Toán cao cấp B1 dành cho khối kỹ thuật

+ Nếu y    x  không phải là nghiệm riêng nhận được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị C nào, kể cả C   thì ta gọi nó là nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp 1 dạng 1 hoặc[r]

TOAN CAO CAP B,

NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYÊN VIÉT TRÍ

ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN

QuangNedi, thang 04 - 2014

GIOI THIEU MON HOC

Toán cao cấp BI là chương trình toán dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Nội dung của toán cao cấp B1 gồm những kiến thức cơ bản về dãy số, hàm

số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân của hàm một biến số Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số thực Phương trình vi phân,

lý thuyết chuỗi Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong kỹ thuật Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2013 của Trường Đại học Phạm Văn Đông cho khối ngành kỹ thuật, trình độ cao đăng đào tạo theo học chế tín chỉ

Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học)

Chương l: Hàm SỐ, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến

Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn của dãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật

Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến

Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấp của hàm số Áp dụng của đạo hàm vi phân trong kỹ thuật

Chương 3: Tích phân của hàm số một biến

Sinh viên năm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích

phân xác định của các hàm số (hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ ) Năm va biết khai thác các ứng dụng của tích phân trong kỹ thuật và cuối cùng nắm được tích

phân suy rộng

Chương 4: Hàm số nhiều biến só

Sinh viên năm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về

tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiêu biến

số Áp dụng trong kỹ thuật

Chương 5: Phương trình vi phan

Sinh viên năm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp1, 2 cơ bản

thường gặp Các ứng dụng thực tế của chúng

Chương 6: Chuỗi số

Sinh viên nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

Các dâu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bắt kỳ

Chương 7: Chuỗi hàm số

Sinh viên nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu về

sự hội tụ, hội tụ đều của đãy hàm số, chuỗi hàm số Định nghĩa, cách khai triển và

ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác

Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ dé minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng

trong tiếp thu bài học, cũng như tự học Cuối chương có các câu hỏi và bài tập

luyện tập, giúp sinh viên năm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bài học Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương

Để học tốt học phân này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau:

+ Thu thập đây đủ các tài liệu tham khảo

[1] Tran Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo rrình toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM

[2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 7, ĐHỌC Tp HCM

[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng

[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập l1,

NXBGD

[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bai tap, Todn cao cép, NXN khoa hoc va kỹ thuật [6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB DHSP

[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM

[8] ĐanKô- A.G PoPôp- T.LA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập foán cao cấp

(Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục

+ Năm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu năm những kiên thức cốt lõi của bài giảng trước khi lên lớp học

+ Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêu cầu của chương đó vào tuân tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tong hop

Chuong 1 HAM SO, GIOI HAN HAM SO VA HAM SO LIEN TUC

1.1 Day số và giới hạn của dãy số

1.1.1 Dãy số

Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ ƒ:N ->R từ tập số nguyên dương y' vào tập số

thực R được gọi là dãy số Đặt /@)=a, thì dãy số được viết dưới dang

a,,a,, ,d,„„ (L) hay {a„} hay (a,)

Gọi a„ là số hạng ( hay phân tử) tổng quát thứ n của dãy số (1)

Thí dụ 1.1.1 1,3,5, ,2z+l, là một dãy số cé sé hang tong quat: a, =2n+1

1, 2, =, " — , là một dãy SỐ CÓ SỐ hạng tổng quat: a, = —

1.1.2 Các dãy số đặc biệt

1.1.2.1 Dãy số đơn điệu

Dinh nghia 1.1.2 Day {a,} duoc goi 1a:

- Day số tăng (hoặc tang nghiém ngat) néu a,,, >a, (hoac a,,,>a,); VEN

- Day s6 giam ( hodc giam nghiém ngdt) néu a,,, <a, (hoac a,,, <a,);WneN’

- Dãy số có tất cả các phần tử đều bằng nhau được gọi là dãy dừng

- Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là dãy số đơn điệu

n +1

Day {a,} vol a, = h + ;] l + ae + = la day tang nghiém ngat

Day {a,}={(D""'} =1,-11 CD™ 1a day sé khéng don điệu

1.1.2.2 Dãy số bị chặn

Định nghĩa 1.1.3 Dãy {z,} được gọi là:

- Dãy số bị chặn trên nếu với 3k e R: a,<k;VneN

- Day số bị chặn đưới nếu với 3k e R :a >k;VneN'

- Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn

1.1.3 Day con

Dinh nghia 1.1.4 Tir day sé {a,\=a,,d,, 4,, (1) ta trích ra một dãy

la, ) = đạp „áp, „ dạ, ; Với các chỉ số mị.n, n, là đãy số tự nhiên tăng

nghiêm ngặt Khi đó, dãy số (ay, được gọi là day con trich ra tir day s6 fa, }

Thí dụ 1.1.4 Cho dãy sé {a,}= (-1)"}.thé thi day (an, j = CĐ” j =1,1, 1, là dãy

con cia day fa,}= (-1)"}

Nhận xét: n, >n;Vn

1.1.4 Một số dãy số thường được dùng trong tin hoc:

- Dãy số theo thứ tự tăng (hoặc giảm) dần: Trong tin học thường yêu cầu nhập vào một dãy sô và sắp xêp dãy sô ây theo thứ thự tăng dân hoặc giảm dân, chăng hạn bài toán tuyên sinh sau khi có dãy các tông điêm, đê xác định điêm chuân và danh sách trúng tuyên cân sắp xêp tông điêm theo thứ tự giảm dân

- Các dãy sô được cho bởi công thức truy hôi (Chăng hạn dãy sô biêu thị bài toán thap Ha Noi, Day s6 Fibonaci, .)

1.1.5 Giới hạn của dãy số

1.1.5.1 Định nghĩa 1.1.5 Ta nói rằng dãy số thực {ø,} có giới hạn /e& khi

n—> +o va viet lima, =/ hay a, >1 khi n> +0 néu ve >0 bé tuỳ ý cho trước,

n—>œ

tôn tại số nguyên dương w(z) sao cho Vne N”:n> N(Œœ)—> a„ —Ï | <£

Day s6 thu có giới hạn còn gọi là dãy hội tụ, dãy số không có giới hạn gọi là dãy

Với ve >0 bé tuỳ ý cho trước, ta cần chứng minh tổn tại số nguyên dương w(z)

sao cho Vne N”:n > NŒ) = Ia, -]|

fh fh

[2+4)-4 Aes Muốn vậy ta xét la, -I|<e

c+>een>+ Do đó chọn w(z)= =| (Với [x] là phần nguyên của số thực x)

1.1.5.2 Các dấu hiệu hội tụ

Định lý 1.1.1 Nếu 3 dãy số thực {z,},{»,}, fe,} thỏa mãn

b,<a„<c,;VneN”:n>nạ và limb, = limc, =/ thi {a,} cing hdi tu va lima, =

n>o n—>œ

Định lý 1.1.2 Moi day đơn điệu và bị chặn đều hội tụ

- Day s6 don diéu tăng và bị chặn trên thì dãy hội tụ

- Day s6 don diéu giam va bi chan dưới thì day hội tụ

Thí dụ 1.1.7 Chứng minh sự hội tụ của dãy số {a,} với

=> lnz, <lne=> a„,<e; Vn> {4„} bị chặn trên (2)

