Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi các nước

Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước.. Biên soạn : Khanhaxuan..[r]

Trang 1

Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước

Biên soạn : Khanhaxuan

Trang 2

Câu 1 : Cho các số thực không âm thỏa mãn : Chứng minh rằng :

Bài giải :

Mặt khác theo BĐT Mincosxki ta được :

Nên ta cần chứng minh :

Bình phương hai vế trở thành :

Mặt khác ta để ý rằng :

Đến đây ta chỉ cần chứng minh :

Dấu xảy ra khi

Câu 2 :Cho các số thực dương thỏa mãn : Chứng minh rằng :

Trang 3

Bài giải : (của Khanghaxuan )

Ta biến đổi tương đương :

Đến đây ta áp dụng AM-GM như sau :

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được :

Trang 4

Mà Nên đúng Vậy ta có ĐPCM 

Câu 4 : Cho các số thực dương Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của binhnhaukhong )

Câu 5 : Cho các số thực dương thỏa mãn : CMR :

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Trang 5

Câu 7 : Cho là các số thực dương CMR :

Trang 6

Bổ đề : Với mọi ta luôn có :

Quay lại bài toán : Ta có :

Câu 9 : Cho là 1 dãy không tăng gồm các số thực dương Chứng minh rằng :

Saudi Arabia IMO TST 2014

Trang 8

(Brazil National Olympiad 2008)

Bài giải : Lời giải 1 : (của khanghaxuan)

Trang 9

Ta dự đoán thấy dấu xảy ra và các hoán vị

Nếu thì BĐT hiển nhiên đúng

Ta chứng minh :

Trang 10

Câu 13 : Cho thỏa : Chứng minh rằng :

Trang 11

Câu 17 : Cho không âm thỏa mãn : CMR :

(Iran MO 2014 , vòng 2)

Bài giải : ( của nhungvienkimcuong )

Dễ thấy , nếu một trong ba số bằng thì BĐT hiển nhiên đúng

Nên ta chỉ xét trong TH WLOG

Từ giả thiết

Do đó ta cần chứng minh : hay :

Câu 18 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : Chứng minh rằng :

Trang 13

Câu 23 : Cho là các số thực dương thỏa : Chứng minh rằng :

(JBMO TST 2015)

Với điều kiện thì ĐPCM viết lại :

Ta cần chứng minh luôn đúng thỏa đề bài

Thật vậy , ta có :

(ĐPCM )

Trang 15

Câu 31 : Cho là các số thực dương Chứng minh rằng :

( Korea MO 2006 )

Mặt khác ta có : và nên ta cần chứng minh :

Nên ta có ĐPCM 

Trang 16

Bài giải : ( của ducvipdh 12 )

Trang 17

Áp dụng BĐT Cauchy – Schawrz ta được :

Trang 18

Ta có : (ĐPCM )

Bài giải : ( của Hoang Tung 126 )

Trước tiên ta sẽ chứng minh :

Thật vậy :

Tương tự

Bài giải : ( của Hoang Tung 126 )

Ta sẽ chứng minh :

Lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được :

(ĐPCM )

Trang 19

Câu 38 : Cho thỏa mãn : .Chứng minh rằng :

( Baltic 2005 )

Bài giải : ( của Bui Ba Ạnh )

Đặt : thì ta có: Từ đây ta cần chứng minh :

Vậy bài toán được chứng minh trọn vẹn 

Nên nên theo định lý Rolle thì có tối đa 2 nghiệm trên

Mà dễ thấy : do đó chỉ có thể đổi dấu tối đa 1 lần trên

Nên

Trang 20

Việc còn lại là chứng minh :

Công việc này xin nhường cho bạn đọc 

Câu 40 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : CMR :

Bài giải : ( của dogsteven )

Giả sử : , thay trực tiếp ta được :

Trang 21

Mặt khác , ta có :

Từ đây , ta chỉ việc chứng minh : Phần chứng minh này xin dành cho bạn đọc 

Bài 42 : Cho không âm CMR :

Bài giải : Lời giải 1 : ( của Hoang Tung 126 )

Trang 22

Bài 43 : Cho là các số thực dương CMR :

Bài giải : Lời giải 1 : ( của Bui Ba Anh )

Trang 23

Bài 45 : Cho thỏa mãn : .CMR :

Bài giải : ( của tonarinototoro )

Áp dụng Cauchy – Schawrz ta được :

Ta chỉ cần chứng minh : Điều này đúng khi giả sử : lớn nhất Vậy bài toán được chứng minh 

Tương tự ta cũng có :

Cộng các BĐT trên lại , ta được ĐPCM 

Trang 24

Dễ thấy BĐT tương đương :

Đến đây , áp dụng BĐT AM-GM ta được :

Do đó ta quy về chứng minh :

Mà điều này luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh 

Quay lại bài toán : Ta có :

Cộng vế theo vế có :

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	2,57 MB