thức thành c 1: Tìm tích ac, r i phân tích ac ra tích c a hai th a s nguyên ồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên ủa nhân tử chung và một nhân ừng nhóm ố nguyên

b ng m i cách ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.

a.c = a 1 c 1 = a 2 c 2 = a 3 c 3 = … = a i c i = …

B ướ để phân tích đa thức thành c 2: Ch n hai th a s có t ng b ng b, ch ng h n ch n tích a.c = a ọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên ừng nhóm ố nguyên ổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ạng tử ọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên i c i

v i b = a ớ để phân tích đa thức thành i + c i

B ướ để phân tích đa thức thành c 3: Tách bx = a i x + c i x T đó nhóm hai s h ng thích h p đ phân ừng nhóm ố nguyên ạng tử ợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm ể cả dấu của chúng) tích ti p.

Ví d 5 ụ 1 Phân tích đa th c f(x) = 3b + 2a)xức sau thành nhân tử 2 + 8x + 4 thành nhân t ử

H ướng dẫn ng d n ẫn

12)

 Tích c a hai th a s có t ng b ng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = a ủa nhân tử chung và một nhân ừng nhóm ố nguyên ổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành i c i ).

L i gi i ời giải ải

3b + 2a)x2 + 8x + 4

= x(3b + 2a)x + 2) + 2(3b + 2a)x + 2)

= (x + 2)(3b + 2a)x +2)

- Cách 2 (tách h ng t b c hai ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ận dụng hằng đẳng thức. ax2)

Làm xu t hi n hi u hai bình ph ất cả các ệc vận dụng hằng đẳng thức ệc vận dụng hằng đẳng thức ươn, đa thức có mặt trong tất cả các ng :

= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)

= (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

Tách thành 4 s h ng r i nhóm : ố nguyên ạng tử ồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên

= 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

- Cách 3 (tách h ng t t do c ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ự ưu tiên. )

 Tách thành 4 s h ng r i nhóm thành hai nhóm: ố nguyên ạng tử ồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên

2)

2)

Ví d 6 ụ 1 Phân tích đa th c f(x) = 4xức sau thành nhân tử 2  4x  3b + 2a) thành nhân t ử.

H ướng dẫn ng d n ẫn

 2.2x T đó ta c n thêm và b t 1ừ đó ta cần thêm và bớt 1 ần thêm và bớt 1 ớt 1 2 = 1 đ xu t ể xuất ấy 4x

hi n h ng đ ng th c ện hằng đẳng thức ằng đẳng thức ẳng thức ức sau thành nhân tử

L i gi i ời giải ải

Ví d 7 ụ 1 Phân tích đa th c f(x) = 9xức sau thành nhân tử 2 + 12x – 5 thành nhân t ử

L i gi i ời giải ải

= 3b + 2a)x(3b + 2a)x –1) + 5(3b + 2a)x – 1)

b, Đ i v i đa th c b c t 3 tr lên ối hợp nhiều phương pháp ới đa thức bậc hai (f(x) = ax ức ậc hai (f(x) = ax ừ 3 trở lên ở lên

Trướt 1c h t, ta chú ý đ n m t đ nh lí quan tr ng sau :ết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau : ết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau : ột định lí quan trọng sau : ịnh lí quan trọng sau : ọng sau :

t là x – a và f(x) có th vi t d ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ể cả dấu của chúng) ướ để phân tích đa thức thành ạng tử i d ng f(x) = (x – a).q(x)

Lúc đó tách các s h ng c a f(x) thành các nhóm, m i nhóm đ u ch a ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ỗi nhóm đều chứa ều chứa ức sau thành nhân tử nhân t là x – a Cũng c n l u ý r ng, nghi m nguyên c a đa th c, n u ử ần thêm và bớt 1 ư ằng đẳng thức ện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ức sau thành nhân tử ết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau :

có, ph i là m t ải là một ước của hệ số tự do ột định lí quan trọng sau : ướt 1 ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa c c a h s t do ện hằng đẳng thức ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ự do

Th t v y, gi s đa th c ận dụng hằng đẳng thức ận dụng hằng đẳng thức ả các ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ức có mặt trong tất cả các a x n n a n1x n1a n2x n2  a x1 a0

, trong đó b n 1,b n 2, , ,b b là các s nguyên H ng t b c th p nh t v 1 0 ố nguyên ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ận dụng hằng đẳng thức ất cả các ất cả các ở vế

ph i là – ab ả các 0 , h ng t b c th p nh t v trái là a ạng tử ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ận dụng hằng đẳng thức ất cả các ất cả các ở vế 0 Do đó – ab 0 = a 0 , suy ra a

là ướ để phân tích đa thức thành ủa nhân tử chung và một nhân c c a a 0

Ví d 8 ụ 1 Phân tích đa th c f(x) = ức sau thành nhân tử x3b + 2a) + x2 + 4 thành nhân t ử.