Từ (1) và (2) suy ra {a„} đã cho hội tụ

n Wo

ete

= , voi limb, #0 nob limb, n—»e 1.1.5.4 Một số tính chất đơn giản của giới hạn dãy số

a Tính duy nhất

Định lý 1.1.4 Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất

Chứng minh: Băng phương pháp phán chứng

b Tính bị chặn

Định lý 1.1.5 Mọi dãy số thực hội tụ đều bị chặn

c Sự liên hé gitra su hdi tu cua day con và day s6 ban dau

Dinh lý 1.1.6 Nếu dãy số Íz„} hội tụ và có giới hạn L thì mọi dãy con của nó đều

hội tụ và có giới hạn L

tăng và bị chặn trên nên hội tụ

Dinh nghia 1.1.6 him( 1+ 2) =e

no H

Số e là một số vô tỉ, có giá tri e = 2,718 281 828 459 045 S6 e dong vai trò quan

trọng trong kỹ thuật Lôgarit cơ số e gọi là lôgarit Neper hay lôgarit tự nhiên;

LôgarIt Neper của x ky hiệu là lnx

1.2 Hàm số

1.2.1 Định nghĩa

Dinh nghia 1.2.1 Cho tap x cR

Hàm số một biến xác định trên tập X (X c R) là một ánh xạ f từ tập X vào tập R Người ta thường viết gọn hàm số:

f:X OR

xt> y= f(x)

boi dang thirc y= f(x) Trong đó x được gọi là biến số độc lập (hay đối số);

y= f(x) dugc goi la biến số phụ thuộc (hay là hàm) Tập X được gọi là tập xác

định của hàm số ƒ (+)

TậpY = f(X)={yeR| xe X;y= f(x)} được gọi là tập giá trị của hàm số

Nếu x=x„e X thì yạ = f(%) gọi là giá trị của hàm số tại x„

1.2.2 Các phương pháp cho hàm số

1.2.2.1 Phương pháp giải tích

Cho hàm số bởi một đẳng thức mà về thứ nhất là giá trị y của hàm tại x, về thứ hai là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x Tập xác định của hàm số là tập các giá trị của đối số x đề biểu thức có nghĩa

Thi du 1.2.1 Ham s6 y=~/4-.x° c6 tap xac dinh 1a tap nhirng gia tri cla x sao cho 4-xÈ>0<-2<x<2

Phương pháp giải tích thường được dùng trong những nghiên cứu lý thuyết,

nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi tính giá trị của hàm số Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng Phương pháp này thường được dùng trong vật lý, kỹ thuật

Thí dụ 1.2.2 Người ta lập bảng giá trị các hàm số y = x2, -L, le x, Vx, sinx, tanx,

Xx

1.2.2.3 Phuong pháp đồ thị

Tập G={(x.y)e R”| xeX,y= ƒ(+)} được gọi là đồ thị hàm số y = f{x) xác

định trên X và nó được biểu diễn bởi một đường trong mặt phăng Oxy Đồ thị của

hàm số cho ta có một hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm

số đó Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị

cua nd Chang han dé thi biểu diễn điện áp của lưới điện, đô thị biểu diễn nhịp tim hay đồ thị biểu biễn về chứng khoán

Nhược điểm của phương pháp cho hàm số bằng đồ thị là thiếu chính xác

Nêu tôn tại hàm sô ø:Y — X

yF>x=0(y) sao cho ƒ(x)= y

thì hàm số ø được gọi là hàm số ngược của hàm số f Ký hiệu: ø = ƒ '

Ta có: ø(y)= ƒ"@)= ƒ”(ƒ(x))=x:

Chú ý Người ta thường viết lại hàm số ngược của hàm số y=ƒ() là y= f(x)

thay cho ham x = ƒ "'(y) Đồ thị hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường

phân giác thứ nhất

Thi du 1.2.5 Ham số y= 3x có hàm sỐ ngược là y =>

1.3 Các hàm số đặc biệt

1.3.1 Hàm số đơn điệu

Định nghĩa 1.3.1 Hàm số y= f(x) duoc goi la:

-_ Đơn điệu tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a,b) néu Vx,,x, € (a,b): x, < x,

thi ƒ(x)< ƒŒœ,) (hoặc ƒ(x,)> ƒŒ;))

- Tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trong khoảng (a,b) nếu

Vx,.x, €(a,b): x, <x, thì ƒ(x)< ƒŒ,) (hoac f(x,) > #Œ,))

Thi du 1.3.1

- Hàm số y = x? là hàm giảm nghiêm ngặt trong các khoảng (_œ,0) và tăng

nghiêm ngặt trong khoảng (0,œ)

- Hàm số y = x` là hàm tăng nghiêm ngặt trong khoảng (—00, 0)

1.3.2 Hàm số bị chặn

Định nghĩa 1.3.2 Hàm sỐ ƒ() được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trong tập bDcx (X là miền xác định), nếu tỒn tại w e& sao cho ta có: f(x) <M (hoac f(x) 2M )voiVxeD

Ham s6 y= f(x) duoc goi la bi chan trong tap D nếu nó vừa bị chặn trên, vừa

bị chặn dưới trong tập D Nghĩa là tỒn tại e&:A⁄ >0 sao cho | f(x) <M;VxeD

Thí dụ 13.2 Hàm số y= sinx là các hàm số bị chặn trong R vì |sinx|<1;Vxe R

1.3.3 Hàm số chẵn lẻ

1.3.3.1 Định nghĩa 1.3.3 Chohàm số y= ƒ(x) xác định trên tập đối xứng D

Ham s6 y= f(x) duoc gọi là hàm số chẵn (hoặc hàm số lẻ) trên tập D nếu

Vxe D luôn có: -xe D và ƒ(_-*)= ƒ(z) ƒ(-x)= ƒ(+) (hoặc ƒ(_—x)=- ƒ(3))

Thí dụ 1.3.3 Hàm số y=x? là hàm số chăn trên R vì vxeR=-xeR và

f(-x) = f(x)

Ham s6 y= x°1a ham số lẻ trên R vì vxe® =-xe& và ƒ(-x)=-x` =-ƒŒ0

1.3.3.2 Tính chất

- Đồ thị của hàm số chăn nhận trục tung làm trục đối xứng

- Đô thị của hàm sô lẻ nhận gôc tọa độ làm tâm đôi xứng

1.3.4 Hàm số tuần hoàn

1.3.4.1 Dinh nghia 1.3.4 Cho ham 86 y= f(x) xac dinh trén tap D

Ham sO y=f(x) duoc gọi là hàm số tuần hoàn trên D<>[VxeD,

dLeR:Lz0—x+LeD saocho ƒ(x+L)= ƒ(#)]

