ÔN tập CHƯƠNG HÌNH KHỐI đa DIỆN

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.. Gọi V � là th

KHỞI ĐỘNG VỚI CÁC CÂU HỎI NHẸ NHÉ

Câu 22: [2H1-6.1-2] [2D1-3.0-2] Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở

bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Lời giải Chọn C

x 0 2 6'

a

V 

C V 3 3a3 D 3

13

V  a

Lời giải Chọn A

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng x x; 0

Xét tam giác ' ' 'A B C vuông cân tại B' ta có:

A C A B B C x2x2 2x2 � A C' 'x 2Xét tam giác 'A AC vuông tại ' A'ta có

Câu 35: [2H1-2.1-2] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 Tính thể tích V của khối chóp

S ABCD

A

3

26

a

V 

Lời giải Chọn D

Ta có SAABCD�SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp S ABCD :

3 2

Câu 43: [2H1-2.6-3] Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và DA đôi một vuông góc với

nhau; AB6a , AC7a vàAD4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các

cạnh BC,CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

A

3

72

V  a

B V 14a3 C

3

283

V  a

D V 7a3

Lời giải Chọn D

Câu 44: [2H1-4.1-3] 111Equation Chapter 1 Section 1 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy

là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD

vuông gócvới mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD bằng

h a

B

43

h a

C

83

h a

D

34

h a

Lời giải Chọn B

Gọi I là trung điểm của AD Tam giác SAD cân

Theo giả thiết

 a

h

B

32

 a

h

C

33

 a

h

D h 3a

Lời giải Chọn D

Do đáy là tam giác đều cạnh 2a nên

 2

2

34

3 ABC

V  S h

3 2

33

A Tứ diện đều B Bát diện đều C Hình lập phương D Lăng trụ lụcgiác đều.

Lời giải Chọn A

Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương và hình lăng trục lục giác đều có tâmđối xứng Còn tứ diện đều không có tâm đối xứng

Câu 34: [2H1-3.7-2] Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ���

A, cạnh AC2 2 Biết AC tạo với mặt phẳng � ABC một góc 60� và AC�4.

Tính thể tích V của khối đa diện ABCB C ��

A

83



V

B

163



V

C

8 33



V

D

16 33



V

Lời giải Chọn D

Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB C bằng thể tích khối của lăng trụ�� ���

ABC A B C trừ đi thể tích của khối chóp ��� A A B C

Giả sử đường cao của lăng trụ là �C H Khi đó góc giữa AC mặt phẳng � ABC

.

Câu 1: [2H1-3.2-1] Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a

A

3 36

a

V 

B

3 312

a

V 

C

3 32

a

V 

D

3 34

a

V 

Lời giải Chọn D

Đếm đáy hình chóp có 5 mặt và 5 mặt của lăng trụ và 1 mặt đáy Vậy có 11 mặt

Câu 3: [2H1-2.1-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc

với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB

a

V 

Lời giải

Câu 4: [2H1-2.6-3] Cho khối tứ diện có thể tích bằng V Gọi V � là thể tích của khối đa diện

có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số

V V

�

A

12

V V

�



23

V V

�



58

V V

�



Lời giải Chọn A

NM

D

CB

A

Cách 1 Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a Hình đa diện cần tính có đượcbằng cách cắt 4 góc của tứ diện, mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng 2

V

�

� � 

Cách 2 Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình

hành úp lại Suy ra: . . .

Câu 1: [2H1-4.3-1] Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của

hình bát diện đó Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A S 4 3a2 B S 3 a2 C I 2 3 a2 D I 8a2

Lời giải Chọn C

Bát diện đều có 8 mặt bằng nhau, mỗi mặt là một tam giác đều cạnh a

Câu 2: [2H1-2.3-2] Cho khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên

bằng 2a Tính thể tích V của khối chóp S ABC

A

3

1312

a

V 

Lời giải

Chọn B

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường cao

của tam giác đáy Theo định lý Pitago ta có

Câu 3: [2H1-3.1-2] Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với ' ' '

AB AC a  , BAC� 1200 Mặt phẳng (AB C��) tạo với đáy một góc 60 0 Tính thể

tích V của khối lăng trụ đã cho.

A

3

38

a

V 

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của ’ ’B C , khi đó góc giữa mp AB C’ ’

Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình chóp tứ giác đều lần lượt là x h x h; ( , 0) Ta

có đáy là hình vuông với độ dài nửa đường chéo bằng 2

x

suy ra độ dài cạnh bên

2 2

x h l

bằng xảy ra khi h h 36 2 h�h12,x12 vậy V max 576.

Câu 1: [2H1-1.2-2] Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?