L i gi i ời giải ải

L n lần thêm và bớt 1 ượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)t ki m tra v i x = ± 1, ± 2, 4, ta th y f(–2) = (–2)ể xuất ớt 1 ấy 4x 3b + 2a) + (–2)2 + 4 =

0 Đa th c f(x) có m t nghi m x = –2, do đó nó ch a m t nhân t là x + 2 ức sau thành nhân tử ột định lí quan trọng sau : ện hằng đẳng thức ức sau thành nhân tử ột định lí quan trọng sau : ử

T đó, ta tách nh sauừ đó ta cần thêm và bớt 1 ư

(x + 2)

T đ nh lí trên, ta có các h qu sau :ừ đó ta cần thêm và bớt 1 ịnh lí quan trọng sau : ện hằng đẳng thức ải là một ước của hệ số tự do

H qu 1 N u f(x) có t ng các h s b ng 0 thì f(x) có m t nghi m là x ệc vận dụng hằng đẳng thức ả các ổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a ệc vận dụng hằng đẳng thức ố nguyên ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ột nhân ệc vận dụng hằng đẳng thức.

= 1 T đó f(x) có m t nhân t là x – 1 ừng nhóm ột nhân ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

Ch ng h n, đa th c xẳng thức ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ức sau thành nhân tử 3b + 2a) – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1

là m t nghi m c a đa th c Đa th c có m t nhân t là x – 1 Ta phân tích ột định lí quan trọng sau : ện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ức sau thành nhân tử ức sau thành nhân tử ột định lí quan trọng sau : ử

H qu 2 N u f(x) có t ng các h s c a các luỹ th a b c ch n b ng ệc vận dụng hằng đẳng thức ả các ổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a ệc vận dụng hằng đẳng thức ố nguyên ủa nhân tử chung và một nhân ừng nhóm ận dụng hằng đẳng thức ẵn bằng ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành

t ng các h s c a các luỹ th a b c l thì f(x) có m t nghi m x = –1 T đó ổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a ệc vận dụng hằng đẳng thức ố nguyên ủa nhân tử chung và một nhân ừng nhóm ận dụng hằng đẳng thức ẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1 Từ đó ột nhân ệc vận dụng hằng đẳng thức ừng nhóm f(x) có m t nhân t là x + 1 ột nhân ử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

Ch ng h n, đa th c xẳng thức ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ức sau thành nhân tử 3b + 2a) – 5x2 + 3b + 2a)x + 9 có 1 + 3b + 2a) = –5 + 9 nên x = –1 là m t ột định lí quan trọng sau :

nghi m c a đa th c Đa th c có m t nhân t là x + 1 Ta phân tích nh sau :ện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ức sau thành nhân tử ức sau thành nhân tử ột định lí quan trọng sau : ử ư

H qu 3 N u f(x) có nghi m nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì ệc vận dụng hằng đẳng thức ả các ệc vận dụng hằng đẳng thức.

( )



f 1



Ch ng minh ứng minh

Đa th c f(x) có nghi m x = a nên f(x) có m t nhân t là x – a Do đó f(x)ức sau thành nhân tử ện hằng đẳng thức ột định lí quan trọng sau : ử

có d ng :ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

Thay x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1)

( )

f 1

a 1 Vì các h s c a f(x) ện hằng đẳng thức ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nguyên nên các h s c a q(x) cũng nguyên Do đó, q(1) là s nguyên V yện hằng đẳng thức ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ậy



( )

f 1

a 1 là s nguyên.ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

Thay x = –1 vào (1) và ch ng minh tức sau thành nhân tử ương tự ta có ng t ta có ự do





a 1 là s nguyên.ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

Ví d 9 ụ 1 Phân tích đa th c f(x) = 4xức sau thành nhân tử 3b + 2a)  13b + 2a)x2 + 9x  18 thành nhân t ử

H ướng dẫn ng d n ẫn

Các ướt 1 ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa c c a 18 là ± 1, ± 2, ± 3b + 2a), ± 6, ± 9, ± 18

f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không ph i là nghi m c a f(x) ải là một ước của hệ số tự do ện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

D th y ễ thấy ấy 4x



 

18



 

18



 

18



 

18

18 1 không là s nguyên nên –3b + 2a), ± 6, ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

± 9, ± 18 không là nghi m c a f(x) Ch còn –2 và 3b + 2a) Ki m tra ta th y 3b + 2a) là ện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ỉ còn –2 và 3 Kiểm tra ta thấy 3 là ể xuất ấy 4x nghi m c a f(x) Do đó, ta tách các h ng t nh sau :ện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ử ư

=4x2 (x–3b + 2a)) –x(x–3b + 2a)) +6(x–3b + 2a))

H qu 4 N u f(x) = ệc vận dụng hằng đẳng thức ả các a x n n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2  a x 1 a ( 0

v a a a a là các s nguyên) có nghi m h u t x = ố nguyên ệc vận dụng hằng đẳng thức ững đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ỉ x =

p

q , trong đó p, q 

Z và (p , q)=1, thì p là ướ để phân tích đa thức thành c a 0 , q là ướ để phân tích đa thức thành c d ươn, đa thức có mặt trong tất cả các ng c a a ủa nhân tử chung và một nhân n

