Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ

Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính đã cho gọi là bài toán gốc được gắn với một bài toán qui hoạch tuyến tính khác gọi là bài toán đối ngẫu.. Phương pháp đơn hình có nhiều biến thể khá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2015

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 3

Chương 1 Kiến thức về qui hoạch tuyến tính 5

1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán đối ngẫu 5

1.2 Các định lý đối ngẫu 8

1.3 Phương pháp đơn hình gốc và đơn hình đối ngẫu 10

Chương 2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu 14

2.1 Thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ 14

2.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên 19

2.3 Áp dụng giải trò chơi ma trận 24

Chương 3 Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ 28

3.1 Vấn đề tái tối ưu hóa 28

3.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu trong tái tối ưu hóa 29

3.3 Ví dụ minh họa 30

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

Qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến tính với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết và thực tiễn

Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính đã cho (gọi là bài toán gốc) được gắn với một bài toán qui hoạch tuyến tính khác (gọi là bài toán đối ngẫu) Hai bài toán

này có quan hệ chặt chẽ với nhau và là cặp bài toán đối ngẫu của nhau Nghiên cứu bài toán đối ngẫu sẽ giúp hiểu rõ hơn về bài toán gốc và ngược lại

Phương pháp đơn hình (do G B Dantzig đề xuất năm 1947) là phương pháp quen thuộc, có hiệu qủa để giải bài toán qui hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình có nhiều biến thể khác nhau, phù hợp với các dạng cụ thể của bài toán qui hoạch tuyến tính như: đơn hình gốc, đơn hình cải biên, đơn hình đối ngẫu, đơn hình gốc - đối ngẫu

Trong một số tình huống thực tế, sau khi giải xong bài toán ta thấy cần bổ sung thêm một số ràng buộc vào bài toán Nếu giải lại bài toán từ đầu thì sẽ tốn nhiều thời gian và công sức Việc tận dụng lời giải đã có để giải tiếp bài toán mới

gọi là kỹ thuật tái tối ưu hóa bài toán Để làm việc này, phương pháp đơn hình đối

ngẫu rất hữu ích Vì thế cần đi sâu tìm hiểu về phương pháp này, cùng các dạng thể hiện cụ thể và các ứng dụng của nó trong kỹ thuật tái tối ưu hóa

Với ý nghĩa đó, chúng tôi chọn đề tài luận văn:

"Thuật toán đơn hình đối ngẫu và ứng dụng trong tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ "

Mục đích chính của đề tài là tìm hiểu và trình bày kết quả lý thuyết về bài toán qui hoạch tuyến tính và qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các thuật toán khác nhau của phương pháp đơn hình đối ngẫu và ứng dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu trong tái tối ưu hóa khi thêm ràng buộc phụ vào bài toán Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1]-[4]

Các kết quả cần đạt được: hiểu và trình bày được một số nội dung chính sau: a) Bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán đối ngẫu Lý thuyết đối ngẫu b) Phương pháp đơn hình đối ngẫu và các thuật toán đơn hình đối ngẫu

c) Phương pháp tái tối ưu hóa khi thêm ràng buộc phụ vào bài toán đã giải Cấu trúc luận văn gồm 3 chương

• Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại tổng quan vắn tắt một số kiến thức

cơ bản cần thiết về qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các định lý đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính, với nhiều ví dụ số và hình vẽ minh họa cho các sự kiện, các định lý đã trình bày Cuối chương giới thiệu ý tưởng cơ bản của phương pháp đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính

• Chương 2 "Thuật toán đơn hình đối ngẫu " trình bày chi tiết các bước tính toán của thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ và thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng cải biên Cuối chương trình bày ví dụ áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ vào giải bài toán trò chơi ma trận

• Chương 3 “Kỹ thuật tái tối ưu hóa với ràng buộc phụ” trình bày vấn đề tái tối ưu hóa khi thêm ràng buộc vào bài toán sau khi đã giải xong và vai trò của việc

áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu trong tái tối ưu hóa Cuối chương nêu ví dụ minh họa

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này

Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần

Vũ Thiệu, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Chương 1

KIẾN THỨC VỀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương này trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản cần thiết về qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các định lý đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính và phương pháp đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [3] và [4]

1.1 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 1.1.1 Phát biểu bài toán

Bằng các phép biến đổi đơn giản, một bài toán qui hoạch tuyến tính bất kỳ có thể đưa được về một trong hai dạng chính sau đây

trong đó A, b, c và x được xác định như ở trên Trong bài toán này tập ràng buộc

D = {x ∈ ℝn : Ax = b, x ≥ 0} cũng là một tập lồi đa diện

Có thể dễ dàng chuyển từ dạng chuẩn tắc sang dạng chính tắc và ngược lại

Trong các bài toán trên f(x) được gọi là hàm mục tiêu Mỗi bất phương trình

(Ax)i ≥ bi hay phương trình (Ax)i = bi gọi là một ràng buộc chính, xj ≥ 0, j = 1, , n

gọi là các ràng buộc không âm hay ràng buộc về dấu Véctơ (điểm) x ∈ D gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án Một phương án đạt cực tiểu của hàm mục tiêu f(x) gọi là một phương án tối ưu hay một nghiệm tối ưu của bài toán

1.1.2 Các tính chất cơ bản

Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu

Định lý 1.1. Nếu một qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận được và nếu

hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập ràng buộc (đối với bài toán min) thì qui hoạch

đó chắc chắn có nghiệm tối ưu

Định lý 1.2. Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính

dạng bất kỳ và nếu x1, x2 (x1 ≠ x2) là hai phương án thỏa mãn x0 = x1 + (1 )x2,

0 <  < 1, thì x1, x2 cũng là các phương án tối ưu của bài toán

Định nghĩa 1.1. Một nghiệm chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là một đỉnh

của D được gọi là một nghiệm cơ sở hay một phương án cực biên, nghĩa là x không

thể biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp lồi của bất kỳ hai nghiệm chấp nhận được (phương án) nào khác của bài toán

Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cho phương án cực biên (nghiệm cơ

sở) của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc với giả thiết m ≤ n và rank(A) = m

Định lý 1.3. Để một nghiệm chấp nhận được x = {x1, x2, , xn} của qui

trận A ứng với các thành phần xj > 0 là độc lập tuyến tính

Người ta phân ra hai loại nghiệm cơ sở: không suy biến nếu nghiệm đó có số thành phần dương bằng m và suy biến nếu nó có số thành phần dương nhỏ hơn m

Định lý sau cho thấy qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án cực biên

Định lý 1.4. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một

phương án thì nó cũng có phương án cực biên, nghĩa là tập ràng buộc D có đỉnh

Định lý sau cho phép tìm phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc trong số các phương án cực biên của bài toán (số này hữu hạn)

Định lý 1.5. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có phương án

tối ưu thì nó cũng có phương án cực biên tối ưu

Ví dụ 1.1 Xét bài toán qui hoạch tuyến tính

f(x) =  x1 + x2  min, với các điều kiện: x1 3x2 2, 3x1 x2 14, x1 0,

x1 + 4x2 22,  x1 + x2 3, x2 0

Tập ràng buộc của bài toán là đa giác lồi 6 đỉnh vẽ ở Hình 1.1 Tọa độ các đỉnh: O = (0, 0), A = (2, 0), B = (5, 1), C = (6, 4), D = (2, 5), E = (0, 3) Theo Định

lý 1.5, nghiệm tối ưu của bài toán đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh này, ta nhận được: f(O) = 0, f(A) =  2, f(B) =  4, f(C) =  2, f(D) = 3 và f(E) = 3 Từ đó cho thấy cực tiểu của hàm f đạt tại đỉnh