1.3.4.2 Chu kỳ của hàm tuân hoàn

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử y = ƒ(x) là hàm số tuân hoàn trên tập D Nếu tổn tại số

dương T nhỏ nhất sao cho: ƒ(x+k7)= ƒ(x);VxeD;VkeZ thì T được gọi là chu

kỳ của hàm tuần hoàn y= ƒ(x)

Thí dụ 1.3.4 Hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 7 =z

1.3.5 Một số hàm số thường dùng trong kỹ thuật và công nghệ thông tin

Trong thực tiễn kỹ thuật hay kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số như hàm số chuyển động của một chất điểm, qui luật giảm nhiệt của một thanh kim loại

đôt nóng được đặt trong môi trường có nhiệt độ ôn định thâp hơn hay hàm sản xuât, hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm tính lãi kép

Trong tin học các ngôn ngữ lập trình có các hàm có sẵn như các hàm số học, các hàm lôgic, các hàm thông kê Chăng hạn như các hàm Max, Min, DIV, Mod, HF, Cound,

10

+ Hàm số lôpart y =log, x;(0<a#†)

+ Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx

+ Các hàm số lượng giác ngược: Có bốn hàm số ngược của các hàm số lượng

giác sau đây:

1.4.1.1 Hàm số y= arc sinx là hàm số ngược của y = sinx

sin y=x arc sinx =y © —# 7

Hàm số y = arccosx có tập xác định là [-1,1] và có miễn giá trị là [0,z]

arc COSX = Y =|

1.4.1.3 Ham số y=arctanx là hàm số ngược của hàm số y= tan x

Lạ a 7T arC fanX=y <> X = tan ÿ VỚI ÿ e (-5:z]

Hàm sô y = arc tanx có tập xác định là (-« +») và có miên giá trị là

FE

14.14 Hàm số y= arc cot x là hàm số ngược của hàm số y = cotx

arc cotx=y <= coty= x với y e(0;Z )

Hàm số y = arccotx có tập xác dinh 18 (-0, +0) va có miễn giá trị là (0,Z)

1.4.2 Hàm số sơ cấp

Định nghĩa 1.4.2 Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm số sơ cấp cơ

bản nhờ các phép toán cộng trừ, nhân, chia, phép lập hàm số hợp phép lập hàm số ngược

Thí dụ 1.4.1 Hàm số y= 2' +Ax+1+log.(x? +5) là hàm số sơ cấp

II

1.5 Giới hạn ham sé

1.5.1 Các khái niệm

1.5.1.1 Lân cận của một điểm

Dinh nghia 1.5.1 Cho diém x, ¢ R va 6>0 Lan can cua diém x, ban kinh 6 1a tap tất cả các diém xe R sao cho |x- Xo| <ở Ký hiệu: U „ (x,) hoặc U(%)

Vậy: Us(xạ)={xe RỈ xạ—ổ <x< xy+ð} =(%ụT— ổ,xụ +)

Do đó lân cận của điểm x„ chính là khoảng nhận xạ làm tâm bán kính ö

Thi du 1.5.1 Lan can điểm x = 1 bán kính băng 2 là khoảng (1- 2,1+2) = (—1.3)

1.5.1.2 Các định nghĩa giới hạn của hàm số

Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ z- ổ)

Cho ham s6 y= f(x) xac định trong lân cận (+), (có thê trừ xạ)

Số L được gọi là giới hạn của hàm số ƒ(+) khi x dần về x, nếu vz >0 cho trước bé

tùy ý, 3ổ = ổ(z) >0 sao cho Vxe /(x):0<|x—3g|<=|ƒŒ)—L<e|

Ký hiệu: lim ƒ(x)=L hay ƒ(x)->kL khi x xạ

X> XQ)

Thí dụ 1.5.2 Dùng định nghĩa chứng minh lim(4x +1)=9

Giai: Xét |(4x+1)-9| =4|x—2|<e =l|x- 2| < Khi đó: ve >0 ta chọn ổ =4 sao

cho Vx eU5(2): 0<|x-2|< 6 =|(4x+1)-9|=4|x— 2|<= lim(4x +1) =9

Định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số)

Cho hàm số y= ƒ(+) xác định trong lân cận (x,), (có thể trừ x, )

Số L được gọi là giới hạn của hàm sỐ f(x) khi x dần về X néu voi moi day số {x,} ma x, €U(x%) Va x, > x, khi ø->œ thì dãy các giá trị tương ứng của hàm là

{7(x,)} luôn dân đến L

Vậy lim ƒ(x)= Le Iv{x,}.x, eU(x,)ma x, > x, > f(x,) > L]

Chu y: 1) Dinh nghia 1.5.2 (Theo ngôn ngữ z- ö ) tương đương với định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số)

2) Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm theo ngôn ngữ dãy số ta áp dụng được

các kết quả giới hạn dãy số để nghiên cứu giới hạn của hàm số và nó thường áp dụng đề chứng minh một hàm số không có giới hạn

Thí dụ 1.5.3 Chứng minh rằng hàm ƒ(+) = sin- không có giới hạn khi x->0

Xx

12

2 2n7r + 5

2

x’ 0 nhưng dãy giá trị tương ứng cua ham 1a day f(x,)=0-> 0; f(x/)=1>1

Vậy khi x->0 thì f(x) không có giới hạn

Tương tự cho hàm số y= f(x) xác định trong lân cận phải của x, (có thé trừ

x¿) SỐ L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x dần về x¿ nếu ve >0

cho trước bé tùy ý, 1ổ = ö(£) >0 sao cho mọi x thuộc lân cận phải của x, thỏa mãn

—-1 khix<0 Vậy f{x) không có giới hạn khi x-—›>0

1.5.2 Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận:

1.5.2.1 Giới hạn ở vô tận

Dinh nghia 1.5.5 Cho ham sO y= f(x) xác định tai moi x có |x| khá lớn

Hàm f(x) được gọi là có giới hạn Lkhi x->+s , nếu ve >0 cho trước bé tuỳ ý, luôn luôn tỐn tại số >0 lớn tùy ý sao cho khi x>⁄ thì |ƒ(x)—1|<e Ký

1.5.2.2 Giới hạn vô tận

Định nghĩa l.5.6 Cho hàm sô y= ƒ(x) xác định trong lân cận U(x¿), ( có thê trừ tại điểm x, ) Hàm số ƒŒ) được gọi có giới hạn là +o khi x > xạ, nếu với mỗi số A>0 lớn bao nhiêu tuỳ ý, luôn luôn 3ö=ở(A4)>0 sao cho VxeU(w,): 0<|x-x,|<6 thi f(x)>A Ký hiệu: lim f(x) = +00

Hàm số ƒŒ) được gọi có giới hạn là -s khi x -> xạ, nếu với mỗi số 4A >0 lớn bao nhiêu tuy ý, luôn luôn 36 =65(A)>0 sao cho VxeU(x,):0Ìx— x|< thì ƒ(x)<-A Ký hiệu: lim f (x) = -00

