Khái niệm và Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Malhermatical Olympiads: Pro blems and Solutions from Around the World, Mathcrmatical Association o f America, Washington.. Fink[r]

CÁC BÀI GIẢNG VỂ BẤT ĐẲNG THỨC

NHÁ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

rr 11 -1 \ • ĐHQGIIN

V - C ỉ l

HÀ NÔI

ĐAI HỌC QUOC GIA HA NỌI

T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự N H IÊ N• • I I

KHỎI 111PT C I 1UYẼN TOÁN - TINNGUYỄN VÚ LƯƠNG (Chủ biên) NGUYỄN NGỌC THẮNG

CÁC BÀI GIẢNG

VÊ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

C ác !’ài ciảng về bất dáng thức Burthiacópxki

MO DẢI

Bít đẳng thức được áp dụng rộng rãi tronq nhiều lĩnh vực của toán

hex; 'à nhiều ngành khoa học tự nhiên Đã có những cuốn sách chuyôn kháo viết dẩy đủ về bất đảng thức, nhưng chi dành ricng cho các chuyên gia, các tháy cô giáo dể có hiếu biết, có kiên thức sâu vé bất đảng thức Nhữrg cuốn sách biên soạn vé bất đẳng thức dành cho học sinh trung học

cơ sc hay trung học phổ thông còn rát ít Hai hất đẳng thức cơ bản quen

th u ộ c nhíu đối với các em học sinh là bất đảng thức dạng trung hình

rừ nhữnt’ bài giảng cho học sinh Khối chuyên Toán - Tin Trường

Đại iọc Khoa học Tự nhiên các tác giả muốn trình bày một cách tiếp cận nới vé hai bất đẳng thức dược áp dụng rộng rãi nhất này Cuốn sách chia hành các bài giảng độc lập được sắp xếp mổt cách trình tự Sau

này (húng ta có thổ bổ sung các bài giảng mới để cuốn sách naày càng

dầy củ hơn Mỗi bài giảng có một nội dung được hoàn thiện và sấp xếp

từ dí đến khó đổ độc giả có thể tư học Bạn đọc nào đã làm quen với cuốn sách " Các bài giảng vé bất đảng thức Côsi" là bất đẳng thức dạng trung bình đã được xuất bản cùa cùng các tác giả cuốn sách này thì chắc chiinsẽ dc dàng hơn khi đọc cuốn sách dang có trong tay các bạn "Các

bài gàng về bất đảng thức Bunhiacốpxki Nếu nhiểu phương pháp giải

liav, :ác bài toán khó được các em học sinh, các dộc già hiểu thấu đáo

và can thấy đơn giản thì đó chính là điểu mong muôn của những người

viết (Uốn sách này.

Như các bạn đã biết, khi viết vé một nối dung phong phú và khá

kinh điển thì chắc chắn sẽ còn nhiéu thiếu sót nẽn các tác giả rất mong

sự g(p ý của các bạn độc giả Các ý kiến cóp ý xin gửi về địa chỉ:

Mục Lục

1 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki dạng đơn g iả n 3

2 Bất đẳng thức hàm l ồ i 19

3 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki 28

4 Một số dạng hệ quả 43

5 Một số dạng mở rộng và liên q u a n 52

6 Một số kết quả làm mạnh bất đẳng thức Bunhiacôpxki 62 Một sổ phương pháp xây dựng bất đảng thức 69 1 Một phương pháp xây dựng bất đảng thức dạng phần thúc 69 2 Một dạng hệ quả của Bất đẳng thức Bunhiacôpxki và áp d ụ n g 81

3 Bất đẳng thức tam g iá c 99

4 Dạng hằng đẳng thức của Bất đẳng thức Bunhiacôpxki 111 5 Sử dụng công thức tính tổng hữu hạn trong Bất đẳng thức Bunhiacopski 117

6 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki và một sô' dạng bất đẳng thức chứa căn t h ứ c 125