B (5, 1) với giá trị cực tiểu fmin =  4

Hình 1.1 Tập ràng buộc của bài toán ở Ví dụ 1.1

1.1.3 Cặp bài toán đối ngẫu

Đối ngẫu là phương pháp mà ứng với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính đã cho

(gọi là bài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán qui hoạch khác (gọi là bài toán

đối ngẫu) sao cho từ nghiệm của bài toán này ta sẽ thu được thông tin về nghiệm

của bài toán kia

Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thường gặp

• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (qui hoạch gốc)

(P) min{f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0}

là bài toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu):

(Q) max{g(y) = bTy : ATy ≤ c, y ≥ 0}

(AT là ma trận chuyển vị của ma trận A)

Ví dụ 1.2. Đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc

f(x) = 20x1 + 15x2  min, 3x1 + x2  60,

x1 + x2  40,

x1 + 2x2  60,

x1  0, x2  0,

là bài toán qui hoạch tuyến tính:

g(y) = 60y1 + 40y2 + 60y3  max, 3y1 + y2 + y3  20,

là bài toán qui hoạch tuyến tính:

g(y) = 400y1 + 400y2 + 1300y3  max, 2y1  0,2

1.2 CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU

Các kết quả nêu dưới đây đúng cho cặp bài toán đối ngẫu (P),(Q) dạng bất kỳ

Định lý 1.6 (Đối ngẫu yếu) Nếu x là một lời giải chấp nhận được của bài

toán gốc (P) và y là một lời giải chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q) thì

f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn ≥ g(y) = b1y1 + b2y2 + + bmym,

nghĩa là giá trị mục tiêu của một phương án gốc bất kỳ (bài toán min) không nhỏ hơn giá trị mục tiêu của một phương án đối ngẫu bất kỳ (bài toán max)

Định lý 1.7 (Đối ngẫu mạnh) Nếu một qui hoạch có nghiệm tối ưu thì qui

hoạch đối ngẫu của nó cũng có nghiệm tối ưu và hai giá trị tối ưu bằng nhau

Các định lý trên cho thấy các quan hệ sau giữa hai qui hoạch gốc và đối ngẫu

Định lý 1.8 (Định lý đối ngẫu cơ bản) Đối với một cặp bài toán qui hoạch

tuyến tính đối ngẫu nhau chỉ có một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây:

a) Cả hai bài toán đều không có nghiệm chấp nhận được

b) Cả hai bài toán đều có nghiệm chấp nhận được Khi đó, cả hai đều có

nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của hai hàm mục tiêu bằng nhau

c) Một bài toán có nghiệm chấp nhận được và bài toán kia không có nghiệm

chấp nhận được Khi đó, bài toán có nghiệm chấp nhận được sẽ có giá trị tối ưu vô cực (+∞ hay - ∞ tùy theo bài toán max hay min)

Các ví dụ sau đây minh hoạ cho các tình huống a) - c) nêu trên

a) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu không có phương án

f(x) = x1  min, g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1 y1  y2 = 1

x1 x2  1 y1  y2 = 0

x1, x2 tuỳ ý y1 0, y2 0

b) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có phương án

f(x) = 5x1 + 10x2 min, g(y) = 14y1 + 12y2  max,

c) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu đều không có phương án tối ưu

f(x) = x1  min, g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1 y1  y2  1

x1  x2  1 y1  y2  0

x1 0, x2 0 y1 0, y2 0

Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu nhau còn thể hiện ở định lý sau đây

Định lý 1.9 (Định lý độ lệch bù) Một cặp nghiệm chấp nhận được x, y của

hai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau (P) và (Q) là cặp nghiệm tối ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:

yi(



n 1 j

Hình 1.1 Tập ràng buộc cặp bài toán đối ngẫu ở Ví dụ 1.3

Áp dụng Định lý 1.9 vào cặp bài toán đối ngẫu cho ở Ví dụ 1.3, ta thấy x và y

là nghiệm tối ưu của các bài toán gốc và đối ngẫu tương ứng khi và chỉ khi x, y thỏa mãn hệ điều kiện sau:

1.3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GỐC VÀ ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

(Q) max{g(y) = bTy : ATy  c} = max{bTy : ATy + s = c, s  0}

Định nghĩa 1.2 Giả sử B là ma trận con cấp mm của A Nếu B có hạng m

thì ta nói B là một cơ sở của A

Giả sử cơ sở B gồm m véctơ cột A

Ký hiệu J = {j1, j2, , jm} Để cho tiện, đôi khi ta cũng gọi J là cơ sở Các

véctơ Aj và các biến xj với j  J lần lượt được gọi là các véctơ cơ sở và biến cơ sở

Còn các véctơ Aj và các biến xj với j  J gọi là các véctơ và biến ngoài cơ sở

Đặt N = {Ak : k  J}, xB = (xj : j  J)T, xN = (xj : j  J)T, cB = (cj : j  J), cN = (cj : j  J) Khi đó, x, c  ℝn tách thành x =  

Bzk Từ đó zk = B1Ak (k = 1, … , n) (Để ý là với j  J, zj là véctơ đơn vị)

Mặt khác, hệ phương trình Ax = b có thể viết thành BxB + NxN = b Từ đó

xB = B-1(b – NxN) = B-1b  B-1NxN (Công thức biểu diễn các biến cơ sở xj, j  J, qua các biến ngoài cơ sở xj, j  J) Tiếp đó, giá trị hàm mục tiêu bằng

cTx = cBxB + cNxN = cBB-1b - cBB-1NxN + cNxN = cBB-1b - (cBB-1N - cN)xN = cBB-1b – NxN (1.2) trong đó N = cBB-1N - cN Do B-1N = {B-1Ak : k  J} = {zk, k  J} nên véctơ N = {k = cBzk  ck, k  J} Số k (k  J) được gọi là ước lượng của biến ngoài cơ sở

là nghiệm chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q) Vì thế, ta có

Định nghĩa 1.11. Cơ sở B gọi là chấp nhận được gốc nếu B-1b  0, gọi là chấp

nhận được đối ngẫu nếu N 0 và là cơ sở tối ưu nếu B-1b  0 và N 0

Định lý 1.10. Nếu B là cơ sở tối ưu (tức là B-1b  0 và N 0) thì

a) x = (xB = B-1b, xN = 0)T là nghiệm tối ưu của bài toán gốc,

b) yT = cBB-1, s = (sB = 0, sN = N)T là nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu

Chứng minh suy từ hệ thức đối ngẫu cTx = cBxB = cBB-1b = yTb

 Phương pháp đơn hình gốc xuất phát từ một cơ sơ B chấp nhận được gốc (tức là B-1b  0) và nghiệm cơ sở của (P): xB = B-1b, xN = 0 Nếu với cơ sở đó N 

0 thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuật toán Còn nếu N có thành phần dương, chẳng hạn s > 0 với s  J, thì có thể giảm giá trị hàm mục tiêu cTx bằng cách đưa biến xs

vào cơ sở và tìm đưa ra khỏi cơ sở biến xr (r  J) thích hợp Làm như thế ta sẽ thu được một nghiệm cơ sở mới tốt hơn nghiệm cơ sở cũ (hay ít ra không kém), tương ứng với cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B) Thuật toán lặp lại với cơ sở B’, cho tới khi đạt tới phương án tối ưu hoặc khi phát hiện bài toán có trị tối ưu vô cực

Định lý 1.11. (Dấu hiệu bài toán có trị tối ưu vô cực) Nếu với cơ sở B chấp

nhận được gốc tồn tại chỉ số k  J sao cho ước lượng k > 0 và zjk  0, j  J thì

bài toán gốc (P) đã cho có trị tối ưu vô cực (- ∞ đối với bài toán min)

 Phương pháp đơn hình đối ngẫu xuất phát từ một cơ sơ B chấp nhận được đối ngẫu (tức là N  0) và "giả" nghiệm cơ sở của (P): xB = B-1b, xN = 0 (gọi là

