CHUONG 3-GT

Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến 3.. Giới hạn của hàm n biếnChú ý: Các định lý về giới hạn của hàm n biến cũng được thiết lập tương tự như hàm một biến.. Chẳng hạn: tổng, hiệu, tí

CHƯƠNG 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

1 Khái niệm số nhiều biến

2 Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến

3 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến

4 Bài toán cực trị của hàm nhiều biến

5 Bài toán ưÙng dụng trong kinh tế

1 Khái niệm số nhiều biến 1.1 Định nghĩa hàm n biến

Cho DRn, D Một quy tắc f cho tương ứng

mỗi điểm x=(x1,x2, ,xn)D với một và chỉ một số wR là một hàm n biến số, có miền xác định

trên D, kí hiệu w=f(x1,x2, xn)

Nếu hàm w được cho bởi biểu thức giải tích

f(x1,x2, ,xn) thì miền xác định của w=f(x1,x2, ,xn) là miền DRn sao cho f(x1x2, ,xn) có nghĩa

x=(x1,x2, xn)D

1 Khái niệm số nhiều biến 1.2 Đồ thị của hàm n biến

Tập G={(x1,x2, ,xn,w)Rn+1: w=f(x1,x2, ,xn)

x=(x1,x2, xn)D} được gọi là đồ thị của hàm n biến w=f(x1,x2, ,xn) xác định trên D

TD: Cho hàm số

a) Tìm miền xác định của w

b) Tìm f(0,1)

Giải: a) (x,y)D4-xx2-xy20  x2+y24

D là hình tròn tâm gốc toạ độ, bán kính bằng 2

2 Giới hạn và liên tục 2.1.Giới hạn của dãy điểm a) Khoảng cách 2 điểm :

2 Giới hạn và liên tục 2.1.Giới hạn của dãy điểm

a) Sự hội tụ của dãy điểm

Dãy điểm {xk=(xk1,xk2, ,xkn)} hội tụ về

x0=(x01,x02, ,x0n) nếu d(xk,x0)0 (k)

Kí hiệu: xkx0 hay

Hệ quả: xkx0xkix0i i=1,2 n khi k

b) Lân cận của một điểm

Cho điểm x0Rn và số >0 Tập hợp (x0)={xRn: d(x0,x)<} được gọi là một lân cận của x0

k

k lim x x

2 Giới hạn và liên tục 2.2 Giới hạn của hàm n biến

ĐN1: Hàm n biến f(x) xác định trong một lân

cận của điểm x0 (có thể không xác định tại x0) có giới hạn là số L, nếu mọi dãy điểm xkx0 ta luôn có:

n n

k

x x

2 Giới hạn và liên tục 2.2 Giới hạn của hàm n biến

2 Giới hạn và liên tục 2.2 Giới hạn của hàm n biến

Chú ý: Các định lý về giới hạn của hàm n biến cũng được thiết lập tương tự như hàm một biến Chẳng hạn: tổng, hiệu, tích, thương của các

hàm có giới hạn hữu hạn tại một điểm là một

hàm có giới hạn tại điểm đó

1

x y

2 Giới hạn và liên tục 2.2 Giới hạn của hàm n biến TD2: CM không tồn tại

Giải: Xét:

Từ (*), (**) suy ra điều phải chứng minh

x y

xy Lim

2 Giới hạn và liên tục 2.2 Liên tục của hàm n biến

ĐN: Cho hàm n biến f(x) xác định trên D và

x0D Hàm f(x) liên tục tại x0 nếu:

Hàm f(x) liên tục tại xD, ta nói f(x) liên tục

trên D

Hàm f(x) không liên tục tại điểm x0 ta nói f(x)

gián đoạn tại x0

Ta cũng có tổng, hiệu, tích, thương các hàm liên tục tại x0 là một hàm liên tục tại x0

x x

Limf(x) f(x )

2 Giới hạn và liên tục 2.2 Liên tục của hàm n biến

ĐL: Cho hàm n biến f(x) liên tục trên miền D

đóng và bị chặn thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất /D

TD: Chứng minh hàm số f(x,y)=x2+y2 liên tục tại mọi điểm trong R2

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.1 Đạo hàm riêng

Cho hàm n biến W=f(x) xác định trên miền

DRn và xD Đạo hàm riêng của hàm f(x) theo biến xj ký hiệu và xác định như sau:

(Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn j=1,2 n)

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.1 Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng theo biến xj thực chất là đạo

hàm của hàm một biến số, khi coi các biến còn lại là hằng Vì vậy các công thức đạo hàm riêng cũng tương tự như đạo hàm của hàm một biến

TD: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

a) z=x2y3-x2x+3y+1; tìm f’x(0,1); f’y(1,2)

b) z=x/y

c) z = xy

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.2 Đạo hàm riêng của hàm hợp

Với hàm 2 biến: w=f[u1(x,y),u2(x,y)]

Với hàm m biến: w=f(u1,u2, ,um),ui=ui(x1,x2, ,xn)

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.2 Đạo hàm riêng của hàm hợp-TD