7 Phép biến đổi thuận 138

8 Phép biến đổi nghịch Bunhiacôpxki 155

9 Sừ dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki xây dựng bất đẳng thức có điều kiện thứ t ự 163

10 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki giải một sô' bài toán trong tam giác 173

2

Chương 1

Kiến thức cơ bản

1 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki dạng đơn giản

Bất đẳng thức Bunhiacôpxki tronu trường hợp đơn giản được thể hiện trong ví dụ 1.1 sau đây

Ví dụ 1.1 Chứng minh rằng \/a,b,c,x, y, z 6 R ta có

2) (ax + by + cz)2 < {á2 + b1 + c2) ( j 2 + y2 + z2) (**)

Giải1) Bất đẳng thức (*) tương đương với (bx - ay)2 ^ 0

4 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng

6 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thũng

Các bài giảnỉ vê hat đắng thức Bunhiacôpxki

Suy ra a 3xy = 4xy <=> a = \/4.

Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

n/ĨCx = 2 y

y3 = 2.T3

2

D o đó />„„ = Ự 2(n/Ĩ 6 + 4)(1 + - ^ ) 2

V í dụ 1.9 Với ha,h i,h c là độ dài các đường cao của một tam giác,

r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh ràng

n/ 3 2 y/5 < y/Ĩ2

8 Nguyẻn Vũ Lương, Nguyên Ngọc Tháng

( ^ • •» • ỉiai

Dẳig thức xảy ra khi và chỉ khi

10 Nguyên VQ Lương, Nguyén Ngọc Thẳng

Ví dụ 1.13 Với a,b,c > 0, chứng minh rằng

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được

V^a2 + (a + bỹ+y/ĨP 4- (6 + c ) 2 + v / c 2 + (c + a)2 ^ v/5(a+6+c) (đpcm)

và suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 1.15 Với a,b,c > 0, ab + bc + ca = abc, chứng minh rầng

( , + j ~ + )( ir + + ) ^ !•

Suy ra điều phải chứng minh.

Ví du 1.16 Với aj),c > 0, chứn<4 minh rằne

V'i dụ 1.17 Với a, 6, r > 0, chớm: minh rã ne

\3

(7; + /«■)

(1 4- //■»)(,;■■» + r !)

12 N g u y ễ n V ũ Lưưng, N g u y ề n N g ọ c 'Phàng'

Giải

Với «, > 0, b, > 0 (i = 1.2,3), ta có

(ni02«3 + kịbib-t)'* < (n'Ị4- 6ị)(a2 + b ị ) ( a 3 + />3) (*)

Thật vậy, đặt Xj = yt = 6? (i = 1,2,3) suy ra cần chứng minhi

('ác bài giánu VC bất i.ihr (hơi Bimhí.i(.(>|>\ki 13

Bài 6 Vứi c > 0 thoả mãn (t + b + c + — 4, chứng minh rằng

.iOnc đỏ a, I), c !à những số thực dương

lỉài ° Tun giá trị lớn nhất của biểu thức

14 Nguyễn Vũ Lương, Nguyền Ngọc Hiếng.

16 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc ThỀng

Bài 5

Ta có

a

Cộng vế với vế các bất đảng thức trên ta nhận được

( ỹ + — + —^ + (ab + bc + ca) ^ 2(a2 + b2 + (?) > 2(ab + bic -Ị- (ca)

hay ao + bc + m < — H -

1 fc3

- + b c > 2b2 c

c3

— + ca ^ 2c

-tAm t<ịQng tin THưviỆN

v - « 1 - / 0 5 2 7 5 5

18 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tháng

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cán chứng minh

Vậy Pmin = i(v /3 + 2 + >/5)2 - 1 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Đôi với hàm số lồi chúng ta có các kết quả sau

Ví dụ 2.1 Giả sử Ị/ = f ( x ) lồi trên đoạn [ a ,6], Xk G [a,b] { k = 1,71.),chứng minh rằng

(Ta chứng minh bất đảng thức đúng với n = 2k).