Thí dụ 1.5.5 Chimg minh lim = +0

1 Giới hạn của một hàm số (nếu có) là duy nhất

3 Néu f(x) < g(Œ) trong lân cận nào đó của xọ và khi x-› xạ cac ham f(x), g(x)

h6i tu thi lim f(x) < lim g(x)

4 Néu lim ƒŒœ)=L và nếu tồn tại một lân cận U(x,) thoa a< f(x) < Ø;VxeU (xy): x X% thì z<L<8

5 Nếu lim ƒ(z)< lim g(x) thì tổn tại một lân cận U(x¿), VxeU(x,), X#Xụ: f(x) S g(x)

6 Néu lim f(x) =L thi lim|f(|=

FQ)

Dinh ly 1.5.3 Néu f(x) va g(x) hoi tu khi x x, thi f(x) + 9(0; f(x).8(2):

g(x)

cling hdi tu khi x > x, va

a) lim [ f (x) + g(x)| = lim f(x) +lim g(x)

Hé qua 1 Néu ton tai lim f(x) va k =const thi limk.f(x)=k.lim f(x)

Hé qua2 Néu f(x), f,(x), f,(x) là một số hữu hạn các hàm số có giới hạn khi

x—> x, thi ta co:

a) lim [ f(x) + f(a) + + ƒ,()|= lim (x) + lim ƒ;(x)+ + lim f(x)

b) lim[ f).f,0) f, 0] = lim f(x) lim f,(a) lim /,09

Định lý 1.5.5 (Giới hạn của hàm số sơ cấp)

Nếu f{x) là hàm số sơ cập xác định tại xọ và lan cAn xo thi lim f(x) = f(x)

X—>%g

Thi du 1.5.7 jim 2<t2-5*!+2_

x>l 4x-3 4x1-3 1.5.5 Tiêu chuẩn tôn tại giới hạn

1.5.5.1 Tiêu chuẩn 1 (Nguyên lý kẹp)

Định lý 1.5.6 NẾu g(x)< f(x)<h(x);VxeU(x,) và lim g(x)= lim h(x) =L

| sindx-sin3 Thi du 1.5.8 Tinh các giới hạn sau lim“

Xx

1.5.5.2 Tiêu chuẩn 2 (đơn điệu bị chặn)

Định lý 1.5.7 Nếu hàm f(x) là hàm số tăng và bị chặn trên trong khoảng (a,b) thì

ham f(x) c6 giới hạn bên trái khi x -› p-

Định lý 1.5.8 Nếu hàm ƒ(+) là hàm số giảm và bị chặn dưới trong khoảng (a,b) thì

hàm ƒ(+x) có giới hạn bên phải khi x > a’

Áp dụng tiêu chuẩn 2 chứng minh được sự tổn tại giới hạn của [1+] khi x > +0

=Ï

Dinh ly 1.5.9 im £/@)=rJ729)77+e0)

XPXy a(x) VCB khi x > x, 1.5.6.3 Các tính chất của vô cùng bé

Dinh ly 1.5.10 Trong qua trinh nào đó thì tong các VCB là VCB

Tích của một VCB và ] đại lượng bị chặn là VCB và nghịch đảo của VCB là VCL Thi du 1.5.11 lim x°.sin =0

x>0 xX

vi khi x > x, thi x’ là VCB và sinx là đại lượng bị chặn

1.5.6.4 So sánh các vô cùng bé

Định nghĩa 1.5.8 Gia su a(x), B(x) la hai VCB trong cùng một quá trình nào đó

Khi đó: + Nếu lim nh =0 thì ta nói œ(x) là một VCB bậc cao hơn VCB f(x)

x hay B(x) la m6ét VCB bac thap hon VCB a(x) trong qué trình đó

a(x)

B(x)

+ Néu lim =k#0 thì ta nói a(x) va B(x) là hai VCB cùng bậc trong quá trình đó Đặc biệt:

+ Nếu £=I thì ta nói a(x) va B(x) là hai VCB tương đương trong qua

trình đó, ký hiệu @(x) ~ B(x) khi x > x¿ (hoặc x-—> œ©)

Thí dụ 1.5.12 Khi x->0 thì sinx~x vì lim 2

x>0 x =1 Khi x->0 ta chứng minh được các VCB sau tương đương sau:

sinax ~ ax; (a#0); arc tan ax ~ ax; (a#Q)

log, (+x) ~——x:(0<al) Indi+x) ~ x;

arcsin ax ~ ax; (a #0)

1.5.6.5 So sánh các VCL

Định nghĩa 1.5.9 Giả sử ø(x), Ø(+) là hai VCL trong cùng một quá trình nào đó

( Chang han x—> x,) Khi do:

a(x)

(x)

+ Néu lim =L+#0 thi tandi a(x) va B(x) là hai VCL cùng bậc

trong quá trình đó Đặc biệt, nếu r„ =1 thì ta nói a(x) va B(x) lahai VCL tương

đương trong quá trình đó

Thí dụ 1.5.13 Khix-› +œ thì x là VCL bậc cao hơn các VCL x!, x, x”, x

1.5.6.6 Áp dụng VCB hoặc VCL trong tìm giới hạn

a.Thay thế tương đương:

Dinh ly 1.5.11 Néu a(x), B(x) là các VCB khi x-—> x¿ và ø(+) ~ a(x);

B(x) ~ B(x) khi x->x, thì tin oS - Hin va

lim a@(x).B(x) = lim a@,(x).B,(x)

Giai: Khi x >0 ta c6 I= cos 2x ~ “T= 2x :tan x~ x“ Và SIn x ~ xX

| l=cos2x+tanx „ l-cos2x „ tan x mm :

Suyra: lim——————————= lim——————+lim———= lim + lim——= 3

x>0 xsin x x>0 yxsInx x>O0 xSINnX %*°O XK +>0 X.X

b Ngắt bỏ VCB bậc cao

Định lý 1.5.12 Nếu Ø(x) là một VCB bậc cao hơn VCB a(x) trong qué trinh nao

đó thì a(x)+ B(x) ~ a(x) trong quá trình đó

Quy tắc ngắt bỏ các VCB bậc cao

Néu a(x) =a, (x)+a@, (x)+ +a, (x); B(x) = B, (x) + B,(x)+ +8, (x) 5 trong

một quá trình nào dé va a,(x); B(x) là các VCB bậc thấp nhất trong tổng

F(x) _ lim fi) g(x) g(x)

tương ứng trong các tổng f(x), g(x) thi lim

18

4 tim (vi+x—x) (Dang 2-2) Ta biến đổi khử dạng vô định

1.6 Sự liên tục của hàm số

1.6.1 Định nghĩa

1.6.1.1 Sự liên tục của hàm số tại một điểm

Định nghĩa I.6.L1 Hàm sô ƒ(x) được gọi là liên tục tại x¿ nêu và chỉ nêu thoả mãn