“giả” vì xB có thể có thành phần âm) Nếu B-1b  0 thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuật toán Còn nếu B-1b có thành phần âm, chẳng hạn (B-1b)r < 0 với r  J, thì có thể cải tiến (trường hợp này là tăng) trị mục tiêu cTx bằng cách đưa biến xr ra khỏi cơ sở và tìm đưa vào cơ sở một biến ngoài cơ sở xs (s  J) thích hợp và ta sẽ thu được một

cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B) Thuật toán lặp lại với cơ sở mới B’, cho tới khi đạt tới phương án tối ưu hoặc khi phát hiện bài toán gốc không có phương án Nếu (B-1b)r < 0 với r  J và zrk  0 k  J thì đó là dấu hiệu cho biết (P) không có nghiệm chấp nhận được (D = )

Tóm lại, chương này đã nhắc lại một số kiến thức cơ bản về bài toán qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các định lý đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính và trình bày ý tưởng cơ bản của phương pháp đơn hình gốc và đơn hình đối ngẫu giải qui hoạch tuyến tính chính tắc

Chương 2

THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

Dựa trên ý tưởng của phương pháp đơn hình đối ngẫu trình bày ở Chương 1, chương này trình bày chi tiết thuật toán đơn hình đối ngẫu dạng đầy đủ và dạng cải biên và xét một số ví dụ giải bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [5]

2.1 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU DẠNG ĐẦY ĐỦ

2.1.1 Nội dung phương pháp

Dựa trên các lý thuyết đối ngẫu đã trình bày ở chương trước, có thể để ra một phương pháp để giải các bài toán qui hoạch là: thay cho việc giải bài toán gốc, người ta giải bài toán đối ngẫu, rồi từ đó suy ra lời giải của bài toán gốc Nếu giải bài toán đối ngẫu bằng phương pháp đơn hình, và diễn tả các bước tiến hành theo

ngôn ngữ bài toán gốc thì thuật toán tương ứng gọi là thuật toán đơn hình đối ngẫu

Phương pháp này do Lemke G E đề xuất năm 1954

Phương pháp đơn hình gốc giải qui hoạch tuyến tính bắt đầu từ một phương án (nghiệm đúng Ax = b và x  0) mà nó chưa thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu (N  0) Sau mỗi bước lặp ta sẽ tìm được một phương án mới tốt hơn phương án cũ và quá trình lặp này tiếp tục cho đến khi nhận được phương án thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu Phương pháp đơn hình đối ngẫu lại xuất phát từ một “giả phương án” (nghiệm đúng Ax = b) mà nó thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu nhưng không thoả mãn điều kiện

x  0, nghĩa là bảng đơn hình ban đầu không có phần tử dương trong dòng mục tiêu

(dòng cuối), nhưng lại có phần tử âm ở cột Phương án (vì thế có tên gọi cột Giả

phương án) Các bảng đơn hình được biến đổi sao cho luôn đảm bảo điều kiện tối

ưu và quá trình này tiếp diễn cho đến khi nhận được phương án (không còn phần tử

âm trong cột Giả phương án) Phương án đó sẽ là phương án tối ưu

Phương pháp đơn hình đối ngẫu thường được sử dụng khi ta chưa biết một phương án cực biên nào của bài toán gốc, nhưng lại có sẵn một phương án cực biên

của bài toán đối ngẫu Chẳng hạn, khi bài toán cần giải có dạng chuẩn và véctơ hệ

2.1.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu

Các bước tiến hành thuật toán đơn hình đối ngẫu như sau:

Bước 1. Lập bảng đơn hình đối ngẫu ban đầu (xem các ví dụ minh hoạ 2.1, 2.2 dưới đây)

Bước 2. Kiểm tra tối ưu: Nếu mọi phần tử trong cột giả phương án đều không

âm thì dừng quá trình giải và ta nhận được phương án tối ưu của bài toán đã cho Trái lại, chuyển sang Bước 3

