Toán Cao cấp A2 dùng cho sinh viên Tin họ

- Định lý 3: Chuỗi d-ơng hội tụ khi và chỉ khi tổng riêng của nó bị chặn... Một chuỗi bán hội tụ cũng có thể đổi chỗ các số hạng để nó trở thành hội tụ đến một tổng s tuỳ ý... - Tập X0 g

Ch-¬ng I: chuçi sè - d·y hµm - chuçi hµm

Trong (*), a n ®-îc gäi lµ sè h¹ng thø n vµ S n  a1 a2  a n gäi lµ tæng riªng thø n cña chuçi D·y  S n gäi lµ d·y c¸c tæng riªng cña (*)

  hoÆc kh«ng tån t¹i th× chuçi gäi lµ ph©n kú

- Tæng cña chuçi nÕu cã lµ duy nhÊt do giíi h¹n cña d·y  S n nÕu cã lµ duy nhÊt

- VÝ dô 1: Chuçi

1

n n

a S

a

 

 VËy chuçi héi tô vµ cã 1 1

n n

a a

a a

a a

gäi lµ chuçi ®an dÊu

a héi tô

- Định lý 3: Chuỗi d-ơng hội tụ khi và chỉ khi tổng riêng của nó bị chặn

- Định lý 4: Cho hai chuỗi d-ơng (a):

1

n n

a k b

  Khi đó, nếu

0  k thì chuỗi (b) hội tụ kéo theo chuỗi (a) hội tụ; Nếu 0  k thì chuỗi (b) phân

kỳ kéo theo chuỗi (a) phân kỳ

- Định lý 6: ( Dấu hiệu Cauchy ) Cho chuỗi d-ơng (a):

1

n n

hội tụ với c1, phân kỳ với c1

- Định lý 7: ( Dấu hiệu D'Alembert ) Cho chuỗi d-ơng (a):

1

n n

a D a



chuỗi (a) hội tụ với D 1; phân kỳ với D 1

- Định lý 8: ( Dấu hiệu tích phân ) Cho f x là một hàm d-ơng, giảm trên 1;

Đặt a n  f n khi đó chuỗi 

 1

n n

a và tích phân suy rộng   

1

dx x

f cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

- Định lý 9: ( Dấu hiệu Leibnitz ) Cho chuỗi đan dấu  1 ; 0

n n

a

n a

a n1 n  và lima n  0 thì chuỗi hội tụ

- Định lý 10: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ

- Định lý 11: Nếu chuỗi 

 1

n n

a hội tụ và có tổng là s thì chuỗi

 1 2   1 2   1 2 

1 1

2 1

n n

n n

a a

có tổng là s

* Chú ý: Nếu có một chuỗi có dạng (*) hội tụ thì chuỗi xuất phát ch-a chắc hội tụ

- Định lý 12: Nếu chuỗi (a): 

 1

n n

a hội tụ tuyệt đối thì chuỗi (b): 

 1

n n

b nhận đ-ợc bằng cách

đổi chỗ tuỳ ý các số hạng của chuỗi (a) cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng tổng của chuỗi (a)

* Chú ý: Định lý 12 chỉ đúng với các chuỗi hội tụ tuyệt đối Một chuỗi bán hội tụ cũng có thể

đổi chỗ các số hạng để nó trở thành hội tụ đến một tổng s tuỳ ý

- Định lý 13: ( Định lý Riemann ) Giả sử 

 1

n n

a là chuỗi bán hội tụ Khi đó:

a/ Với sR tuỳ ý, tồn tại một cách đổi chỗ  các số hạng của chuỗi sao cho a   s

n n

n a

n

n

11

1lim1

n a

a

n n

héi tô theo dÊu hiÖu D'Alembert

- Bµi 3: XÐt sù héi tô cña c¸c chuçi sè sau ®©y

  lµ hai chuçi ph©n kú th× cã thÓ kÕt luËn ®-îc g× kh«ng?