2 điêu kiện:

19

+ f(x) xac định tại x; và trong lân cận x,

-lkhi x<0O 1.6.1.2 Sự liên tục một phía

Định nghĩa 1.6.2 Hàm sỐ y= f(x) duoc goi 1a lién tuc trai tai x, néu

+ f(x) xac dinh tai x, va trong lan can trai x,

+ lim f(x) = f(x)

Tương tự hàm số ƒ(x) được gọi là lién tuc phai tai x, néu

+ f(x) xác định tại x và trong lân cận phải x,

+ lim ƒ(x)= ƒŒq)

Định lý 1.6.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số y= ƒ(+) liên tục tai x, IA y= f(x)

liên tục trái và liên tục phải tại x,

1.6.1.3 Sự liên tục trong khoảng và

Định nghĩa 1.6.3 Hàm số y= f(x)

(a:b) nếu nó liên tục tại mọi

Ham sO y=f(x) duoc gọi là

trái tại b, liên tục phải tại a Hình 11

1.6.1.4 Ý nghĩa hình học của hàm

số liên tục

20

Nếu hàm số y = f(x) lién tuc trén doan [a:b] thi dé thi cua no 1a mét dudng lién nét nối điểm A(a; f(a)) va Bb; f(b)) (Hinh 1.1)

1.6.2 Các phép toán trên hàm số liên tục

1.6.2.1 Tong, hiéu, tich, thuong cac ham số liên tục

Nếu hàm lim ø(x)= L và ƒ liên tục tại , thì im[(7,ø)9]= f | tim (2) | =/[r]

1.6.2.3 Sự liên tục của hàm số ngược

Đình lý 1.6.3 Hàm sô liên tục và đơn điệu trong một khoảng thì có hàm sô ngược và hàm sô ngược cũng đơn điệu, liên tục

1.6.3 Sự liên tục của hàm số sơ cấp

Định lý 1.6.4 Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó

Thí dụ 1.6.3 Hàm sô y = sinx +3 là hàm sơ câp xác định trên R nên nó liên tục trên toàn trục số

1.6.4 Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn

1.6.4.1 Tính bị chặn cuả hàm số liên tục

Dinh ly 1.6.5 (Weierstrass) Néu ƒ(+z) liên tục trên đoạn |z.b| thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là 3M, ¡z e R® sao cho íúm < ƒ(x)< M;Vxela,b]

1.6.4.2 Đạt giá trị lớn nhất và bé nhất

Dinh ly 1.6.6 (Weierstrass) Nếu ƒ(x) liên tục trên doan [a,b] thì nó đạt giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó, tức là: 3x,,x, ¢[a,b] sao cho:

m= f(x) S f(x) s f(*,)=M; Vxe [a,b] 1.6.4.3 Nhan gia tri trung gian

Định ly 1.6.7 (Bolzano-Cauchy) Néu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] va cé

m<p<M_ voim:M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của ƒ(x) trên đoạn đó

thì tồn tại ít nhất một điểm c e |z.b| sao cho ƒ(e) = m

Hệ quả: Nếu ƒ(+) liên tục trên đoạn [ø,b] và có ƒ(a).ƒ(b) <0 thì tổn tại ít nhất một điểm ce[a,b] sao cho ƒ(c)=0 tức là phương trình ƒ(z)=0 có ít nhất một

nghiém trong (a,b)

21

1.6.4.4 Bảo toàn dâu của hàm số liên tục

Định lý 1.6.5 Nếu f(x) lién tuc trén doan [a,b], x, e[a.b] và ƒ(x¿)>0 hoặc

( f(x) <0) thi 3U(x,) c (a,b) sao cho Vx € U(x): f(x) > 0 Choae f(x) <0)

Chú ý: Các tính chất hàm số liên tục trên một đoạn có nhiều ứng dụng

Thí dụ 1.6.3 Chứng minh răng phương trình x° - 3x = Icó ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1,2)

Giải: Đặt ƒ(x) = x` - 3x—1thì phương trình đã cho < ƒ(+) =0 ta có hàm sé f(x) hién tuc trén doan [1,2], fd) =-3 <0; f(2)=35>0 theo hé qua cua Dinh ly 1.6.7 có

ft nhat c (1, 2): f(c) =0 Vay phuong trinh x° -3x =1 c6 it nhất một nghiệm thuộc

khoảng (1,2)

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC, CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1

Chương 1 sinh viên cần năm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới

hạn của dãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật

Đây là những vấn đề cơ bản của giải tích toán học, làm công cụ nghiên cứu các

chương tiếp theo của toán cao cấp Song các vấn đề này đã được học ở phô thông và

do thời lượng học trên lớp hạn chế, sinh viên cần tự đọc kỹ nội dung từng phần, liên

hệ với toán pho thong, lam day đủ các bài tập Tham khảo các tài liệu [I]; [2] và sách toán giải tích lớp I1, lớp 12, trả lời các câu hỏi và làm đây đủ các bài tập sau:

1 Dinh nghia: Day sỐ, các dãy số đặc biệt, hàm số và cho thí dụ các dãy SỐ, hàm số trong thực tế

Định nghĩa hàm số hợp, hàm số ngược Cho thí dụ

Định nghĩa giới hạn của hàm số

Phát biểu các tính chất của giới hạn của dãy số, hàm số

Phát biểu các tiêu chuẩn tôn tại giới hạn của dãy số, hàm số Cho thí dụ

Định nghĩa VCB và VCL Nêu các tính chất của nó

Định nghĩa VCB tương đương và nêu ứng dụng của VCB tương đương Phát biểu và chứng minh định li liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn hữu

Bai 7 Cho biét:

limu(x) =1, limv(x) = ©, lim[u(x)-1]v(x) = L

Chứng minh: lim[„(x)}Ƒ? =e”

Áp dụng kết quả này hãy tính giới hạn sau:

2) a(x)=1-cosx, B(x)= sin= khi x->0

Bài 10 Tính các giới hạn băng thay thế VCB tương đương

24

25

Chuong 2 DAO HAM VA VI PHAN HAM SO MOT BIEN

2.1 Dao ham

2.1.1 Dinh nghia

2.1.1.1 Dao ham ham số tại một điểm:

Dinh nghia 2.1.1 Cho ham s6 f(x) xac dinh trong lan can U(x,)cua x, Cho d6i

số x SỐ gia Ax= x— xạ sao cho x, +AxeU(x,); Khi dé ham sé y= f(x) c6 86 gia

twong ung Ay = f(x, + Ax) — f(x,) Gioi han (nếu có) của tỷ số

x sin-L khỉ x # 0

0 khix=0

= jim 2 = tim Ax.sin-L =0— f'(0)=0

Ax->0 Ax Ax->0 Ax

2.1.1.2 Đạo hàm hàm số trong một khoảng

Định nghĩa 2.1.2 Hàm sỐ y= ƒ(z) được gọi là có đạo hàm trong khoảng (a,b) nếu

ham f(x) c6 dao hàm tại mọi điểm x e (z,b) Ký hiệu là y/ hay ƒ @) hay _

Xx

y“ cũng là một hàm số xác định trong khoảng (a,b)