1) Cho w=x2+y2 với x=t2, y=lnt Tìm w’x, w’t

Giải: w’x=2x; w’t=4xt+2y/t

2) Cho z=u2v+uv3 với u=x2–y2, v=exy

Tìm z’x; z’y

Giải: z’x=2xv(2u+v2)+uyexy( u+3v2)

z’y= -x4uvy–2v3y+u2xexy+3uv2xexy

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

Định lí. Hàm số F(x1,x2,…,xn,w) xác định, liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong cận của điểm (x01,x02, ,x0n,w0) và thỏa các điều kiện:

c) Hàm số w=w(x) liên tục, có các đạo hàm riêng

liên tục trong lân cận của điểm x0

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

Đạo hàm hai vế của phương trình (1) ta được:

Với hàm ẩn một biến y=y(x) cho bởi F(x,y)=0

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn-TD

Cho phương trình: ey=x+y Tìm y’x

Giải: ey=x+y  F(x,y)=ey–x–y=0

x y

y

x y e

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.3 Vi phân toàn phần

Hàm khả vi: Cho hàm n biến W=f(x) xác định trên miền DRn, x0=(x01,x02, ,x0n)D

Số gia toàn phần của hàm f(x) tại x0

W=f(x01+x1, x02+x2, ,x0n+xn)–f(x0)

Hàm w=f(x) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu

tồn tại n số Ai không phụ thuộc vào xi sao

cho:

w=A1x1+A2x2+ +Anxn+(x1, x2, ,xn)

Trong đó  là VCB khi xi0 i

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.3 Vi phân toàn phần

Định lí: Nếu hàm w=f(x) có các đạo hàm riêng w’xi liên tục tại x i, thì hàm f khả vi tại x và

Ai=w’xi(x0) i=1,2 n

Vi phân toàn phần: Nếu hàm số w=f(x) xác định trong miền DR n có các đạo hàm riêng liên tục tại x0D Ta gọi biểu thức:

df(x0)=w’x1dx1+w’x2dx2+ +w’xndxn Là vi phân toàn phần của hàm số f(x) tại điểm x0

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần

3.3 Vi phân toàn phần

TD: Cho hàm số

3 Đạo hàm và vi phân 3.4 Đạo hàm riêng cấp cao

Tương tự như đạo hàm cấp cao của hàm một

biến Ta có các đạo hàm riêng cấp k của hàm nhiều biến

Các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm 2 biến:

3 Đạo hàm và vi phân 3.4 Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng cấp 2: f”xy, f”yx được gọi là các đạo hàm riêng chữ nhật

Định lí (Schwars): Nếu trong một lân cận của điểm (x0,y0) hàm z=f(x,y) có các đạo hàm chữ nhật và các đạo hàm này liên tục tại (x0,y0) thì f”xy = f”yx

Định lí Schwars cũng được mở rộng cho hàm

nhiều biến

3 Đạo hàm và vi phân 3.4 Đạo hàm riêng cấp cao-TD

Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số

1) z = x2y3; 2) z = arctg(y/x)

3 Đạo hàm và vi phân 3.5 Vi phân toàn phần cấp cao

Nếu hàm z=f(x,y) khả vi thì biểu thức vi phân

toàn phần cấp 1 là một hàm hai biến x, y Nếu

dz lại khả vi, ta gọi vi phân toàn phần của dz là

vi phân toàn phần cấp 2, kí hiệu d2z và ta có:

3 Đạo hàm và vi phân cấp cao 3.5 Vi phân toàn phần cấp cao

Tương tự ta có vi phân toàn phần cấp hai của

hàm n-x biến Nếu w=f(x1,x2,…,xn) có các đạo

hàm riêng liên tục đến cấp 2 tại x0 thì f(x) khả vi cấp 2 tại x0 Biểu thức vi phân cấp 2 của f(x) là:

Chú ý: d2w là một dạng toàn phương của n biến số x1, … , xn Với ma trận dạng toàn phương là:

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.1 Cực trị tự do-Định nghĩa

Điểm x0=(x01,x02, ,x0n) là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm f(x1,x2,…,xn), nếu tồn tại một lân cận

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.1 Cực trị tự do-Đk cần

Điểm dừng: Điểm x0 được gọi là điểm dừng của hàm f(x1,…xn) nếu: f’xi(x0) =0 i=1 n

Điều kiện cần:

Hàm số f(x) có các đạo hàm riêng tại x0 và x0 là điểm cực trị thì x0 là điểm dừng

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.1 Cực trị tự do-Đk đủ

Điều kiện đủ của điểm cực trị:

Hàm f(x1,x2, ,xn) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 tại điểm dừng x0 và trong lân cận

1) Nếu d2f(x0) xác định dương thì x0 là điểm cực tiểu

2) Nếu d2f(x0) xác định âm thì x0 là điểm cực đại

3) Nếu d2f(x0) không xác định dấu thì x0 không cực trị

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.1 Cực trị tự do-Đk đủ

Điều kiện đủ của cực trị

Đặt aii=f”xixj(x0) ij; H=(aij) (ma trận Hessian )

H là ma trận của dạng toàn phương d2f(x0) và

Hk là các định thức con chính của H

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.1 Cực trị tự do- Đk đủ

Định lí: 1) Nếu Hk>0 k thì x0 là điểm cực tiểu.