- Bµi 8: Kh¶o s¸t c¸c chuçi sau

a/

3

4 1

2 1

3 2

k

k k







- Điểm x0X gọi là điểm hội tụ của dãy hàm nếu dãy số u n x0  hội tụ

- Tập X0 gồm tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm gọi là miền hội tụ của dãy hàm đó

- Với mỗi xX0 đặt u x  limu n x khi đó ta đ-ợc một hàm u x xác định trên X0 khi đó

ta nói u n x1  hội tụ đến u x trên X0

- Điểm x1X tại đó dãy u n x1  phân kỳ gọi là điểm phân kỳ của dãy hàm

- Ví dụ: Dãy hàm 1 ;x;x2; ;x n; Ta có lim n0

x khi x  1 và lim n 1

x khi x1 Do đó miền hội tụ của dãy là 1;1 và giới hạn của dãy là    

1

;10

x

x x

u

- Dãy hàm u n x hội tụ đến hàm u x trên tập X nếu  0,xX, N N x, sao cho nN ta có u n   x u x 

* Chú ý:

+/ N phụ thuộc vào cả x và 

+/ u n x hội tụ đến u x theo nghĩa trên gọi là hội tụ th-ờng hay còn gọi là hội tụ theo điểm trên tập X

- Dãy hàm u n x gọi là hội tụ đều đến hàm u x trên tập X nếu  0, N N  sao cho nN và xX đều có u n   x u x 

* Chú ý: Một dãy hàm hội tụ đều thì hội tụ th-ờng, điều ng-ợc lại ch-a chắc đã đúng

- Nếuu n x hội tụ th-ờng đến u x trên tập XKý hiệu: u n x u x trên X

- Nếuu n x hội tụ đều đến u x trên tập X Ký hiệu: u n x u x  trên X

n n

1 1

22

u x u x    

Tức là u n x không hội tụ đều đến u x 

* Trong ví dụ này ta thấy u n x liên tục trên  0;1 tuy nhiên giới hạn của nó không liên tục trên  0;1

b Các định lý

Cho X là một tập tuỳ ý trong R th-ờng là  a b; hoặc  a b;

- Định lý 1: (Tính liên tục của dãy hàm) Nếu các hàm số u n x liên tục trên X và

- Hàm u n x gọi là số hạng thứ n của chuỗi

- Hàm S n x u x1 u2 x   u n x gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm

- Điểm xX gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (*) nếu dãy tổng riêng S n x  của

nó hội tụ hay phân kỳ

- Nếu X0 là miền hội tụ của dãy S n x  thì ta cũng gọi X0 là miền hội tụ của chuỗi (*)

- Nếu S n x u x  trên X0 thì ta viết     0

1

;

n n

n n

- Chuỗi (*) gọi là hội tụ đều trên X nếu dãy các tổng riêng của nó hội tụ đều trên X

- Nếu các u k x liên tục, có đạo hàm, khả tích trên X thì các tổng riêng S n x cũng có các tính chất đó

- Định lý 1':

Cho X R mà thông th-ờng X  a b; hoặc  a b; Nếu chuỗi  

1

n n

u x





* Chú ý: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ, ng-ợc lại ch-a chắc đúng

- Định lý 4: (Weierstrass) Nếu u n x C n   n; x X ; chuỗi số

1

n n

x x

x x

x k

  khi đó bán kính hội tụ r của chuỗi

luỹ thừa đ-ợc tính nh- sau:

0

l l

Chuỗi luỹ thừa - bài tập

1 Định nghĩa - Bán kính hội tụ

- Chuỗi hàm có dạng

0

n n n

 (**) trong đó x a a a0, 0, 1, 2, là hằng số đ-ợc gọi là chuỗi luỹ thừa

- Chuỗi (**) có thể đ-a về chuỗi (*) bằng cách đặt X  x x0 vì vậy ta chỉ xét chuỗi (*)

R thì chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất x0

R  thì chuỗi hội tụ tại mọi xR

- Định nghĩa: Số R là bán kính hội tụ của chuỗi nếu mọi x mà x R thì chuỗi hội tụ,

x R thì chuỗi phân kỳ

- Định lý 6: Cho chuỗi luỹ thừa

0

n n n

x n





01

n n

x n x

n n

n

n n

tụ tuyệt đối và đều trên R R; 

- Định lý 8: Cho chuỗi luỹ thừa

0

n n n

1

1 1 1lim ln 1 1 1

3 Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa

- Hàm f x gọi là khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa trên khoảng R R;  nếu có chuỗi luỹ thừa

0

n n n

mọi cấp trên R R;  và f k  0 k a! k  k 0,1, 2,

- Cho f x  có đạo hàm mọi cấp trên một khoảng R R;  Khi đó chuỗi    

0 !

n n n

- Khai triển Taylor của f x  trong lân cận của điểm bất kỳ có dạng

x a n

n x n

R gọi là một vecto hay là một điểm

+/ Cho xR n;   0 gọi B x yR n  x y,  là  _ lân cận của điểm x Tức là:

 _ lân cận của điểm x là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách đến x bé hơn 

   n  , 

+/ Điểm x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại  0 sao cho B x( ) A