Ch ng minh ứng minh

Ta th y f(x) có nghi m x = ấy 4x ện hằng đẳng thức

p

q nên nó có m t nhân t là (qx – p) Vì các ột định lí quan trọng sau : ử

h s c a f(x) đ u nguyên nên f(x) có d ng: f(x) = (qx – p)ện hằng đẳng thức ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ều chứa ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

Đ ng nh t hai v ta đồng nhất hai vế ta được qb ấy 4x ết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau : ượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)c qbn–1 = an , –pb0 = ao T đó suy ra p là ừ đó ta cần thêm và bớt 1 ướt 1c

c a aủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa 0, còn q là ướt 1c dương tự ta có ng c a aủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa n (đpcm)

Ví d 10 ụ 1 Phân tích đa th c f(x) = 3b + 2a)xức sau thành nhân tử 3b + 2a)  7x2 + 17x  5 thành nhân t ử

H ướng dẫn ng d n ẫn

Các ướt 1 ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa c c a –5 là  1,  5 Th tr c ti p ta th y các s này không là ử ự do ết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau : ấy 4x ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nghi m c a f(x) Nh v y f(x) không có nghi m nghuyên Xét các sện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ư ậy ện hằng đẳng thức ố hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

1

3 là nghi m c a đa th c, do đó đa th c có m t nhân t là ện hằng đẳng thức ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ức sau thành nhân tử ức sau thành nhân tử ột định lí quan trọng sau : ử

6 Đ i v i đa th c nhi u bi n ối hợp nhiều phương pháp ới đa thức bậc hai (f(x) = ax ức ều hạng tử ến

Ví d 11 ụ 1 Phân tích các đa th c sau thành nhân tức sau thành nhân tử ử

a) 2x2  5xy + 2y2 ;

H ướng dẫn ng d n ẫn

a) Phân tích đa th c này tức sau thành nhân tử ương tự ta có ng t nh phân tích đa th c f(x) = axự do ư ức sau thành nhân tử 2 +

bx + c

Ta tách h ng t th 2 :ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ử ức sau thành nhân tử

= (x  2y)(2x  y)

a) Nh n xét z ậy  x = (y  z)  (x  y) Vì v y ta tách h ng t th hai c aậy ạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa ử ức sau thành nhân tử ủa f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa

đa th c :ức sau thành nhân tử

= (y  z)(x  y)(x + y)  (x  y)(y  z)(y + z)

= (x  y)(y  z)(x  z)

Chú ý :

1) câu b) ta có th tách y Ở câu b) ta có thể tách y ể cả dấu của chúng)  z =  (x  y)  (z  x) (ho c z ặt trong tất cả các  x=  (y  z)  (x

 y))

2) Đa th c câu b) là m t trong nh ng đa th c có d ng đa th c đ c ức có mặt trong tất cả các ở vế ột nhân ững đơn, đa thức có mặt trong tất cả các ức có mặt trong tất cả các ạng tử ức có mặt trong tất cả các ặt trong tất cả các

bi t Khi ta thay x = y (y = z ho c z = x) vào đa th c thì giá tr c a đa th c ệc vận dụng hằng đẳng thức ặt trong tất cả các ức có mặt trong tất cả các ủa nhân tử chung và một nhân ức có mặt trong tất cả các

b ng 0 Vì v y, ngoài cách phân tích b ng cách tách nh trên, ta còn cách ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ận dụng hằng đẳng thức ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành ư phân tích b ng cách xét giá tr riêng ằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành

7 PH ƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ NG PHÁP THÊM VÀ B T CÙNG M T H NG T ỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ ỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ ẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Ử THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

a Thêm và b t cùng m t h ng t làm xu t hi n hi u hai bình ph ới đa thức bậc hai (f(x) = ax ột hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình ph ạng tử ử ất hiện hiệu hai bình ph ện hiệu hai bình ph ện hiệu hai bình ph

-ng

ương pháp dùng hằng đẳng thức

Ví d 12 ụ 1 Phân tích đa th c xức sau thành nhân tử 4 + x2 + 1 thành nhân tử

L i gi i ời giải ải

Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 +

x + 1)

x + 1)

x + 1)

Ví d 13 ụ 1 Phân tích đa th c xức sau thành nhân tử 4 + 16 thành nhân tử

L i gi i ời giải ải

2x + 2)

b Thêm và b t cùng m t h ng t làm xu t hi n nhân t chung ới đa thức bậc hai (f(x) = ax ột hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình ph ạng tử ử ất hiện hiệu hai bình ph ện hiệu hai bình ph ử

Ví d 14 ụ 1 Phân tích đa th c xức sau thành nhân tử 5 + x  1 thành nhân t ử

L i gi i ời giải ải

Cách 1

x5 + x  1 = x5  x4 + x3b + 2a) + x4  x3b + 2a) + x2  x2 + x  1

= x3b + 2a)(x2  x + 1)  x2(x2  x + 1)  (x2  x + 1) = (x2  x + 1)(x3b + 2a)  x2  1)

= x2(x3b + 2a) + 1)  (x2  x + 1)

= (x2  x + 1)(x3b + 2a)  x2  1)