Bước 3. Chọn dòng quay: Đó là dòng đầu tiên từ trên xuống mà nó chứa phần

tử âm nhỏ nhất trong cột giả phương án

Bước 4. Chọn cột quay: Chia các phần tử trên dòng ước lượng (cuối mỗi bảng) cho các phân tử tương ứng trên dòng quay, nhưng chỉ chia cho những phần

tử âm trên dòng quay Cột quay là cột đầu tiên từ trái sang phải ứng với số nhỏ nhất trong các tỉ số đó

Bước 5. Biến đổi bảng đơn hình hoàn toàn như trong phương pháp đơn hình thường (thay đổi biến cơ sở, đổi hệ số mục tiêu tương ứng, xác lập các véctơ đơn

vị, biến đổi dòng quay và cuối cùng là biến đổi các dòng khác theo qui tắc hình chữ nhật)

Trở lại thực hiện Bước 2 mô tả ở trên

Chú ý. Khi tìm cột quay, nếu mọi phần tử trên dòng quay đều không âm thì đó

là dấu hiệu cho thấy bài toán gốc ban đầu không có phương án

Ví dụ 2.1. Giải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau đây

Bài toán có n = 5 biến và m = 2 ràng buộc chính, nên mỗi bảng đơn hình gồm

n + 3 = 8 cột và m + 1 = 3 dòng Cũng như trong phương pháp đơn hình thường, bảng đầu tiên ghi lại các hệ số trong bài toán, chỉ khác là cột “Phương án” bây giờ được thay bằng cột “Giả phương án”, vì trong thành phần của “phương án” xuất phát có các phần tử âm Bảng này tương ứng với giả phương án ban đầu x0 = (0, 0,

x 2 12 40 3/4 1 1/2  1/4 0

x 5 0  60 1/2 0  2  1/2 1 Bảng 2 480  6 0  4  3 0

x 2 12 25 7/8 1 0  3/8 1/4

x 3 10 30  1/4 0 1 1/4  1/2 Bảng 3 600  7 0 0  2  2

Trong Bảng 1, cột giả phương án có phần tử âm, nên ta chưa nhận được phương án tối ưu Ta chọn dòng x4 (tương ứng với số âm nhỏ nhất 160) làm dòng quay Cột quay là cột x2 (tương ứng với số nhỏ nhất trong ba tỉ số: 153 = 5, 124 =

Từ các kết quả tính toán nêu trên, ta cũng có thể tìm được lời giải của bài toán đối ngẫu nhờ vận dụng qui tắc sau đây:

Qui tắc B Nếu cơ sở ban đầu là ma trận đơn vị thì để tìm phương án tối ưu

của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra từ bảng đơn hình đối ngẫu cuối cùng các j của các cột biến xj mà chúng là các biến cơ sở ở bước lặp đầu tiên (Bảng 1), rồi cộng thêm với hệ số cj tương ứng Sau đó, đổi dấu tổng tìm được nếu biến cơ sở tương ứng ban đầu nhận giá trị âm

Với ví dụ đang xét ta thấy các biến cơ sở ở bước lặp đầu tiên (Bảng 1) là x4,

x5 (A4, A5 là các véctơ đơn vị) Lúc đầu các biến này nhận giá trị âm, nên phương

án tối ưu của bài toán đối ngẫu y* = ( *

1

y , * 2

y ) được xác định như sau:

* 1

y = 4  c4 = 2  0 = 2

* 2

y = 5  c5 = 2  0 = 2 Vậy, y* = (2; 2) và gmax = 1602 + 1402 = 600 = fmin

Ví dụ sau đây cho thấy bài toán gốc không có phương án

Ví dụ 2.2. Dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu giải bài toán sau

f(x) = 2x1 4x2 + x3 x4 + 2x5  min,

x1 2x2  2x5 = 2,

4x2 + x3 + x4  x5 = 4,