Nhân dịp sinh nhật bạn X(là một thành viên của lớp), các bạn trong lớp có rất nhiều món quà tặng X. Ngoài ra mỗi bạn nam của lớp làm 3 tấm thiệp và mỗi bạn nữ xếp 2 hoặc 5 con hạc để tặn[r]
Trang 1ĐỀ TOÁN KHÔNG CHUYÊN THI VÀO TRƯỜNG PTNK 2016
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1 Biết a và b là các số dương, a 6= b và
a(a − 4b) + b(b + 2a)
a + b
:
"
a√
a + b√
b
√
a +√
b −√ab
!
a√
a − b√
b
√
a −√
√ ab
!#
= 2016
Tính S = a + b
Bài 2
a) Giải phương trình x√
x + 5 = 2x2 − 5x
b) Giải hệ phương trình (√y + x − 3)(y +√
x) = 0
x2 + y = 5 Bài 3 Cho phương trình (x + 1)(x
2 + mx + 2m + 14)
√
a) Giải phương trình (1) khi m = −8
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho:
q
x22 + (m + 1)x2 + 2m + 14 = 3 −√
x1 Bài 4
a) Ông An định cải tạo một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng
2,5 chiều rộng Ông thấy rằng nếu đào một cái hồ có mặt hồ là hình chữ
nhật thì sẽ chiếm mất 3% diện tích mảnh vườn, còn nếu giảm chiều dài
5m và tăng chiều rộng 2m thì mặt hồ là hình vuông và diện tích mặt
hồ giảm được 20m2 Hãy tính các cạnh của mảnh vườn
b) Lớp 9A có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ Nhân dịp sinh nhật bạn
X(là một thành viên của lớp), các bạn trong lớp có rất nhiều món quà
tặng X Ngoài ra mỗi bạn nam của lớp làm 3 tấm thiệp và mỗi bạn nữ
xếp 2 hoặc 5 con hạc để tặng bạn X Biết số tấm thiệp và số con hạc
bằng nhau, hỏi bạn X là nam hay nữ?
Bài 5 Tam giác ABC đều có tâm O,AB = 6a và các điểm M, N lần lượt
thuộc các cạnh AB, AC mà AM = AN = 2a Gọi I, J, K lần lượt là trung
Trang 2a) Chứng minh các điểm M, N, B, C cùng thuộc một đường tròn T Tính diện tích tứ giác BM N C theo a
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IJ K Chứng minh đường tròn đường kính N C tiếp xúc với AI
c) AE tiếp xúc với đường tròn T tại E (E, B cùng phía đối với AI).Gọi F
là trung điểm OE, tính số đo ∠AF J
Trang 3Hướng dẫn
Bài 1 Biết a và b là các số dương, a 6= b và
a(a − 4b) + b(b + 2a)
a + b
:
"
a√
a + b√
b
√
a +√
b −√ab
!
a√
a − b√
b
√
a −√
√ ab
!#
= 2016
Tính S = a + b
Hướng dẫn
Ta có a (a − 4b) + b (b + 2a)
a2 − 2ab + b
(a − b)2
a + b
a√
a + b√
b
√
a +√
b −√ab =
√
a +√
b
a −√
ab + b
√
a +√
√
a −√
b
2
a√
a − b√
b
√
a −√
√
ab =
√
a +√
b
2
Do đó 2016 = (a − b)
2
a + b :
h (√
a −√
b)2(√
a +√
b)2
i
a + b. Suy ra a + b = 1
2016.
Bài 2
a) Giải phương trình x√
x + 5 = 2x2 − 5x
b) Giải hệ phương trình (√y + x − 3)(y +√
x) = 0(1)
x2 + y = 5(2)
Hướng dẫn a) Điều kiện x ≥ −5
Ta có x√
x + 5 = 2x2−5x ⇔ x(√x + 5−2x+5) = 0 ⇔ x = 0(n),√
x + 5 = 2x − 5
Ta có √
x + 5 = 2x − 5 ⇔ x + 5 = (2x − 5)2(x ≥ 5
2) ⇔ 4x
2 − 21x + 20 =
0 ⇔ x = 4(n), x = 5
4(l).
