Bài giảng Toán cao cấp B1 dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng Kỹ thuật

Bài giảng Toán cao cấp B1 dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng Kỹ thuật là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

GI I THI U MÔN H C

Toán cao c p B1 là ch ng trình toán dành cho sinh viên kh i ngành k thu t N i dung c a toán cao c p B1 g m nh ng ki n th c c b n v dãy s , hàm

s , gi i h n và liên t c, đ o hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân c a hàm m t

bi n s Các khái ni m c b n c a hàm s nhi u bi n s th c Ph ng trình vi phân,

lý thuy t chu i c bi t là các ng d ng các n i dung nêu trên trong k thu t

T p bài gi ng này đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2013 c a

Sinh viên n m ch c khái ni m, cách tính và ý ngh a đ o hàm, vi phân các c p

c a hàm s Áp d ng c a đ o hàm vi phân trong k thu t

Sinh viên n m v ng các khái ni m dãy hàm s , đ nh ngh a và các d u hi u v

s h i t , h i t đ u c a dãy hàm s , chu i hàm s nh ngh a, cách khai tri n và

ng d ng c a chu i l y th a, Chu i l ng giác

Trong m i ch ng sau vi c trình bày lý thuy t đ u có nêu lên các thí d đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t toán đ giúp sinh viên d dàng trong ti p thu bài h c, c ng nh t h c Cu i ch ng có các câu h i và bài t p

luy n t p, giúp sinh viên n m ch c h n lý thuy t và ki m tra m c đ ti p thu bài

h c Sinh viên c n tr l i các câu h i và làm đ y đ bài t p sau m i ch ng

h c t t h c ph n này, sinh viên c n chú ý nh ng v n đ sau:

+ Thu th p đ y đ các tài li u tham kh o

toán cao c p B và C, Tr ng H Qu c gia Tp HCM

[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao c p, Tr ng H à N ng

[4] Nguy n ình Trí và nhi u tác gi khác (2003), Bài t p toán cao c p t p II ,

NXBGD

[5] Nguy n V n Khuê (1998), Bài t p, Toán cao c p, NXN khoa h c và k thu t

[7] Lê V n H t (2005), H ng d n gi i bài t p toán cao c p, H Kinh t Tp HCM

[8] anKô- A.G PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài t p toán cao c p

(Sách dùng cho các tr ng i h c k thu t), NXB Giáo d c

+ N m v ng l ch trình gi ng d y, nghiên c u n m nh ng ki n th c c t lõi c a bài

gi ng tr c khi lên l p h c

+ Khi k t thúc m i ch ng sinh viên ph i hoàn thành các bài t p do gi ng viên yêu

c u c a ch ng đó vào tu n ti p theo, cu i m i ph n l n có các bài t p t ng h p

- Dãy s có t t c các ph n t đ u b ng nhau đ c g i là dãy d ng

- Dãy s t ng ho c gi m g i chung là dãy s đ n đi u

1 k 1,1, ,1,

n k

1.1.4 M t s dãy s th ng đ c dùng trong tin h c:

- Dãy s theo th t t ng (ho c gi m) d n: Trong tin h c th ng yêu c u nh p vào

m t dãy s và s p x p dãy s y theo th th t ng d n ho c gi m d n, ch ng h n bài toán tuy n sinh sau khi có dãy các t ng đi m, đ xác đ nh đi m chu n và danh sách trúng tuy n c n s p x p t ng đi m theo th t gi m d n

- Các dãy s đ c cho b i công th c truy h i (Ch ng h n dãy s bi u th bài toán tháp Hà N i, Dãy s Fibonaci, …)

1.1.5 Gi i h n c a dãy s

1.1.5.1 nh ngh a 1.1.5 Ta nói r ng dãy s th c  a n có gi i h n lR khi

n  và vi t lim n

n a l

  hay a n l khi n  n u   0 bé tu ý cho tr c,

t n t i s nguyên d ng N( ) sao cho *

- Dãy s đ n đi u t ng và b ch n trên thì dãy h i t

- Dãy s đ n đi u gi m và b ch n d i thì dãy h i t

lim

n

n n n

a a

c S liên h gi a s h i t c a dãy con và dãy s ban đ u

nh lý 1.1.6 N u dãy s  a n h i t và có gi i h n L thì m i dãy con c a nó đ u

h i t và có gi i h n L

khi a a

S e là m t s vô t , có giá tri e = 2,718 281 828 459 045 S e đóng vai trò quan

tr ng trong k thu t Lôgarit c s e g i là lôgarit Neper hay lôgarit t nhiên;