A 1 mặt phẳng B 2 mặt phẳng C 3 mặt phẳng D 4 mặtphẳng

Lời giải Chọn D

Hình lăng trụ tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của 3 cạnh đáy và một mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên

Câu 2: [2H1-2.1-2] Cho khối chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy, SA 4, AB 6,

 10

BC và CA 8 Tính thể tích V của khối chóp S ABC

A V  24 B V  32 C V  192 D V  40

Lời giải Chọn B

Ta có BC2AB2AC suy ra ABC vuông tại 2 A S ABC  24, 1 32

3 ABC

V S SA

Câu 3: [2H1-2.1-3] Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng

22

a

Tính thể tích củakhối chóp đã cho

a

Lời giải Chọn B

Câu 4: [2H1-2.1-4] Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc

với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng 3 Gọi  là góc giữa hai mặtphẳng SBC

2

Lời giải Chọn A

Đặt AB AC x x  , 0

Ta có BC AB2AC2  2x

Gọi I là trung điểm của AB, hạ AH SI tại  H

Đặt cos t t, � 0;1

ta có

     2

11

t t

f t

t t   

2 2 3

33

t

f t

t

Vậy thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất khi  

3cos

3

Câu 30: [2H1-3.1-2] Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có � ��� BB a, đáy ABC là tam giác

vuông cân tại B và AC a 2 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A  3

6

a V

B  3

3

a V

C  3

2

a V

D V a 3

Lời giải Chọn C

Tam giác ABC vuông cân tại B

A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác

B Hai khối chóp tam giác

C Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác

D Hai khối chóp tứ giác

Lời giải Chọn A

Mặt phẳng AB C��

chia khối lăng trụ ABC A B C thành hai khối chóp ���

Chóp tam giác: A A B C và chóp tứ giác: ��� A BB C C . ��

Câu 43: [2H1-2.1-3] Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a,

AD a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC

tạo với đáy mộtgóc 60 Tính thể tích V của khối chóp � S ABCD

A V 3a3 B  3 3

3

a V

3

a V

Lời giải Chọn C

Ta có S ABCD  3a 2

Câu 50: [2H1-5.1-4] Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều bằng

2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

A x 3 2 B x 6 C x 2 3 D x 14

Lời giải Chọn A

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB

Vậy với  3 2x thì V ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng 3 3.

Câu 1: [2H1-2.3-2] Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng ,a cạnh bên gấp hai lần cạnh

đáy Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A  14 3

6

a V

B  14 3

2

a V

C  2 3

6

a V

D  2 3

2

a V

Lời giải Chọn A

Chiều cao của khối chóp:

Lời giải Chọn A

Xét hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có ba kích thước đôi một khác nhau. ' ' ' '

Khi đó có 3 mặt phẳng đối xứng là MNOP QRST UVWX, , .

Câu 3: [2H1-2.1-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

với đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB

một góc 30 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD

3

23

a

C

3

23

a

D

3

63

+) Chứng minh được BCSAB�

góc giữa SC và (SAB) là CSA� 300.

+) Đặt SA x �SB x2a Tam giác SBC vuông tại B nên2

�  0 1 tan tan30

3

BC CSA

Câu 4: [2H1-2.3-4] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N lần lượt là trung,

điểm của các cạnh AB BC và , E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE)

chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể

tích V Tính V

A

3

13 2216

a

B

3

7 2216

a

C

3

218

a

D

3

11 2216

a

Lời giải Chọn D

Tính thể tích T có khối tứ diện ABCD Gọi F là trung điểm BC và H trọng tâm

tam giác BCD

Ta có  3

2

a BF

Ta thấy P Q, lần lượt là trọng tâm các tam giác BEC và BEA nên

Câu 41: [2H1-2.6-3] Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai

mặt phẳng vuông góc với nhau Gọi S là điểm đối xứng của Bqua đường thẳng DE.Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng

Lời giải Chọn D

Ta có:ADF.BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân

.

a

D 2a

Lời giải

Câu 25: [1H3-3.9-2] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là

trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang của góc giữa đường thẳng BM vàmặt phẳng ABCD

Lời giải Chọn D

Gọi O là tâm của hình vuông Ta có SOABCD và

Gọi M là trung điểm của OD ta có MH/ /SO nên H là hình chiếu của M lên mặt

3

3 24

a MH MBH

Câu 28: [1H3-3.3-2] Cho tứ diện OABC có OA OB OC đôi một vuông góc với nhau và, ,

OA OB OC  Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới) Gócgiữa hai đường thẳng OM và AB bằng

A

0

Lời giải Chọn C

Đặt OA a suy ra OB OC a và AB BC AC a 2

Gọi N là trung điểm AC ta có MN/ /AB và

22

a

ON OM MN 

nên OMN là tam giác đềuSuy ra OMN� 600 Vậy �OM AB, �OM MN,  600

Câu 47: [1H3-5.0-4] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ��� có AB2 3 và AA�2

Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , A B A C�� �� và , BC (tham khảo hình vẽbên) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C��

và MNP

bằng

Lời giải Chọn B

Gọi ,P Q lần lượt là trung điểm của BC và B C��;

I BM�AB J CN�  �AC E MN�  �A Q�

Suy ra, MNP � AB C��  MNCB � AB C�� IJ

và gọi K  �IJ PE� �K AQvới E là trung điểm MN (hình vẽ)

KQ KP

Câu 19 [1H3-3.3-2] (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB2a Góc giữa đường thẳng SB và mặtphẳng đáy bằng

Lời giải Chọn A

Do SAABCD nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáybằng góc �SBA

Ta có

�cosSBA AB

Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60�.