Với n = 2 bất đẳng thức đúng theo định nghĩa.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = 2fc, ta chứng minh bất đẳng thức đúng

^ — - - (theo giả thiết quy nạp)

20 Nguyẻn Vũ Lương, Nguyẻn Ngọc Thing

Áp dụng bất dẳng thức (2.1) chúng ta thu được kết quả mà nhiểu ; u ô n

sách lấy làm định nghĩa hàm lồi

Ví dụ 2.2 Giả sử y = f ( x ) lồi trên đoạn [a,6], 0 < a < 1, Xi,c2 €

Các bài g iả n g vé hất dẳng thức Bunhiacôpxki 21

22 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thẳng

Ví dụ 2.4 Hàm liên tục y = f ( x ) thoả mãn tính chất / ” (z) 'ỷ 0 với mọi X € [«,/>] thì f ( x ) là hàm lồi trên đoạn [a,ỉ>].

Cát bài mánu VC bất (lắnu Ihức Bmihiacôpxki 23

Vì /'•• (.7 ') ^ 0 suy ra /'{■!') là liàni đơn điệu tăng.

Vậy hất đẳng thức f ’(<■]) f {('■>) tlúng

Hàm liên lục Ị/ = /(.;•) là hàm lõm trên {(1.1)} nếu hàm y = —f ( x )

là hàm lồi trên \(i,b] Vậy hàm liên tục ỊJ — f ( r ) là hàm lõm trên [í/,b]

, w , i M - / ( ' I ) +/(•''•->) - f r r ì + I ’ s ^ , nêu v./-| r> € |ơ.òj có - - < / ( —— ) Tương tự như ví

-dụ 2.3 có ihể chứng minh dược nếu ỊJ — /(./') là hàm lõm trên [«,/>] thì

2 4 Nguyễn Vũ Lương, Nguyền Ngọc T hing

Các bài giảng về bất đắng thức Runhiacôpxki 25

Ta có /(./■) ^ 0 với mọi giá trị của X.

Nếu Y2't‘ ! áj = 0 —» a, = 0 với mọi 7 = 1, II thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Sau đây chúng ta xét một sô ví dụ minh hoạ.

Ví d ụ 3.3 Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức

Các bài aiánu về bất ilanu (hức lỉuiihiacópxki 33

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = 1, y = z = 2.

Ví dụ 3.9 Với a,b,c > 0, chứng minh rằng

Chứng minh rằng | íỉa | < 1(* với mọi A' = 1,100.

T ừ (3.6), (3.7) suy ra m âu thuẫn V ậy bài toán được chứng m inh.

Các bài giảng vể bất đ ản g thức Bunhiacôpxki 35

C á c hài uiảnu về hát cíáne thức B u n h iaeôp xk i 37

Hài 8 V ớ i ư,/> r > 0 t h o á m à n đ i é u k i ệ n (ib + b(' + ca = \\dì)(\ chi rnt z

m i n h r ầ n u

a :ị( l ỉ + ( ‘) l)A(c + <t) r * ( r + f/) 2(f//; -f /** + c a )

38 Nguyên Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tlháng

Các bài g iả n g vể bất đ ẳn g thức B u n h ia cô p x k i

40 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tháng

Cộnu vò với vê các hái ikinu thức trôn ta nhận được

Các bài giảng v ể b ấ t đ á nu t h ứ c Bunhiaeỏpxki 43

('á hài giáim vồ hâì ihức Bunbiiicõpxki

Ví i ụ 4.4 Chứng minh rang Vui mọi Ả • 0 la có

C ác bài g iả n g vẻ bất đáng thức R unhiacôpxki 4 7

48 N g u y ễ n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T h ắ q g

r* 3 •+■ 0,(ữ -t~ b + c) -Ị- b(a + 6 “H c) ^ \ / l *1" ~Q? H- 6 ^ • \ / 9 + 2(ữ 4” 6 -H c) ^ Tương tự ta thu được