có t p xác đ nh là R

1.2.2.2 Ph ng pháp b ng

Ph ng pháp gi i tích th ng đ c dùng trong nh ng nghiên c u lý thuy t,

nh ng nhi u khi nó không ti n l i trong th c hành vì ph i tính đ m i phép toán khi

s đó Vì th , trong kinh t và k thu t ng i ta cho hàm s b ng cách cho đ th

c a nó Ch ng h n đ th bi u di n đi n áp c a l i đi n, đ th bi u di n nh p tim hay đ th bi u bi n v ch ng khoán,…

Nh c đi m c a ph ng pháp cho hàm s b ng đ th là thi u chính xác

1.3.2 Hàm s b ch n

nh ngh a 1.3.2 Hàm s f x( ) đ c g i là b ch n trên (ho c d i) trong t p

D X (X là mi n xác đ nh), n u t n t i M R sao cho ta có: f x( )M (ho c ( )

Thí d 1.3.4 Hàm s y tanx là hàm s tu n hoàn v i chu k T 

1.3.5 M t s hàm s th ng dùng trong k thu t và công ngh thông tin

Trong th c ti n k thu t hay kinh t ng i ta th ng xét đ n nhi u hàm s nh hàm s chuy n đ ng c a m t ch t đi m, qui lu t gi m nhi t c a m t thanh kim lo i

đ t nóng đ c đ t trong môi tr ng có nhi t đ n đ nh th p h n hay hàm s n xu t, hàm tiêu dùng, hàm thu nh p, hàm tính lãi kép…

Trong tin h c các ngôn ng l p trình có các hàm có s n nh các hàm s h c, các

Cound,…

giác sau đây:

1.4.1.1 Hàm s y = arc sinx là hàm s ng c c a y = sinx

sinarc sinx = y

1.4.1.4 Hàm s y = arc cot x là hàm s ng c c a hàm s y = cotx

arc cot x = y  cot y = x v i y 0; 

1.5 Gi i h n hàm s

1.5.1 Các khái ni m

1.5.1.1 Lân c n c a m t đi m

nh ngh a 1.5.1 Cho đi m x0R và  0 Lân c n c a đi m x0 bán kính  là t p

t t c các đi m xR sao cho xx0  Ký hi u: U (x0)ho c U(x0)

V y: U ( )x0 xR x0    x x0 x0 ,x0 

Do đó lân c n c a đi m x0 chính là kho ng nh n x0 làm tâm bán kính 

Thí d 1.5.1 Lân c n đi m x = 1 bán kính b ng 2 là kho ng 1 2,1 2      1, 3

1.5.1.2 Các đ nh ngh a gi i h n c a hàm s

nh ngh a 1.5.2 (Theo ngôn ng )

Cho hàm s y f x( ) xác đ nh trong lân c n U(x0), (có th tr x0)

S L đ c g i là gi i h n c a hàm s f x( )khi x d n v x0 n u   0 cho tr c bé tùy ý,    ( )0 sao cho  x U x( 0) : 0  x x0   f x( )  L 

2

  

nh ngh a 1.5.3 (Theo ngôn ng dãy s )

Cho hàm s y f x( ) xác đ nh trong lân c n U(x0), (có th tr x0)

Gi i: Th t v y l y 2 dãy  x n ,  /

n

; 2

2 2

nh ngh a 1.5.6 Cho hàm s y f x( ) xác đ nh trong lân c n U(x0), ( có th tr

Thí d 1.5.8 Tính các gi i h n sau

0

s in5x-sin3xlim

x



1.5.5.2 Tiêu chu n 2 (đ n đi u b ch n)

nh lý 1.5.7 N u hàm f(x) là hàm s t ng và b ch n trên trong kho ng (a,b) thì

hàm f(x) có gi i h n bên trái khi x b

nh lý 1.5.8 N u hàm f x( ) là hàm s gi m và b ch n d i trong kho ng (a,b) thì hàm f x( ) có gi i h n bên ph i khi x a