2) Nếu (-x1) k Hk>0 k thì X0 là điểm cực đại.

(H1<0; H2>0; H3<0; H4>0 )

3) Nếu Hk/Hk-x1 đổi dấu thì X0 không cực trị

Đặc biệt: Với w=f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2

Đặt A=f”xx, B=f”xy, C=f”yy khi đó ta có:

a) Nếu =AC–B 2 >0 và A>0 thì X0 là điểm cực tiểu của f(x,y)

b) Nếu >0 và A<0 thì X0 là điểm cực đại của f(x,y)

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.1 Cực trị tự do Đk đủ-Chú ý

Chú ý: Nếu f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2

trong miền D, và trong D có duy nhất một điểm cực trị x0 thì:

Nếu x0 là điểm CT  fmin=f(x0)Nếu x0 là điểm CĐ fmax=f(x0)

TD: Tìm cực trị của hàm: 1) f(x,y) = x3+y3–3xy

    1 2) w x y z

x y z

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.2 Cực trị có điều kiện-Đk cần

Tìm cực trị của hàm W=f(x1,x2,…,xn) thỏa điều

kiện: (x1,x2,…,xn)=a (*)

Lập hàm phụ Lagrange L(x,)=f(x)+[(x)-xa]

Điều kiện cần: Nếu f(x) và (x) có các đạo

hàm riêng liên tục trong lân cận của x0 và x0 là điểm cực trị thỏa (*), thì tồn tại 0 sao cho (x0,0) là nghiệm của hệ:

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.2 Cực trị có điều kiện-ĐK đủ

Giả sử f(x), (x) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 trong lân cận của x0 và (x0,0) là điểm dừng của hàm phụ L(X,)

Lập ma trận Hessian biên tại điểm (X0,0)

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.2 Cực trị có điều kiện-ĐK đủ

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.2 Cực trị có điều kiện-ĐK đủ

1) Nếu (-x1)kHk>0 k=2 n thì X0 là điểm cực đại thỏa điều kiện (*) của hàm f

2) Hk<0 k=2 n thì X0 là điểm cực tiểu thỏa

điều kiện (*) của hàm f

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.2 Cực trị có điều kiện-ĐK đủ

Điều kiện đủ với hàm 2 biến

Nếu (x0,y0,0) là điểm dừng của hàm L(x,y,), f(x,y) và (x,y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 trong lân cận (x0,y0)

Ma trận Hessian biên

1) Nếu định thức |H|>0 thì (x0,y0) cực đại

2) Nếu định thức |H|<0 thì (x0,y0) cực tiểu

' '' '' ' '' ''

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.2 Cực trị có điều kiện-TD

Tìm cực trị của hàm f(x,y)=x2+y2 thỏa: x+y=10

Giải: Hàm L(x,y,)=x2+y2+(x+y–10)

Giải hệ:

x=5, y=5; =-x10  Điểm dừng (5, 5, -x10)

' '

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.2 Cực trị có điều kiện-TD

 (5, 5) là cực tiểu

f(x,y) có duy nhất một cực tiểu, suy ra có giá trị nhỏ

nhất thỏa điều kiện fmin=50 tại (x=5,y=5)

Chú ý: Từ điều kiện x+y=10  y=10–x

 f(x,y)=x 2 +(10–x) 2 = 2x 2 –20x+100

Hàm này đạt cực tiểu tại x=5, fmin=50 tại x=5, y=5

' ' ' '' '' ' '' ''

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.2 Cực trị có điều kiện-TD

TD: Tìm cực trị của hàm w=x+y+z thỏa điều

kiện xyz=1

Giải: Hàm L=x+y+z+(xyz–1)

Giải hệ:

' ' '

4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.2 Cực trị có điều kiện-TD

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.3 f Min , f Max của hàm nhiều biến

Tương tự như hàm một biến, nếu f(X) xác định và liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì có

fMin, fMax trên D Và fMin, fMax đạt tại các điểm:

-x Trên biên (cực trị có điều kiện Mi)

-x Điểm tới hạn /D (điểm dừng, điểm không

có đạo hàm Nj)

 fMin =Min{f(Mi),f(Nj)}

 fMax=Max{f(Mi), f(Ni)}

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.3 f Min , f Max của hàm nhiều biến

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm:

f(x,y)=x2+2y2–x trong miền D={(x,y): x2+y21}Giải: Tìm điểm dừng của hàm f trong D

Tìm điểm dừng của L=x2+2y2–x+(x2+y2–1) trên biên x2+y2=1

' '

x y

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.3 f Min , f Max của hàm nhiều biến

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.3 f Min , f Max của hàm nhiều biến

Vậy fMax=Max{f(M1),f(M2),f(M3),f(M4)}=9/4

fMin=Min{f(M1),f(M2),f(M3),f(M4)}=0

Hết

4 Cực trị của hàm nhiều biến 4.3 f Min , f Max của hàm nhiều biến

C