Thuật Toán Đơn Hình

+ Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn điểm trong R n là một tập lồi.. - Ví dụ: Đỉnh các đa giác lồi, các điểm nằm trên đường tròn,… - Nhận xét: Số điểm cực biên của một tập

Chương 1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính

1.1 Khái niệm bài toán QHTT

1.2 Cơ sở Giải tích lồi

1.1 Khái niệm bài toán QHTT

1.1.1 Bài toán tối ưu

1.1.2 Một số ví dụ về QHTT

1.1.3 Bài toán QHTT

1.1.1 Bài toán tối ưu

(1.1)-(1.4): bài toán Quy hoạch toán học

Phương án, phương án tối ưu

Tập hợp

D={xєX: gi(x)≤0, i=1,…,m; hj(x)=0, j=1,…,p}

Được gọi là Miền ràng buộc, hoặc Miền chấp

nhận được, hoặc Tập các phương án.

Mỗi x∈D là một phương án hay một điểm chấp

nhận được

Một phương án x*∈D đạt cực tiểu (hay cực đại)

của hàm mục tiêu là một phương án tối ưu f(x*) là giá trị tối ưu của bài toán.

Nhận xét:

Có ba khả năng có thể xảy ra:

a. Miền ràng buộc là tập rỗng

b. Cực tiểu (cực đại) của f trên D bằng -∞ (+∞)

c. f đạt cực tiểu (cực đại) hữu hạn trên D

b) Phân loại bài toán tối ưu

 Quy hoạch tuyến tính

 Quy hoạch phi tuyến

 Quy hoạch tham số

 Quy hoạch động

 Quy hoạch lồi

 Quy hoạch rời rạc

 …

1.1.2 Một số ví dụ về QHTT

a) BT lập kế hoạch sx:

Một xí nghiệp dự định sx hai loại sản phẩm: S1 và

S2 Để sx hai loại sp này

xí nghiệp cần hai loại vật liệu V1 và V2 Các số liệu được cho bởi bảng:

Lập kế hoạch sx sao cho tổng thu lớn nhất.

5x 2 108,

x 0, 0.

x x x

b) Bài toán vận tải:

Cần vận chuyển một loại mặt hàng nào đó từ m kho

hàng từ A i đến B j là c il đv tiền.

Lập kế hoạch vận chuyển sao cho các điểm thu

nhận đủ số hàng theo nhu cầu và tổng cước phí

là nhỏ nhất.

Sơ đồ và mô hình bài toán

1.1.3 Bài toán QHTT

a) Dạng tổng quát:

b) Dạng chính tắc, chuẩn tắc

 Dạng chính tắc:  Dạng chuẩn tắc:

 Nhận xét: Ta có thể đưa một bài toán QHTT về dạng chính

tắc, hoặc chuẩn tắc.

1.2 Cơ sở Giải tích lồi

1.2.1 Một số khái niệm trong Rn

1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT

1.2.1 Một số khái niệm trong Rn

a Tôpô trong Rn

- Điểm x=(x1, x2, …, xn) є Rn

- Tổ hợp tuyến tính, đltt và pttt

- Tổ hợp lồi

- Độ dài, chuẩn, khoảng cách, hình cầu

- Điểm biên, tập mở, tập đóng, tập giới nội

- Tích vô hướng

- Đường thẳng, đoạn thẳng, siêu phẳng, nửa

không gian đóng, mở

b Tập hợp lồi

- Định nghĩa: Một tập hợp C⊂R n được gọi là

lồi nếu

- Ví dụ: toàn không gian, siêu phẳng, các đa

giác lồi trong R 2, hình cầu, …

1.2.1 Một số khái niệm trong Rn

b Tập hợp lồi

- Tính chất của tập lồi:

+ Giao của các tập lồi là tập lồi

+ Nếu C, D lồi thì C+D, λC cũng lồi.