Thí dụ 2.1.2 y = x'` > yí =3x”;Vx e (œ,+œ)

2.1.1.3 Dao ham một phía

Dinh nghia 2.1.3 Trong gidi han (1), ta hiéu Ax > 0 tir ca 2 phia Néu xét gidi han

(1) khi Ax > 0 theo tung phia ta có các khái niệm đạo hàm một phía

Tacó; = AOS) TO) TT =) khi A20

Ax Dođó lim Ay _ lim 9Ì — 1 — 3/'(0°)=1 và lim ÂY _—1—.3//(0)=-—I

Ax>0t Ax Ax>07 Ax Ax>0- Ax

Vay y = f(x) = |x| khong co dao ham tai x = 0

Dinh nghia 2.1.4 Ham 36 y = ƒ(z) được gọi là có đạo hàm trén doan [a,b] nếu + Ham f(x) dao ham trong khoang (a,b)

+ Ham f(x) co dao ham bén phai tai x = a va co dao ham bén trai tai x = b

2.1.1.4 Môi liên hé gitra dao ham va lién tuc

Dinh ly 2.1.2 Néuham s6 f(x) c6 dao ham tai x = Xo thi f(x) liên tục tại điểm đó

Tuy nhiên điều ngược lại không đúng

Thí dụ 2.1.4 Hàm số ƒ(x) = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0

2.1.1.5 Ý nghĩa của đạo hàm

a Y nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu hàm số y= f(x) co dao ham tai Xp thi đồ thị của y= f(x) có tiếp tuyến tại

Mo(xọ,f(x¿)) và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó là k = ƒ/()

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M,(x¿, ƒ (x¡)) của đồ thị hàm y= ƒ(+) là:

y =ƒ' Œ)(x-xy)+ /Œ)

b Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Xét một chuyển động thắng có phương trình chuyển động là s = ƒŒ) (trong

đó s là quãng đường di, t 1a thoi gian)

Tại thời điểm tọ nó ở vị trí Mọ với hoành độ s„ = f(t)

Tại thời điểm tị nó ở vị trí Mị với hoành độ s, = ƒ(,)

Vậy trong khoảng thời gian A/ =¡, —/¿ nó đi được quảng đường As = s, - sạ Xét tỷ

khoảng thời gian từ thời điêm 1, dén thoi diém 7,+ Ar va v,,

ton tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là vận

Vậy v„.ạ) = lim = s'(t,)

c Ý nghĩa tổng quát của đạo hàm

27

Ta xét hàm sO y= f(x) bất kỳ có đạo hàm tại x=x„ Khi đó tỷ số Ñ là tốc độ

biến thiên trung bình của hàm số ƒ(x) khi x biến thiên từ xọ đến x„, + Ax Do đó đạo

hàm f/(x,)clla y= f(x) tại xọ là tốc độ biến thiên của đại lượng y theo đại lượng x

tai x = Xo Trong thực tế tuỳ theo ham y= f(x) ma dao ham f’ (x,)cua y= f(x) tal

xọ có ý nghĩa cụ thé

2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

2.1.2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu , tích, thương

Đình lí 2.1.3 Nêu các hàm sô u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trong khoảng nào đó thì trong khoảng ấy tổng, hiệu , tích, thương của chúng cũng có đạo hàm và:

Thi du 2.1.5 Cho y = x°Inx

Khi do: y = (x”.Inx + x”.(Inx) = 3x"Inx + x’ = x°(3Inx + 1)

Thí dụ 2.1.6 Tinh dao hàm cia ham sé: y = £°S** Sin +

(cos x —sin x) 1-sin2x

2.1.2.2 Dao ham của hàm số hợp

Cho hàm số hợp y= ƒ[ø@(+)]

Dinh li 2.1.4 Nếu hàm số ¿=ø(+) có đạo hàm tại xạ và hàm số y= ƒ() có đạo

hàm tại zø=ø(x,) thì hàm số hợp y= ƒ| ø(x) | có đạo hàm tai xo va:

Vy (Xạ)= ¥, Uy te, (Xp)

/

x

Tổng quát: Hàm số hợp y= ƒ Iø()| có đạo hàm y, = y,.ư

Thí dụ 2.1.7 1 Tính đạo hàm của hàm số y = sin”x

Hàm số y = sin x là hàm số hợp của y = u” và u = sinx Áp dụng đạo hàm của

hàm số hợp ta được yí = yí w/ = 3w?.cosx = 3sin” x.cosx

2 Tính đạo hàm của hàm số sau y=^j100-— x

28

Dinh li 2.1.5 Nếu ƒ(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại xọ thì hàm ngược

x = ø(y) cũng có đạo hàm khac khong tai y, = f(x,) va

Ta thuong viét cng thirc 6 dang x’ = 7

Thí dụ 2.1.8 Tính đạo hàm ham sé y= arc sinx

sim y=x

VÌ arc sinx =y © = =

E

2.1.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Áp dung cong thie x’ = Ị ,ta CÓ y'= | I I ] 1

/

Chú ý: I Nếu các hàm lấy đạo hàm trong các công thức trên thay x bởi hàm số

u = @(x) có đạo hàm thì trong kết quả nhân thêm u' Chang han (u* } = ou u!

2 Đề tính đạo ham người ta thường dùng bảng công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp và kết hợp với các quy tăc nêu trên Tuy nhiên, trong một số trường

29

hợp, cần lựa chọn phương pháp thích hợp Chăng hạn để tính đạo hàm hàm số dạng

y= [u(x) |"? : (u&)> 0)ta tiến hành 3 bước

- Lay logarit Neper 2 vé: In y = Infu(x)]” = v(x).In[u(x)]

- Lay dao ham 2 vé theo biên x ta được

Thi du 2.1.9 Tính đạo hàm của hàm số y = (sinx)”

- Lay logarit Neper 2 vé ta cd In y = x.In sin x

/

- Lay dao ham 2 vé ta duoc = Insinx+ x.cotx > y’ =(sinx) (Insinx + x.cotx)

y

3 Khi tính đạo hàm hàm số có dạng tích và thương của nhiều biểu thức ta

có thể dùng quy tắc đạo hàm của biểu thức luỹ thừa mũ nêu trên

Thí dụ 2.1.9 Tính đạo hàm của hàm sô y = x”.e” cos x

Lay logarit Neper 2 về ta có In|y|= 2In|x|+ x` + In|eos x| Lấy đạo hàm 2 về ta

" Nếu tôn tại đạo hàm của y’ thi đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm

số y=ƒ@.Kíhiệu y“ hay f(x) Nhu vay y” = al hay y= (y" )

Tổng quát , đạo hàm cấp n của hàm số y= ƒ(+) ky higu f(x) 1a | f° (x) |

- Các đạo hàm từ câp hai trở lên được gọi là đạo hàm câp cao

-Quiude f(x) = f(x)