3 + b(a + b+ c) + c(a + b + c) < V l + b2 + c2 ■\ / 9 + 2(a +1)f cp

3 + c(a + b + c) + a(a + b + c) < \ / 1 + c2 + a 2 • \ / 9 + 2(a + ò -H t)2

C ộng v ế với v ế các bất đảng thức trên ta thu được

Các b ài giảng về bất dẳnụ tluiv Runhiacỏpxki

C ác bài g iả n g v ề bất đ ả n g thức B u n h ia cô p x k i 51

5 2 N g u y ê n V ũ L ư ơ n g, N g u y ễ n N g ọ c T hắng

5 Một số dạng mở rộng và liên quan

Trong bài giảng này chúng ta sử dụng đạo hàm và tính chất của đa thức

bậc 2 để xây dựng d ạn g m ở rộng hoặc tương tự của bất đ ả n g thức Bun-

Từ giả thiết suy ra A = (iị — dị > 0

(Nếu áị — Y% =2 aỉ = Q thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng)

Vậy ta thu được A f ( — ) < 0, suy ra phương trình f(x) — 0 có n;gHệm Suy ra

A' = ('aibi - J 2 a*bk) - ( “ì— 5 3 ° * ) ( fei “ S 6*) ^ 0

<=> (aA - ^ ^ (a? - 5^ aĩ) (&1- bỉ)

Hoàn toàn tưưng tự như bất đẳng thức Bunhiacôpxki , từ bất đẳng thức ( 5 1 ) chúng ta có thể xây dựng các bất đảng thức hệ quả mới.

Chúng ta chứng minh một số kết quả phụ cần thiết.

Ví dụ 5.5. Với a,/3 > 0, a + /3 = 1, chứng minh rằng

aa + Ị3b > a°bP (5.2)

trong đó a, b là những số thực dương.

Giải Chia hai vế bất đẳng thức cho b > 0 ta có

C ác bài g iả n g về bất đ ẳn g thức B u n h ia cô p x k i 55

Ví dụ 5.6 G iả sử a, />, c, <-*, /i, 7 là những số thực dương thoả m ãn (V t- Ị3 + 7 = 1, chứng minh ràng

(5-4)-Giải

V'ới n = 2 , bất đẲr.g thức đú n g (bất đẳng thức 5 2 )

G i ả sử bất đ ản g thức đ ú n g khi 71 = m ta chứng m inh bất đ ẳng thứ(? điúrg vứi n = m + l.

Túi có

m - f l m rn

i=l 1=1 1=1 £~-Jĩ—1 *

56 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Tháng

S'V dụng giả thiết quy nạp ta nhận được

ChJ ý 1 Xét trên R 1 bất đảng thức Bunhiacôpxki được viết dưới dạng

( ± > l i ’l ) 2 < £ a* ± h

« Ẻ “M < ( Í » Ỉ ' ( Í » Ỉ fc=i fc=i fe=i

Là rường hợp riêng cúa bất đãng thức (5.5) khi <ỵ — 13 =

Chi ý 2 Khi xét trên R + dạng c ủ a bất đẳng thức trung bình và bất đảrtỊ thức B unhiacôpxki trong trường hợp m ở rộng có thể xem như là

m ộ bất đẳng thức

Bất đẳng thức d ạn g trung bình

1=1

là t ường hợp riêng c ủ a bất đ ăn g thức (5.4) khi a 1 = a 2 = • • • = ữ n = — •

y = (sin2 re)8'"21 • (cos2 x )008* * + 2 sin2 X COS2 X < 1.

Bài 6 Giả sử a, 6, c ỉà những số thực dương thoả mãn điều kiện

a + b + c = 1, chứng minh rằng

aabbcc + abbcca + acbacb < 1.

Bài 7 Giả sử a, b, c là những số thực dương thoả mãn

a?(b + c) ' b2(c + a) + c2(a + b) b c ' a

Chứng minh rằng

Các bài giảng về bất đáiií’ thức Hunhiíicópxk 1

(sin2 x)8’"2* • (cos2 x)co*ĩx + 2 sin2 XCOS2 X <

< sin4X + cos4X + 2 sin2 X COS2 X = 1 (đpcm).