Áp d ng tiêu chu n 2 ch ng minh đ c s t n t i gi i h n c a 1 1

( )

u x k

x x

x x  1.5.6.2 Liên h gi a VCB và hàm có gi i h n



   thì ta nói  ( x) và  ( x) là hai VCB cùng b c trong quá trình đó c bi t:

+ N u k  1 thì ta nói  ( x) và  ( x) là hai VCB t ng đ ng trong quá trình đó, ký hi u ( )x  ( )x khi x x0 ( ho c x )

Thí d 1.5.12 Khi x 0 thì s inx  x vì

x x 

1 ln



  thì ta nói  ( )x là m t VCL b c th p h n VCL ( ) x

hay ( )x là m t VCL b c cao h n VCL ( ) x trong quá trình đó

+ N u 0

)(

)(

1

( ) ( )

1

3 2 2

2 2 2

1 tan

2 lim tan 0 0

x x x

x x

+ f x( ) xác đ nh t i x0 và trong lân c n x0

0

x f x

x

nh lý 1.6.1 i u ki n c n và đ đ hàm s y f x( ) liên t c t i x0 là y f x( )liên t c trái và liên t c ph i t i x0

1.6.1.3 S liên t c trong kho ng và

liên t c trên đo n  a; b n u nó liên

t c trong kho ng  a; b và liên t c

N u hàm s y f x( ) liên t c trên đo n  a; b thì đ th c a nó là m t đ ng li n nét

nh lý 1.6.5 (Weierstrass) N u f x( )liên t c trên đo n  a b, thì nó b ch n trên

đo n đó, t c là M , m  R sao cho m  f x( )  M ;  x [ , ]a b

1.6.4.2 t giá tr l n nh t và bé nh t

nh lý 1.6.6 (Weierstrass) N u f x( )liên t c trên đo n  a b, thì nó đ t giá tr l n

nh t và nh nh t trên đo n đó, t c là: x x1 , 2  a b, sao cho:

m f(x1)  f(x)  f(x2) M;  x  a b,

1.6.4.3 Nh n giá tr trung gian

nh lý 1.6.7 (Bolzano-Cauchy) N u f x( ) liên t c trên đo n  a b, và có

M

m    v i m; M l n l t là giá tr nh nh t và l n nh t c a f x( ) trên đo n đó thì t n t i ít nh t m t đi m c a b, sao cho f c( )

H qu : N u f x( ) liên t c trên đo n  a b, và có f a f b( ) ( )0 thì t n t i ít nh t

m t đi m c a b, sao cho f c( )0 t c là ph ng trình f x( )0 có ít nh t m t nghi m trong ( , )a b

1.6.4.4 B o toàn d u c a hàm s liên t c

nh lý 1.6.5 N u f x( ) liên t c trên đo n  a b, , x0  a b, và f x( 0)0 ho c ( f x( 0)  0) thì U x( 0)  ( , )a b sao cho  x U x( 0) : ( )f x  0 ( ho c f x( )0) Chú ý: Các tính ch t hàm s liên t c trên m t đo n có nhi u ng d ng

Thí d 1.6.3 Ch ng minh r ng ph ng trình 5

x  x  có ít nh t m t nghi m thu c kho ng (1,2)

Gi i: t f x( )  x5  3x 1thì ph ng trình đã cho  f x( )0 ta có hàm s f x( )liên t c trên đo n [1,2], f(1)  3 0; f(2)350 theo h qu c a nh lý 1.6.7 có

ít nh t c 1, 2 : ( )f c  0 V y ph ng trình x5 3x1 có ít nh t m t nghi m thu c kho ng (1,2)

Ch ng 1 sinh viên c n n m ch c các khái ni m c b n v dãy s , hàm s , gi i

h n c a dãy s và hàm s , hàm s liên t c, các hàm s th ng dùng trong k thu t

ây là nh ng v n đ c b n c a gi i tích toán h c, làm công c nghiên c u các

ch ng ti p theo c a toán cao c p Song các v n đ này đã đ c h c ph thông và

do th i l ng h c trên l p h n ch , sinh viên c n t đ c k n i dung t ng ph n, liên

h v i toán ph thông, làm đ y đ các bài t p Tham kh o các tài li u [1]; [2] và sách toán gi i tích l p 11, l p 12, tr l i các câu h i và làm đ y đ các bài t p sau:

1 nh ngh a: Dãy s , các dãy s đ c bi t, hàm s và cho thí d các dãy s , hàm s trong th c t

9 nh ngh a hàm s liên t c t i m t đi m, trong m t kho ng và trên m t

đo n.Ý ngh a hình h c c a hàm s liên t c trên m t đo n

10 Nêu các tính ch t c a hàm s liên t c trên m t đo n Minh h a hình h c t ng tính ch t và nêu các ng d ng c a chúng

Bài 1 Tính các gi i h n c a các dãy s  a n sau

3arcsin

1

x y

1 2 2

sin

s inx

0 0 cot 2 2 0

3) lim

1 cos5) lim

17) lim

x

x x

x x x x

x x

0

3 0

3sin8) lim

310) lim

212)lim cos

x

x x x

x

x

x

x x

c x c

x x x e x tgx x x x x x

x e

2 0

x x x

khi x khi x

Bài 14 Cho

2 sin

2 ( ) sin

Ch ng 2 O HÀM VÀ VI PHÂN HÀM S M T BI N

Đ o hàm

2.1.1 nh ngh a

2.1.1.1 o hàm hàm s t i m t đi m:

nh ngh a 2.1.1 Cho hàm s f x( ) xác đ nh trong lân c n U x( 0 )c a x0 Cho đ i

s x s gia x xx0 sao cho x0   x U x( 0); Khi đó hàm s y f x( ) có s gia

lim )

0 0

y hay '

( )

f x hay

dy dx

y

f x

+ Hàm f(x) có đ o hàm bên ph i t i x = a và có đ o hàm bên trái t i x = b

2.1.1.4 M i liên h gi a đ o hàm và liên t c

nh lý 2.1.2 N u hàm s f x( ) có đ o hàm t i x = x0 thì f x( ) liên t c t i đi m đó Tuy nhiên đi u ng c l i không đúng

Thí d 2.1.4 Hàm s f x( )  x liên t c t i x = 0 nh ng không có đ o hàm t i x = 0 2.1.1.5 Ý ngha c a đ o hàm

y  f (x ) xx  f x( )

b Ý ngh a c h c c a đ o hàm

Xét m t chuy n đ ng th ng có ph ng trình chuy n đ ng là s f t( ) (trong

đó s là quãng đ ng đi, t là th i gian)

tb

f t t f t v

2 Tính đ o hàm c a hàm s sau y 100x2

Thí d 2.1.8 Tính đ o hàm hàm s y = arc sinx

vì

sinarc sinx = y

) ( /

n x x

n C

0

n k

Hàm s y f x( ) đ c g i là kh vi t i đi mx0n u s gia c a nó t i đi m đó là:

2.2.6.1 nh ngh a 2.2.2 Cho hàm s y f x( ) kh vi trong  a b, Khi đó:

- Vi phân c a hàm s y là dy f/(x).dx là hàm s xác đ nh trong kho ng  a b,

- N u t n t i vi phân c a dy thì vi phân y đ c g i là vi phân c p hai c a hàm

y và ký hi u d y2

- M t cách t ng quát, vi phân c a vi phân c p (n – 1) c a y f x( ) đ c g i là

vi phân c p n c a y f x( ) và ký hi u d n y V y dn

y = d(dn-1y) Các vi phân t c p 2 tr lên đ c g i là vi phân c p cao

2.2.6.2 Cách tính N u y f x( ) có vi phân đ n c p n trong kho ng (a,b) và x là

bi n s đ c l p thì dn

y = y(n).(dx)n (1) Chú ý: Công th c (1) không đúng khi x là bi n s ph thu c x( )t

f y

12)

f y

N u hàm s f x( ) tho mãn 3 đi u kiên:

 Hàm f x( ) liên t c trên đo n  a b,

Ch ng minh: (D a vào đ nh lý Weierstrass v hàm s liên t c trên m t đo n thì

hàm đ t giá tr nh nh t m và giá tr l n nh t M trên đo n đó và đ nh lý Fermat ta

đ c đi u ph i ch ng minh)

- Ý ngha hình h c c a đ nh lý Rolle

2.3.1.3 nh lý 2.3.3 ( nh lý Lagrange)

N u hàm s f x( ) tho mãn 2 đi u kiên:

+ Hàm f x( ) liên t c trên đo n  a b,

+ f x( ) có đ o hàm trong kho ng  a b,

thì t n t i ít nh t c a;b sao cho  

a b

a f b f c f

a f b f c

+ g/(x)  0 t i m i  x  a b,

 c g

c f a g b g

a f b f

/ /

) ( ) (

) ( ) (

1 nh lý Lagrange là tr ng h p đ t bi t c a đ nh lý Cauchy khi g x( ) x

2 Các đ nh lý giá tr trung bình đ c áp d ng nhi u trong các ch ng minh lý thuy t c ng nh th c hành Áp d ng chúng đ xét s bi n thiên c a hàm s , ch ng minh ph ng trình có nghi m, ch ng minh b t đ ng th c,…

Thí d 2.3.1

a Ch ng minh r ng sinxsiny  x y; x,y R.(*)

b Ch ng minh r ng ph ng trình x n pxq 0 có không quá hai nghi m th c

n u n ch n, không quá 3 nghi m th c n u n l

Gi i: a V i x y thì b t đ ng th c (*) đúng

V i x y, không m t tính t ng quát ta gi s yx Xét hàm s f x( )s inx Rõ

N u hàm f x( )liên t c trên [a,b], có đ o hàm đ n c p n + 1 trong kho ng (a,b)

và x, x0 là 2 đi m tùy ý trong kho ng (a,b) thì t n t i c n m gi a x0 và x sao cho:

                 ; (1)

! 1

!

! 1

1 0 1

0 0

0 0

/ 0

c f x x n

x f x

x x f x

trong công th c Taylor và kí hi u là R x n 

N u x0   0  a b, thì công th c Taylor tr thành công th c sau g i là Laurin

x x





b lim

n x x

x e

x x

Ta bi n đ i nh sau

( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

x e x

x

x e

2.4.2 Giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s trên m t đo n

2.4.2.1 N u hàm s y f x( )liên t c trên [a,b] thì nó đ t giá tr l n nh t (GTLN) và giá tr nh nh t (GTNN) trên đo n đó

2.4.2.2 Cách tìm GTLN, GTNN c a hàm s liên t c trên [a,b] nh sau:

+ Tìm các đi m t i h n c a hàm s trên đo n [a,b], gi s các đi m đó là

x1, x2, xn

+ Tìm các giá tr f x( ),1 f x( 2), , f x( n), f a( ), f b( )

+ So sánh các giá tr f x( )i ; i1, 2, ,n và f a( ), f b( ) đ suy ra GTLN, GTNN c n tìm

Chú ý: Bài toán tìm GTLN, GTNN đ c ng d ng r t nhi u trong các bài toán th c

t , k thu t, kinh t

Thí d 2.4.2 Tìm hình tr có th tích l n nh t khi di n tích xung quanh c a nó là S

y f x g i là đi m u n c a đ ng cong này

2.4.3.2 nh lý 2.4.4 Gi s hàm s y f x( ) kh vi đ n c p 2 trong (a,b) khi đó:

1 1 1

4 L p b ng bi n thiên chung c a x(t); y(t) theo t

r x

x y

arctan

2 2

đi m 0 c đ nh g i là c c và 1 vect đ n v OP;

tia mang vect OP g i là tr c c c

H NG D N T H C, CÂU H I ÔN T P CH NG 2

o hàm và vi phân đóng m t vai trò quan tr ng trong toán h c v lý thuy t

c ng nh th c hành và có nhi u ng d ng r ng rãi trong k thu t Chúng ta đã làm quen v i nh ng khái ni m này trong ch ng trình toán ph thông Ch ng 2 này s nghiên c u v n đ m t cách h th ng, đ y đ và sâu s c h n Sinh viên khi h c c n liên h v i toán ph thông, chú ý khai thác ý ngh a, ng d ng c a các khái ni m trong k thu t T đ c ph n kh o sát và v đ th hàm s cho d i d ng tham s và cho trong to đ c c đ c áp d ng nhi u trong k thu t Tr l i đ y đ các câu h i

5 nh ngh a đ o hàm và vi phân c p cao Cho thí d

6 Phát bi u và n m đ c cách ch ng minh các đ nh lí Fermat, Rolle, Lagrange,

1 sin ( )

sin 2

yx e Bài 2 Tính đ o hàm c p n các hàm s sauu:

2

yx  x  x x  x 2) yx e2 x Tìm (20)