Thi du 2.1.10 1 Tim đạo hàm cấp 3 của hàm số y= 2x`

Ta có y'=6x?=y=(6x”} =12x= y =(12) =12;

2 Tìm đạo hàm câp n của hàm sô y= sinx

Tacó y= (sinx} =cos x= sin{ x4)

30

Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh được

y”) = [Few] = sin( + 1 neN

2.1.4.2 Một số đạo hàm cấp cao thường gặp

6)y” = (sin ax)” =a".sin lao 1 neN

7) y = (cos ax)” = COS [ax + nm) neN

2.1.4.3 Phép toán của đạo hàm cấp cao

trong khoang (a,b) thì u+v,w.» cũng có đạo hàm cấp n trong khoảng (a,b) và ta có công thức sau gọi là công thức Lelbnitz

Thí dụ 2.1.11 Cho y = x” sinx Tính y°= 3

Đặt u = xỔ, v = sinx =y=uy rồi áp dụng công thức Leibnitz

Ham s6 y= f(x) duoc goi 1a kha vi tại điểm x, nêu số gia của nó tại điểm đó là:

Ay = f (x) +Ax)— / (xạ) có thể biểu diễn dưới dạng: Ay = A.Ax+ø(Ax).Ax ()

Trong do A la hang s6 va a > 0 khi Ax > 0 (2)

Khi đó, biéu thc A.Ax duoc goi la vi phan cua ham y= f(x) tal x = Xo, va được ký hiệu là df(x,) hay dy(x,) Vay df(x,) = A Ax

Nếu hàm số ƒ(+) khả vi tại mọi x e(a;b) thì ta nói hàm số f(x) kha vi trong

khoảng (z,b) Khi đó biểu thức vi phân của hàm trong khoảng (a,b) được ký hiệu:

dy hay df (x)

2.2.2 Ý nghĩa của vi phân

Biểu thức A.Ax là biểu thức tuyến tính đối với Ax nên thông thường nó đơn giản

hơn sô gia Ay nhiêu

Nếu Az0thì vi phan đylà VCB tương đương với Ay khi Ax->0 Tức là

dy ~ Ay khi Ax->0

2.2.3 Múi liên hệ giữa khả vi và có đạo hàm

Định lý 2.2.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số ƒ(x) khả vi tại xạ là nó có đạo hàm tại xọ và đ4ƒ(x¿)= ƒ (x,).Ax (3)

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để hàm số ƒ(x) khả vi trong khoang (a,b) 1a f (x)

co dao ham trong khoang (a,b) va 4ƒ(x)= ƒ/(x)dx (4)

Thi du 2.2.1 y= f(x) =x* > dy = 4x°dx

2.2.4 Các qui tắc tính vi phân

Định ly 2.2.2 Nếu u = u(x), v = v(x) khả vi trong khoảng nảo đó thì trong khoảng

dy u+v, uy, ~ cing kha vi va

Ay = f (% +Ax)- #(w) và df(xo) là 2 vô cùng bé tương đương khi Az —› 0

Cho hàm số y= ƒ(x) có đạo hàm hữu hạn tại x,, trong khi tính giá trị f(x, + Ax)

với Ax khá bé thường rất phức tạp, nên áp dụng định lý 2.2.3 người ta tính gần dung øgiá trị đó theo công thức sau đây:

32

ƒ(X¿+Ax)x ƒ(%s)+4ƒ(xạ) với |Ax| đủ gân 0

Suy ra: cos59° 1 (=) ~0,5151,

2.2.6 Vi phan cap cao

2.2.6.1 Định nghĩa 2.2.2 Cho hàm số y= f(x) kha vi trong (a,b) Khi đó:

- Vi phân của hàm số y là ay= //(x).4x là hàm số xác định trong khoảng (a,b)

- Nếu tôn tại vi phân của dy thì vi phân ây được gọi là vi phân cấp hai của ham

y và ký hiệu đˆy

- Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp (n — l) của y= ƒ(+) được gọi là

vi phân cấp n cla y= ƒ(+) và ký hiệu d"y Vay d"y =d(d""y)

Các vi phân từ cấp 2 trở lên được gọi là vi phân cấp cao

2.2.6.2 Cách tính Nêu y= f(x) co vi phan dén cap n trong khoang (a,b) va x là

biến số độc lập thì đˆy = y“”.(dx)" (1)

Chú ý: Công thức (1) không đúng khi x là biên sô phụ thuộc x = g(t)

2.2.6.3 Thí dụ 2.2.3 Cho ham s6 y= f(x) =2x°+3x? +50 thi

Ham f(x) duoc gọi là đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x, nếu f (%)) = 7 (z) thoặc

#Œ) << ƒ(+)); VxeU(%))

Cực đại hay cực tiểu gọi chung là cực tri

Nhận xét: Cực trị định nghĩa như trên có tính chat dia phuong

b Điều kiện cần

Dinh ly 2.3.1 (Dinh ly Fermat)

Néu y= ƒ(z) đạt cực trị và có đạo hàm tại x„, thì ƒ“(x„)= 0

Chứng minh: Giả sử hàm sỐ y=f(x) đạt cực đại tại x¿e(a;b), ta có:

Hệ quả: /ˆ(x,)z 0= /(+) không có cực trị tại x,

Như vậy để tìm cực trị của hàm số y = ƒ(x) ta chỉ cần khảo sát điểm tại đó hàm có

đạo hàm bang không, ngoài ra hàm có thể đạt cực trị tại điểm hàm không có đạo hàm (Chang han ham f(x)= 2] đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại

điểm đó) Ta gọi các điểm này là điểm tới hạn

Y nghĩa hình học của định lý Fermat

Nêu y= ƒ(z) co dao ham tai diém cuc tri x,, thì tiếp tuyên với đường cong

y= ƒŒ) tại M (xạ yạ) song song với trục 0x ( Xem hinh 2.1)

2.3.1.2 Dinh ly 2.3.2 ( Dinh ly Rolle)

Nêu hàm sô f(x) thoả mãn 3 điêu kiên:

+ Ham f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

+ f(x) © dao ham trong khoang (a,b)

+ f(a)= f(b)

thi ton tai itnhat ce(a;b) sao cho f/(c)=0

34

Chứng minh: (Dựa vao dinh ly Weierstrass về hàm số liên tục trên một đoạn thì

hàm đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên đoạn đó và định lý Fermat ta

được điều phải chứng minh)

- Ý nghĩa hình học của định lý Rolle

Rolle, c6 đỗ thị là AB thì có ít nhất | _

2.3.1.3 Dinh ly 2.3.3 ( Dinh ly Lagrange) a AL c ob

Néu ham s6 f(x) thoa man 2 diéu kién: Hình 22

+ Hàm f(x) lién tục trên đoạn [a,0]