Bài 6.

Áp dụng bất đẳng thức (5.3) thu được

aabbcc < a2 + b2 + c2

abbcca <ab + bc + ca arbach <ac + ba + cb

Cộng vế với vế các bất đảng thức trên thu được

a abbcc + abbrca + a cbach < (a + b + c )2 = 1 (đpcm).

C ác bài g iả n g vé bất dã MỊ’ ihức Bunhiacỏpxki

6 2 N g u y ễ n V ũ L ư ơ ng, N g u y ễ n N g ọ c T h in g

6 Một số kết quả làm mạnh bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Trong bài này chúng tôi trình bày một sô' bất đẳng thức mới mạnh hiơn (chặt hơn) và áp dụng.

Ví dụ 6.1 Giả sử di € R,bị e R,ữị + bị Ỷ 0 (» = ĩTrâ), ciứsng minh rằng

{ Y r i aẢ )

C ác bài g iả n g v ề bất dán g thức B uuhiacópxki

' ra

^ ( ữ i í + 6i)xi = 1 Ví e /ỉ i=i

Các bài giảng về bấi.đảng thức Bunhiacôpxki

Bài 3 G iả sử a, b, c là những số thực dương thoả mãn

abc + bc + ca + a2b2c = 4a2b2c2. Chứng minh rằng

Chương 2

Một sô phương pháp xây dựng bất đẳng thức

1 Một phương pháp x â y dựng bất đẳng thức dạng phân thức

C húng ta bắt đẩu với hai bất đảng thức khác nhau vể thứ tự biến số

V í dụ 1.1 Với a, b, c là các số thực dương, chứng m inh rằng

70 Nguyễn Vù Lương, Nguyễn N gọc Thấng

Ví dụ 1.2 Với a, 6, c là các sô' thực dương, chứng minh rằng

• Đưa thêm tham số

• Đổi bộ biến sô'

• uồe lượng một biểu thức đối xứng

I Đưa thêm tham số

Các ví dụ (1.1), (1.2) là hệ quả của (1.3), (1.4) với (t = 2.

Từ các kết quả ở ví du (1.3), (1.4) chon a = -Ị - chúng ta thu đươe:

abc

Ví dụ 1.5 Với o, 6, c là các số thực dương, chứng minh rằng

Chúng ta có thể đưa thêm nhiều tham số như sau:

Ví dụ 1.7 Với a, b, c, a, (3,7 là những số thực dương, chứng minh ỉầrng

Ví ílụ 1.8 Với (/,/;, ( la nhừiiLỉ so thực cliro!h iho/i mãn điều kiên

2<il) + ĩ)hc = 2 ( r r + lí' f- f “) ; (li , chứnu lììinhi áng

I) f r r f 2(1 (I + *?/>

Các bài giảne vé bất claim liiức Runhiacopxki 73

( ' 'I • ■ * • liai

Điều kiện của bài toán dược viết dưới dạng

ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví d ụ 1.10 Với a, 6 , c là những sô thực dưưng, chứng m inh rằng

II Đổi bộ biến số

Từ các bất đẳng thức ở ví dụ (1.1), (1.2) chúng ta thay đổi bộ biến số để thu được các bất đẳng thức mới sau đây.

Ví dụ 1.12 Với a, b, c là những số thực dương, chứng minh rằng

C á c bài giảng về bất đ á n g thức Munhiacôpxki 75

III u&c lượng một biểu thức đôi xứng

Thực chất khi thay thế một biểu thức trong bất đẳng thức bởi một biểu

thức đối xứng khác sẽ nhạn dirợc một bíít đẳng thức hộ quả (yếu hơn)

Mãc dù vậy trong dạng phân thức thì bất đảng thức mới khó hơn nhiều

trong việc tìm cách chứng minh vì bậc của các số hạng thay đổi hay tính

đôi xứng thay đổi.

Trong phần này chúng ta trình bàv cách chứng minh những bất đẳng