+/ Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại  0 sao cho B x( )  A 

+/ Điểm x gọi là điểm biên A nếu mọi  0, B x( )đều chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A

+/ Tập tất cả các điểm biên của A ta ký hiệu là A và gọi là biên của tập A

c Hình cầu, khối đa diện là những tập liên thông trong 3

R

d Các  - lân cận B x( ), B x trong n

R là những tập liên thông +/ Tập D gọi là một miền trong n

R nếu D mở và D liên thông Nếu D là một miền thì

hàm nhiều biến - giới hạn

- Ký hiệu hàm f có miền xác định X là u f x , xR hoặc x f x , xR

- Nếu u f x x 1 , 2 , ,x n là hàm cho bởi một công thức thì miền xác định của hàm f là tập tất cả các điểm x x1 , 2 , ,x n mà công thức đã cho xác định

- Nếu f là một hàm hai biến thì ta sẽ ký hiệu z f x y , ; x y, R

- Ví dụ:

z f x y  x y có miền xác định là hình tròn mở ( không kể biên ) tâm O, bán kính 1

+/ Hàm hai biến zg x y ,  xy có miền xác định là tập các điểm  x y, có một trong hai toạ độ bằng 0 hoặc hai toạ độ cùng dấu, tức là miền xác định của nó góc phần t- thứ I & III cùng với các trục toạ độ

b Biểu diễn hình học của hàm hai biến

- Cho hàm hai biến z f x y , ; x y, R; Khi ta biểu diễn tất cả các điểm x y z, ,  trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz th-ờng ta đ-ợc một mặt, gọi là mặt biểu diễn của hàm

 là ph-ơng trình của một đ-ờng cong nằm trong mặt

phẳng zz0, gọi là đ-ờng mức hay đ-ờng đẳng trị

2 Giới hạn hàm nhiều biến

a Điểm tụ của một tập hợp

đ-ợc gọi là điểm cô lập

- Ví dụ:

+/ X  Q R ta có mọi điểm của R đều là điểm tụ của Q

+/ Mọi xB x( ) đều là điểm tụ của B x( )

K R gọi là compac nếu mọi dãy a k x1 k ,x2 k , ,x n k  K có dãy con  a jk

hội tụ tới aK

KR là compac khi và chỉ khi K đóng và bị chặn

c Giới hạn của hàm hai biến

- Định nghĩa: Hàm u f x y ,  xác định trên 2

X R ; A là một điểm tụ của X ( nh- vậy

A không nhất thiết thuộc X ), khi đó nói f x y , có giới hạn L khi M x y ,  dần tới

- Hàm u f x y ,  xác định trên X ; x y0 , 0 là điểm tụ thuộc X , với y y0

1lim sin 0

x y

x y





  với xx x1 , 2 , ,x n;yy y1 , 2 , ,y nR n CMR: a/ 1 là một khoảng cách trên n

R

b/ Tồn tại hằng số d-ơng A B, sao cho A x y, 1 x y, B x y, ; x y, R n trong

đó  x y, là một khoảng cách Euclid trên n

R c/ lim  k,  0 lim 1 k,  0

 Chứng tỏ rằng hàm này không có giới hạn khi (x,y) dần

đến (0,0) Hãy tìm những dãy x y k, k   0, 0 sao cho f x y k, km trong đó m là một số cho tr-ớc

Bài 4: Xét các giới hạn của

- Hàm f x  gọi là liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại  x X

- Hàm f x  gọi là liên tục đều trên tập X nếu      0,  0 : x y, X, x y  có

   

f x  f y 

- Chú ý: f x  liên tục đều trên X thì f x  liên tục trên X, ng-ợc lại ch-a chắc đúng

2 Tính chất của hàm liên tục

- Định lý 1: Nếu hàm f x  liên tục trên tập compac n

K R thì f x  đạt cận trên đúng và cận d-ới đúng trên K

Tức là: a b, K f a:   f x  f b   x K

- Định lý 2: Nếu hàm f x  liên tục trên tập compac n

K R thì f x  liên tục đều trên tập compac K

Bµi 4: XÐt sù tån t¹i giíi h¹n lÆp cña c¸c hµm sè sau:

gọi lần l-ợt là các đạo hàm bên trái hoặc bên phải của hàm f x  tại x0

- Định lý 1: Hàm f x  có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f x  có đạo hàm bên trái, phải tại

- Định lý 2: Hàm f x  có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0

- Định lý 3: Nếu f x  và g x  là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích, th-ơng (g x  0) cũng có đạo hàm tại x và:

- Định lý 5: Cho hàm y f x  liên tục và đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trong khoảng

 a b, Nếu f x  có đạo hàm tại điểm x0  a b, và x0  0 thì hàm ng-ợc x y của

 

f x cũng có đạo hàm tại y0  f x 0 và '   

' 0

f

 



 thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm f x y , theo

biến x tại x y0 , 0 Ký hiệu f x y0, 0

Ch-ơng III:

tích phân bội

tích phân trên hình hộp

1 Bài toán tính thể tích hình trụ

Hình trụ  V có phía trên là mặt  S :z f x y ,  với f x y , liên tục và f x y ,  0, phía d-ới hình  D là hình chiếu của  S lên mặt phẳng toạ độ Oxy Hình  D có diện tích là

S, khi đó ng-ời ta tính thể tích hình trụ  V theo ph-ơng pháp sau:

+/ Gọi phân hoạch P là một phép chia  D thành n hình nhỏ

n

i i i P

là     0,  0 sao cho với mọi phân hoạch P và mọi phép chọn C nếu

, lim ,

n

i i i P



- Tổng (*) gọi là một tổng tích phân của hàm f x y z , ,  trên miền  V , ký hiệu d i dV i

là đ-ờng kính của miền  V i Đặt dmax d i i 1,n

i

  không phụ thuộc vào cách chia miền  V và cách chọn

điểm x y z i, i, i  V i thì giới hạn đó gọi là tích phân ba lớp của hàm f x y z , ,  trên miền

- Nếu tích phân ba lớp tồn tại thì ta nói f x y z , ,  khả tích trên  V

- Định lý: Nếu hàm số f x y z , ,  liên tục trên miền đóng, bị chặn  V thì f x y z , ,  khả tích trên  V

7

24

y y

2 Đổi biến trong tích phân hai lớp

a Công thức biến đổi tổng quát

- Định lý: Nếu hàm số f x y , liên tục trên miền  D thì ta có

b Đổi biến trong tích phân ba lớp

- Giả sử  V đóng, bị chặn trong không gian Oxyz và   là miền đóng, bị chặn trong

Ouvw Trong   các đạo hàm riêng xx u v w , , ;y y u v w z , , ; z u v w , , là liên tục sao cho u v w, ,   x y z, ,  là một song ánh      V

øng dông cña tÝch ph©n béi

1 øng dông cña tÝch ph©n hai líp

0 2

3 2

11

Ch-ơng IV:

tích phân phụ thuộc tham số

tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng số

1 Định nghĩa

- Cho hàm số hai biến số f x u , xác định trên hình chữ nhật R a  x b; u  Giả

sử với mỗi giá trị u ; thì hàm số f x u , khả tích theo biến số x

+/ §iÓm x0 lµ ®iÓm kú dÞ bá ®-îc v×

0

sinlim

x

xu u x

tích phân phụ thuộc tham số với

   trong đó a u b u   ; là những hàm số của tham số u Gọi

là tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số Trong bài ta hạn chế là chỉ xét tính liên tục và tính khả vi của hàm   u

( ) ( )lim ( , ) ( ), ( )

1lim ( , ) ( ), ( )

+/ Ta cã    2    2  

0 0

ln 1 ln 1 ln 1

ln 11

u ux u

tích phân phụ thuộc tham số

a A

0 2

1

0 2

Vậy hàm số đã cho xác định trên toàn trục số

* Ví dụ 2: Tìm miền xác định của hàm số  

Vậy miền xác định của hàm số đã cho là u0

2 Sự hội tụ đều

a f x u dx

 gọi là hội tụ đều về hàm số I u  trên  ;  ( Hay

 ; hữu hạn hoặc vô hạn ) nếu với  0 cho tr-ớc nhỏ bao nhiêu tuỳ ý, tồn tại A a

chứng tỏ tích phân (2) hội tụ đều trên tập u0

* Dấu hiệu hội tụ đều:

Nếu có một hàm số liên tục F x trên tập xa sao cho với mọi u thuộc đoạn  ;  và với mọi x đủ lớn, ta có: f x u , F x  và nếu tích phân  

 hội tụ đều trên đoạn  ; 

- Ví dụ 2: Xét sự hội tụ đều trong nửa đoạn u0 ,  u0  0 của tích phân

tích phân hay hoán vị thứ tự lấy tích phân ( Tr-ờng hợp chỉ có một tích phân có cận vô hạn )

cận vô tận ) hay hoán vị thứ tự lấy đạo hàm và lấy tích phân

u x ux

sin

0 2

u ux