+ ƒ(z) có đạo hàm trong khoảng (a,b)

thì tôn tại ít nhất e e(a;b) sao cho ƒ/(c)= eee

—a

Chứng minh: (Dựa vào bằng cách lập hàm số phụ)

Đặt hàm số F(x)= ƒ@)- đa) FOLO (a) thi F(x) thoa dinh ly Rolle

—-a F(b)- F(a)

—-a

Ý nghĩa hình học của định lý

Lagrange

Nếu hàm sé y= f(x) co d6 thi IA

duong AB va f(x)thoa mãn các điều

— Điều phải chứng minh

C

Suy ra ce(a;b)sao cho F' (c)=

kiện của định lý Lagrange thì tổn tại

trên đường AB ít nhất một điểm C có 5

Néu thoa man 3 diéu kién:

+ f(x) va g(x) la hai ham 1ién tuc trén doan [a,5]

+ f(x) va g(x) cd dao ham trong khoang (a,b)

35

+ g/(x) #0 tai moi Vx (a,b)

fb)-f@ _ f'©)

g(b)- g(a) g'()' Chứng minh: (Dựa vào định lý Rolle bằng cách lập hàm số phụ)

Thi du 2.3.1

a Chứng minh rang |sinx—sin y|<|x—y|: Vxy eR (*)

b Chimg minh rang phuong trinh x” + px+q=0 c6 khong qua hai nghiém thực

nếu n chan, không quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ

Giải: a Với x= y thì bât đăng thức (*) đúng

Voi x# y, không mất tính tổng quát ta giả sử y<x Xét hàm số ƒ(z)=sinx Rõ

ràng, hàm số này liên tục trên [y;x|c R và có đạo hàm ƒ'(z) = cosx; Vx e(y,x) Do

do f(x) thoa dinh ly Lagrange nén tén tai c c (y.x) sao cho:

ƒŒ)~ ƒG)=(x~ y).ƒ() © sinx — sin y = (x— y).cos e = |sinx — sin y|< |x — y|

b Dùng phương pháp phản chứng và áp dụng định lý Rolle đối với hàm ƒ(x)=x + px+q

2.3.2 Công thứcTaylor và khai triển hàm số theo công thức Mac-Laurin

2.3.2.1 Định lý 2.3.5

Nếu hàm #(z) liên tục trên [a,b|, có đạo hàm đến cấp n+ 1 trong khoang (a,b) vax, x, la2 điểm tùy ý trong khoảng (a,b) thì tồn tại c nằm giữa xọ va x sao cho:

Công thức (1) được gọi là công thức Taylor

pe) (c)

(n+1)!

f(x)= f (x )+

trong cong thirc Taylor va ki hiéu 1a R(x)

Nếu x„ =0e(z,b)thì công thức Taylor trở thành công thức sau gọi là Mac-

Laurin

36

Ta có /“(x)=e*'; Vk>l= /“(0)=l; V*k>I nên công thức khai triển Mac-

Laurn của ƒ(x) = e" là:

Nếu thoả mãn 3 điều kiện:

+ Ham sé f(x), g(x) kha vi trong lan can diém xạ (CÓ thể trừ xạ)

Dinh ly 2.3.7 (Dinh ly L’ Hospitale 2)

Néu thoa man 3 diéu kién:

+ Ham so f(x), g(x) khavi va g/(x) #0; Vx eU(x,) (C6 thé trir x, )

thi É) hội tu khi x—> x, và im) - ïạ £ Ø) _¿,

g(x) mm g(x) sm g(x)

Chú ý: - Các định lý LHospitale trên dùng để khử dang vô định ọ hoặc “ và định

CO

ly van ding khi x > 00

- Khi áp dụng định lý LHospital vẫn còn dạng vô định hoặc ^ có thể tiếp

CO tục áp dụng định ly L’ Hospital

._ X-SInX 0 (x-SInx) „ l-cosx

I=lim (Dang —) =lim—————— = lim (Dạng 5) tiếp tục áp

Các dạng vô định khác như o-sœ, 0.0, 1°, o° ta biến đổi đưa về dang

0 hoặc = réi ap dung qui tac L’ Hospitale

+ Các dạng vô định khác 1°,«°, o2 xuất hiện khi tìm giới hạn của biểu thức

v(x)

[u(x] Ta biến đổi [„@Ƒ 7 = cnuG)] = ¿Œœ)h|s@9)] Khi đó

lim v(x).Inu(x) x ⁄ ; „ 24 ek

đổi đưa về dạng 5 hoặc ^ rồi áp dụng quy tắc LHospitale để tính

Cách 2: lim[x+e 1 =e19 L | Mà lim ln |x+e*] = lim | (dang 9)

2.4.1 Các định lý về tính tăng, giảm và cực trị của hàm số

2.4.1.1 Chiều biến thiên

Định lý 2.4.1 (Về tính tăng, giảm của hàm số)

Giả sử hàm số f (x) lién tuc trén [a,b], co dao ham trong (a,b) Khi đó:

1 f(x) =0; Vx € (a,b) © f(s =C (C là hăng số), Vx e [a, b]

2.Néu ƒ(z) tăng (hoặc giảm) trên [a,b] thì ƒ (+)>0 (hoặc f'(x) <0) voi

Vx &€ (a, b)

3 Néu ƒ/(x)>0(hoặc f’(x) <0) Vx € (a, b) thi f(x) tang (hoac giam) trén [a, b]

2.4.1.2 Điều kiện đủ hàm số cực trị

Định lý 2.4.2 (Về cực trị của hàm số)

Giả sử hàm f{x) xác định tại x„ và khả vi trong lân cận x, (Có thể trừ điểm xạ)

Khi x vượt qua Xo

1 Néu y/ đối dấu từ (+) sang (-) thì ƒ(+) đạt cực đại tai Xp

39

2 Néu ví đôi dâu từ (-) sang (+) thì ƒ(+) đạt cực tiểu tại xạ

3.Nếu y“ không đổi dấu thì ƒ(x) không có cực trị tại Xp

Chứng minh: Dựa vào định lý 2.4.1 và định nghĩa 2.3.1

Dinh ly 2.4.3 (Dâu hiệu tông quát)

Giả sử hàm y= ƒ(z) thoả mãn 2 điều kiện:

+ ƒ(zx) có đạo hàm cấp n liên tục trong khoảng chứa xọ

- Nếu k chin tire £=2» thì f° Zk )=-1<0 Ham Ñx) đạt cực đại tại

điểm x=——+2nz và fl ~+2nz |=sin| —+2nz |=I

- Nếu k lẻ tức k=2n41 thì £ [+2n+bz ]=I>0= Hàm f{x) đạt cực tiểu

tại điểm x=2-+(2n+ Da và /[Štðn+Dx ]=sn|Š-+(2+ 0z ]= ~l

2.4.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

2.4.2.1 Nếu hàm số y = ƒ(+)liên tục trên [a,b] thì nó đạt giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên đoạn đó

2.4.2.2 Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên [a,b] như sau:

+ Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên đoạn [a.b], giả sử các điểm đó là