Câu 25 [1H3-5.3-2] (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a Khoảng cách từ A đến

a

C

2 23

a

D

55

a

Lời giải Chọn A

S ABCD có đáy là ình chữ nhật, AB a BC , 2 ,a SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và SA a  Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng.

A

62

a

B

23

x O

C D

B A

S

K H

Ta có BKA đồng dạng với ABC vì hai tam giác vuông có �KBA BAC�(so le trong

Suy ra

.55

Lời giải Chọn B

Giao tuyến của (MAB) và (MC D��) là đường thẳng KH như hình vẽ.

Gọi J là tâm hình vuông ABCD L N, lần lượt là trung điểm của C D�� và AB

LM 

,

346

Câu 15 [2H1-3.2-1] (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh

a và chiều cao bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a nên có diện tích đáy: S đáy a2.

Chiều cao h2a.

Vậy thể tích khối chóp đã cho là

1

Câu 42 [2H1-3.2-4] (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C. ���, khoảng

cách từ C đến đường thẳng BB� bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB� và CC�

lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C���

là trung điểm M của B C�� và

2 33

A M� 

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

2 33

Lời giải Chọn A

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A� và vuông góc với AA� ta đượcthiết diện là tam giác A B C� có các cạnh 1 1 A B�1 ; 1 A C�1  3; B C1 1  2

Suy ra tam giác A B C� vuông tại 1 1 A� và trung tuyến A H� của tam giác

đó bằng 1

Gọi giao điểm của AM và A H� là T

Ta có:

2 33

A M� 

; A H�1

13

A M AA

A B C

V AA S� �  � 

Câu 19 [1H3-3.9-2] (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a Góc giữa đường

thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45�.

Câu 23 [1H3-5.2-2] (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam

giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng

a

22

a

Lời giải

Câu 28 [1H3-5.7-2] (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình chữ nhật, AB a , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng

A

306

a

4 2121

a

2 2121

a

3012

a

h

Câu 7 [2H1-2.2-1] (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối chóp

có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a Thể tích khối

Câu 46 [2H1-3.4-4] (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' ,.

khoảng cách từ C đến BB là 5 , khoảng cách từ A đến ' BB và ' CC lần lượt là'

1; 2 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ' ' ' A B C là trung điểm M của ' ' B C ,

15'

Kẻ AI BB , ' AK CC ( hình vẽ ) '

Khoảng cách từ A đến BB và ' CC lần lượt là 1; 2' � AI 1, AK 2

Gọi F là trung điểm của BC

15'

Vì CC'PBB'� d C BB( , ')  d K BB  IK( , ')  5 � AIK vuông tại A 

Gọi E là trung điểm của IK �EF BB P ' � EF AIK � EF AE

52153



32

30



�FAE �

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng  AIK là

AIK nên ta có: S AIK S ABCcosEAF � �1S ABC 23

AM

15333

nên SB ABC�,    �30

Câu 25 [1H3-5.3-2] (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho hình chóp S ABCD có đáy là

hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

bằng

A.

53

a

B

32

a

C

66

a

D

33

SAB SBC SAB SBC SB



�

�Trong mặt phẳng SAB

OC đôi một vuông góc với nhau, và OA OB a  , OC2a Gọi M là trung điểm của AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng

A

23

a

B

2 55

a

C

22

a

D

2 3

M OBC

�

Xét tam giác vuông cân AOB :

4

.Suy ra

Câu 37 [1H3-4.3-3] (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho hình lập phương ABCD A B C D. ����

có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông A B C D���� và điểm M thuộc đoạn OI sao cho

2

MO MI (tham khảo hình vẽ) Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  MC D �� 

và  MAB bằng

Lời giải Chọn D

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau :



Suy ra sin�MAB , MC D�� 

2

7 85 1

Gọi A A1, 2 lần lượt là hình chiếu của A trên BB', CC Theo đề ra'

AA  AA  A A nên tam giác AA A1 2 vuông tại A

Gọi H là trung điểm A A1 2 thì 1 2 1

2

A A

.Lại có MH BB P ' � MH  ( AA A1 2) � MH AH  suy ra MH  AM2 AH2  3.

3cos(( ),( )) cos( , ) cos

2

MH ABC AA A MH AM HMA

S S

ABC AA A

Thể tích lăng trụ là V AM S  �ABC  2.

Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu 'S Scos .

Câu 17: [1H3-3.9-2] (THPTQG 2018 - MÃ ĐỀ 104) Cho hình chóp S ABC có SAvuông góc với

mặt phẳng đáy, AB a và SB2a Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

A 600 B 450 C 300 D 900

Lời giải

Ta có SAABC tạiA nên AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy.

Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là SBA.�

Tam giác SAB vuông tại A nên

Câu 18: [1H3-5.2-2] (THPTQG 2018 - MÃ ĐỀ 104) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác

vuông cân tại C BC a,  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Khoảng cách từ

A đến mặt phẳng SBC bằng

22

a

Lời giải