+ Bao đóng của tập lồi là tập lồi

+ Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của một số

hữu hạn điểm trong R n là một tập lồi

+ Cho C⊂R n , tập lồi nhỏ nhất chứa C được gọi

là bao lồi của C, ký hiệu là convC Đó chính là

tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc

C.

c Điểm cực biên

• Định nghĩa: Điểm x 0 ∈C (C là tập lồi) là

nào đó thuộc (0,1)

- Ví dụ: Đỉnh các đa giác lồi, các điểm nằm trên

đường tròn,…

- Nhận xét: Số điểm cực biên của một tập lồi

có thể hữu hạn hay vô hạn Nếu tập lồi không chứa biên thì không có điểm cực biên

d Phương vô hạn, phương cực biên

- Cho x 0 , v ∈R n , tập {x=x 0 +a.v, a≥0} gọi là tia

xuất phát từ x 0 , phương v.

- Tập lồi C được gọi là không giới nội nếu nó

chứa các tia x+av với ∀x∈C và với v≠0 nào

đó Vectơ v như vậy được gọi là một phương

vô hạn của C.

- Một phương vô hạn v của C được gọi là một

phương cực biên nếu không tồn tại hai

phương vô hạn khác v 1≠v 2 của C và hai số dương a, b sao cho: v=av 1 +bv 2

e Tập lồi đa diện

- Tập lồi đa diện là giao của hữu hạn các nửa

không gian đóng Tức là tập:

- Một tập lồi đa diện giới nội còn được gọi là

một đa diện lồi

- Mỗi điểm cực biên của một tập lồi đa diện

còn được gọi là một đỉnh Số đỉnh của một tập lồi đa diện là hữu hạn

e Tập lồi đa diện

 Mệnh đề: Cho C là một tập lồi đa diện Gọi

phương cực biên của C.

1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT

a Tính chất chung

 Định lý 1:Tập D các phương án của một bài

toán qui hoạch tuyến tính là một tập hợp lồi

đa diện

 Định lý 2: Nếu một qui hoạch tuyến tính có

ít nhất một phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài toán min) thì bài toán chắc chắn có phương

án tối ưu.

Chứng minh:

1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT

 Định lý 3: Nếu x 0 là một phương án tối ưu của

bài toán qui hoạch tuyến tính dạng bất kì và

1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT

b Phương án cực biên

- Định nghĩa: Một phương án x∈D của bài toán QHTT

mà đồng thời là đỉnh của D được gọi là một phương

án cực biên.

- Xét bài toán QHTT dạng chính tắc:

min{f(x)=<c,x>: Ax=b, x≥0}, trong đó, A là ma trận cỡ m×n có hạng m.

- Định lý 4: Phương án x 0 = (x 0

1 , …, x 0

n ) của bài toán QHTT dạng chính tắc là phương án cực biên khi và chỉ khi các vectơ cột A j của ma trận A ứng với các thành phần x 0

j > 0 là độc lập tuyến tính.

Chứng minh:

 Hệ quả 1: Số phương án cực biên của bài

toán QHTT dạng chính tắc là hữu hạn

 Hệ quả 2: Số thành phần dương trong mỗi

phương án cực biên của bài toán QHTT

dạng chính tắc tối đa bằng m (rankA).

1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT

 Định nghĩa: Nếu một phương án cực biên có số

thành phần dương đúng bằng m thì được gọi là

một phương án cực biên không suy biến.

 Ví dụ: Tìm tất cả các phương án cực biên của bài

toán QHTT với hệ ràng buộc:

-x 1 + 2x 2 - x 3 = 4,

Hướng dẫn: Xác định số thành phần dương của

phương án cực biên, sau đó giải các hệ PTTT.

1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT

 Định lý 5: Nếu bài toán QHTT dạng chính

tắc có ít nhất một phương án thì bài toán có phương án cực biên

Chứng minh:

 Định lý 6: Nếu bài toán QHTT dạng chính

tắc có phương án tối ưu thì nó cũng có phương án cực biên tối ưu

Chứng minh:

1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT

Nội dung chính của chương 1

dạng của bài toán QHTT.