Vậy S = {0, 4}
b) Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0
Ta có (1) ⇔ y +√
x = 0,√
y + x − 3 = 0 Với y +√
x = 0 mà y ≥ 0 nên
x = y = 0(không thỏa (2)
Trang 4ta có a = 3 − x, thế vào (4) ta có x2 + (3 − x)2 = 5 ⇔ 2x2 − 6x + 4 = 0 ⇔
x = 1, x = 2
Với x = 1 ta có y = 4
Với x = 2 ta có y = 1
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,4) và (2,1)
Bài 3 Cho phương trình (x + 1)(x
2 + mx + 2m + 14)
√
a) Giải phương trình (1) khi m = −8
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho:
q
x2
2 + (m + 1)x2 + 2m + 14 = 3 −√
x1
Hướng dẫn a) Điều kiện x > 0 Khi m = −8 ta có phương trình (x + 1)(x2 − 8m − 2)
√
2 − 8x − 2 = 0 (do x + 1 > 0) ⇔ x =
4 + 3√
2(n), x = 4 − 3√
2(l)
Vậy phương trình có một nghiệm x = 4 + 3√
2
b) Phương trình (1) tương đương x2 + mx + 2m + 14 = 0 (2)
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tương đương ∆ = m2 − 4(2m + 14) > 0, S = −m > 0, P = 2m + 14 > 0 (*) Khi đó x1 + x2 = −m, x1x2 = 2m + 14 và x2 là nghiệm nên x22 + mx2 + 2m + 14 = 0, suy ra x22 + (m + 1)x2 + 2m + 14 = x2
Do đó px2
2 + (m + 1)x2 + 2m + 14 = 3 −√
x1 ⇔ √x1 +√
x2 = 3 ⇔ x1 +
x2+ 2√
x1x2 = 9 ⇔ 2√
2m + 14 = 9 + m ⇔ 4(2m + 14) = m2+ 18m + 81 ⇔
m2 + 10m + 25 = 0 ⇔ m = −5(n) vì thỏa (*) Kết luận m = −5
Bài 4
a) Ông An định cải tạo một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 2,5 chiều rộng Ông thấy rằng nếu đào một cái hồ có mặt hồ là hình chữ nhật thì sẽ chiếm mất 3% diện tích mảnh vườn, còn nếu giảm chiều dài 5m và tăng chiều rộng 2m thì mặt hồ là hình vuông và diện tích mặt hồ giảm được 20m2 Hãy tính các cạnh của mảnh vườn
Trang 5b) Lớp 9A có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ Nhân dịp sinh nhật bạn X(là một thành viên của lớp), các bạn trong lớp có rất nhiều món quà tặng X Ngoài ra mỗi bạn nam của lớp làm 3 tấm thiệp và mỗi bạn nữ xếp 2 hoặc 5 con hạc để tặng bạn X Biết số tấm thiệp và số con hạc bằng nhau, hỏi bạn X là nam hay nữ?
Hướng dẫn
a) Gọi chiều dài và chiều rộng của hồ là x, y(m)
Ta có x − 5 = y + 2 (1) và xy − (x − 5)(y + 2) = 20(2)
Từ (1) suy ra x = y + 7, thế vào (2) ta có y(y + 7) − (y + 2)2 = 20 ⇔ 3y =
24 ⇔ y = 8, x = 15 Suy ra diện tích hồ là 120m2
Gọi chiều rộng của mảnh vườn là a Ta có chiều dài là 2, 5a và diện tích là
2, 5a2 Ta có phương trình 3%2, 5a2 = 120 ⇔ a = 40
Vậy kích thước mảnh vườn là 40 × 100
b) Gọi x là số bạn nữ tặng 2 con hạc, y là số bạn nữa tặng 5 con hạc Giả
sử bạn X là nam, ta có hệ phương trình 26.3 = 2x + 5y, x + y = 18 Giải
ra được y = 14, x = 4 (thỏa)
Giả sử bạn X là nữ, ta có hệ 27.3 = 2x + 5y, x + y = 17, suy ra y = 47
3 (loại vì y là số nguyên)
Vậy bạn X là nam
Bài 5 Tam giác ABC đều có tâm O,AB = 6a và các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC mà AM = AN = 2a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC và M N
a) Chứng minh các điểm M, N, B, C cùng thuộc một đường tròn T Tính diện tích tứ giác BM N C theo a
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IJ K Chứng minh đường tròn đường kính N C tiếp xúc với AI
c) AE tiếp xúc với đường tròn T tại E (E, B cùng phía đối với AI).Gọi
F là trung điểm OE, tính số đo ∠AF J
Hướng dẫn
Trang 6B C
A
I
J K
O
E
F
a) Ta có AM = AN = 2a,∠MAN = 60o nên tam giác AM N đều Suy ra
∠AMN = 60o = ∠ACB Suy ra BM NC nội tiếp
Ta có M N ||BC, AK⊥M N, AI⊥BC Suy raA, K, I thẳng hàng AI =
AC sin ∠ACB = 3a√3, AI = AN sin ∠ANM = a√3 Suy ra IK = 2a√
3
Do đó SBM N C = 1
2IK(M N + BC) = 8a
2√ 3
b) Ta có OJ ⊥AC, N J = AJ − AN = a, N K = 1
2M N = a Suy ra
∆OJ N = ∆OKN , suy ra OJ = OK, tương tự ta có OJ = OI Tam giác
IJ K nội tiếp đường tròn tâm O bán kính OI = a√
3
Gọi P là trung điểm của CN Ta có KN CI là hình thang, và OP là đường trung bình Suy ra OP = 1
2(KN + CI) = 2a = P N = P C Suy ra O thuộc đường tròn đường kính CN mà P O||KN nên P O⊥KI Suy ra KI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CN
AM.AB = 12a2
Suy ra AE = 2a√
3 = AO Suy ra tam giác AEO cân tại A Do đó
∠AF O = 90o, suy ra AF OJ nội tiếp Suy ra ∠AF J = ∠AOJ = 60o
